Para encontrar os focos da hipérbole dada pela equação \(9x^2 - 4y^2 - 18x - 16y - 43 = 0\), precisamos primeiro reescrever a equação na forma padrão da hipérbole. 1. Reorganizar a equação: \[ 9x^2 - 18x - 4y^2 - 16y - 43 = 0 \] 2. Completar o quadrado para \(x\) e \(y\): - Para \(x\): \[ 9(x^2 - 2x) = 9((x - 1)^2 - 1) = 9(x - 1)^2 - 9 \] - Para \(y\): \[ -4(y^2 + 4y) = -4((y + 2)^2 - 4) = -4(y + 2)^2 + 16 \] 3. Substituir na equação: \[ 9(x - 1)^2 - 9 - 4(y + 2)^2 + 16 - 43 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 36 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 36 \] \[ \frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1 \] 4. Identificar os parâmetros: - A forma padrão da hipérbole é \(\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\), onde \(h = 1\), \(k = -2\), \(a^2 = 4\) (então \(a = 2\)), e \(b^2 = 9\) (então \(b = 3\)). - A distância dos focos a partir do centro é dada por \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). 5. Encontrar os focos: - O centro da hipérbole é \((1, -2)\). - Os focos estão localizados em \((h \pm c, k)\): \[ F_1 = (1 - \sqrt{13}, -2) \quad \text{e} \quad F_2 = (1 + \sqrt{13}, -2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(F_1 (2 - 13, -2)\) e \(F_2 (2 + 13, -2)\) b) \(F_1 (1 - 13, -1)\) e \(F_2 (1 + 13, -1)\) c) \(F_1 (1 - 11, -2)\) e \(F_2 (1 + 11, -2)\) d) \(F_1 (1 - 13, -2)\) e \(F_2 (1 + 13, -2)\) e) \(F_1 (3 - 13, -2)\) e \(F_2 (3 + 13, -2)\) A alternativa correta é a d) \(F_1 (1 - \sqrt{13}, -2)\) e \(F_2 (1 + \sqrt{13}, -2)\).