Para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \( \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), você deve calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. A matriz é: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, calcule o determinante \( |A| \): \[ |A| = 3 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) \] \[ |A| = 3 \cdot (0 - 1) - 1 \cdot (0 + 3) + 1 \cdot (1 + 6) \] \[ |A| = 3 \cdot (-1) - 3 + 7 \] \[ |A| = -3 - 3 + 7 = 1 \] O volume do paralelepípedo é o módulo do determinante: \[ V = | |A| | = |1| = 1 \] Portanto, o volume do paralelepípedo é \( 1 \) unidade cúbica.