Para que os vetores \(\vec{a} + \vec{b}\) e \(\vec{c}\) sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Vamos calcular \(\vec{a} + \vec{b}\) e depois o produto escalar com \(\vec{c}\). 1. Calcule \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} = (2, 1) \] \[ \vec{b} = (m + 2, -5, 2) \] Como \(\vec{a}\) tem duas dimensões, vamos considerar \(\vec{b}\) apenas nas duas primeiras componentes: \[ \vec{a} + \vec{b} = (2 + (m + 2), 1 - 5) = (m + 4, -4) \] 2. Calcule o produto escalar com \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = (2m, 8, m) \] Novamente, consideramos apenas as duas primeiras componentes de \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = (2m, 8) \] O produto escalar é: \[ (m + 4) \cdot (2m) + (-4) \cdot 8 = 0 \] \[ 2m^2 + 8m - 32 = 0 \] 3. Resolva a equação quadrática: \[ m^2 + 4m - 16 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} \] \[ m = -2 \pm 2\sqrt{5} \] Assim, os valores de \(m\) que tornam \(\vec{a} + \vec{b}\) ortogonal a \(\vec{c}\) são \(m = -2 + 2\sqrt{5}\) e \(m = -2 - 2\sqrt{5}\). Se precisar de valores numéricos aproximados, calcule \(\sqrt{5} \approx 2.24\): - \(m \approx -2 + 4.48 \approx 2.48\) - \(m \approx -2 - 4.48 \approx -6.48\) Portanto, os valores de \(m\) que satisfazem a condição são aproximadamente \(m \approx 2.48\) e \(m \approx -6.48\).