Para encontrar os focos da hipérbole dada pela equação \(9x^2 - 4y^2 - 18x - 16y - 43 = 0\), precisamos primeiro reescrever a equação na forma padrão da hipérbole. 1. Reorganizando a equação: \[ 9x^2 - 18x - 4y^2 - 16y - 43 = 0 \] 2. Completar o quadrado: - Para \(x\): \[ 9(x^2 - 2x) = 9((x - 1)^2 - 1) = 9(x - 1)^2 - 9 \] - Para \(y\): \[ -4(y^2 + 4y) = -4((y + 2)^2 - 4) = -4(y + 2)^2 + 16 \] 3. Substituindo na equação: \[ 9((x - 1)^2 - 1) - 4((y + 2)^2 - 4) - 43 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 9 + 16 - 43 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 36 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 36 \] \[ \frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1 \] 4. Identificando os parâmetros: A forma padrão da hipérbole é \(\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\), onde: - \(h = 1\), \(k = -2\) - \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\) - \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\) 5. Calculando os focos: A distância dos focos a partir do centro é dada por \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). Os focos estão localizados em \((h \pm c, k)\): - \(F_1 = (1 - \sqrt{13}, -2)\) - \(F_2 = (1 + \sqrt{13}, -2)\) Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(F_1 (2 - \sqrt{13}, -2)\) e \(F_2 (2 + \sqrt{13}, -2)\) b) \(F_1 (1 - \sqrt{13}, -1)\) e \(F_2 (1 + \sqrt{13}, -1)\) c) \(F_1 (1 - 11, -2)\) e \(F_2 (1 + 11, -2)\) d) \(F_1 (1 - \sqrt{13}, -2)\) e \(F_2 (1 + \sqrt{13}, -2)\) e) \(F_1 (3 - \sqrt{13}, -2)\) e \(F_2 (3 + \sqrt{13}, -2)\) A alternativa correta é a d) \(F_1 (1 - \sqrt{13}, -2)\) e \(F_2 (1 + \sqrt{13}, -2)\).