Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Question

Ed · Answer

Para mostrar que $ x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, u_i \rangle u_i $ para uma base ortonormal $ \{u_1, u_2, \ldots, u_n\} $ de $ \mathbb{R}^n $, podemos seguir os seguintes passos:

1. **Propriedade da Base Ortonormal**: Como $ \{u_1, u_2, \ldots, u_n\} $ é uma base ortonormal, temos que $ \langle u_i, u_j \rangle = 0 $ para $ i \neq j $ e $ \langle u_i, u_i \rangle = 1 $.

2. **Representação de $ x $**: Qualquer vetor $ x \in \mathbb{R}^n $ pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal. Assim, podemos escrever:
   $$
   x = \sum_{i=1}^{n} a_i u_i
   $$
   onde $ a_i $ são os coeficientes que precisamos determinar.

3. **Cálculo dos Coeficientes**: Para encontrar os coeficientes $ a_i $, utilizamos o produto interno:
   $$
   a_i = \langle x, u_i \rangle
   $$
   Isso é válido porque, ao projetar $ x $ sobre $ u_i $, obtemos exatamente o coeficiente que multiplica $ u_i $ na combinação linear.

4. **Substituição**: Substituindo $ a_i $ na expressão de $ x $, temos:
   $$
   x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, u_i \rangle u_i
   $$

5. **Conclusão**: Portanto, mostramos que para todo $ x \in \mathbb{R}^n $, a relação $ x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, u_i \rangle u_i $ é verdadeira.

Assim, a afirmação está provada!

Análise Matemática

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn. Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

Respostas

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Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

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Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.