questão_3____ (2)

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Questão 3 — Provar que a reta está contida no hipérboloide
Deseja-se mostrar que toda coordenada do traçado
ℓ(t) :

x = 2− 7t,
y = 1− t,
z = −3 + 10t,
t ∈ R,
satisfaz a superfície
2x2 + 2y2 − z2 = 1.
Substituindo as coordenadas da reta no hipérboloide
2x2 + 2y2 − z2 = 2
(
2− 7t
)2
+ 2
(
1− t
)2 − (
−3 + 10t
)2
.
Expansão dos quadrados (
2− 7t
)2
= 4− 28t+ 49t2,(
1− t
)2
= 1− 2t+ t2,(
−3 + 10t
)2
= 9− 60t+ 100t2.
Multiplicando pelos coeficientes
Termo em x : 2
(
4− 28t+ 49t2
)
= 8− 56t+ 98t2,
Termo em y : 2
(
1− 2t+ t2
)
= 2− 4t+ 2t2,
Termo em z : −
(
9− 60t+ 100t2
)
= −9 + 60t− 100t2.
Somando todos os termos
(8− 56t+ 98t2) + (2− 4t+ 2t2) + (−9 + 60t− 100t2)
= (8 + 2− 9) + (−56t− 4t+ 60t) + (98t2 + 2t2 − 100t2)
= 1 + 0t+ 0t2 = 1.
O resultado é identicamente igual a 1 para todo t ∈ R. Logo, cada ponto da reta ℓ(t) satisfaz
a equação 2x2 + 2y2 − z2 = 1. Então a cralha da rta está totalmente contida no hipérboloide
dado.
2x2 + 2y2 − z2 = 1 contém a reta ℓ(t)
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