Lista_3_res_GA

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Lista 3 GA 
 
 
 
1)Sejam os vetores a

=(1,–m,–3),b

=(m+3,4–m,1)e c

=(m,–2,7).Determinar m 
para que a

b

=(a

+b

)c

. 
 RESP: m=2 
2) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD . 
 RESP: a) Paralelogramo b) 22,4463102
21
21
arccos 0  . 
3)Determinar o valor de x para que os vetores 1v

= x i

–2 j

+3k

 e 2v

=2 i

– j

+2k

, sejam ortogonais. RESP: 
x=–4 
4) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a

=(2,6,–1) e b

=(0,–2,1). 
 RESP: 







3
2
,
3
1
,
3
2
c 

 
5)Dados dois vetores a

 =(3,–1,5) e b

=(1,2,–3), achar um vetor x

, sabendo-se 
que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x


a

=9, e x

b

=–4. 
 RESP: x

=(2,–3,0) 
6) Dados u

=(2,–3,–6) e v

=3 i

–4 j

–4k

, determine: 
 a) a projeção algébrica de v

 sobre u

 ( norma do vetor projeção de v

 sobre 
u

); 
 b) 0 vetor projeção de v

 sobre u

. RESP: a)6 b)  6,3,2
7
6
 
 
 
 
7) Dados os vetores u

=( –1,3,2),v

=(1,5,–2) e w

=(-7,3,1). Calcule as 
coordenadas dos vetores: 
 a) u

 v

 b) v

w

 c) v

(u

w

) 
 d) ( v

u

)w

 e)(u

+ v

)(u

+ w

) f) (u

–w

)
w

 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) 
e)(24,0,64) 
 f)(–3,–13,18) 
 
8)Determinar o vetor x

, paralelo ao vetor ao vetor w

=(2,–3,0) e tal que x

 u

=
v , onde u

=(1,–1,0) e v =(0,0,2). 
𝑥 = 𝑘𝑤 𝑒 𝑥 × 𝑢 = 𝑣 
𝑥 × 𝑢 = |
𝑖 𝑗 𝑘
2𝑘 −3𝑘 0
1 −1 0
| = (0,0,2) 
(0, 0, −2𝑘 + 3𝑘) = (0,0,2) => −2𝑘 + 3𝑘 = 2 => 𝑘 = 2 
 
𝑥 = 𝑘𝑤 => 𝑥 = 2(2, −3,0) 
 RESP: x

=(4.–6,0) 
9) Determinar o vetor v

, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao 
vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v  . 
 RESP:  1,5,7v  
𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣. 𝑎 = 0 𝑣. 𝑏 = 0 𝑒 𝑣. (1,2, −7) = 10 
{
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 = 10
 
A solução do sistema é (7,5,1). 
 
10)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu  ,sendo 
)1,1,1(u  e )1,1,2(w  . RESP: v =(1,0,1) 
11)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1v

=(–1,–1,0) e 2v

=(0,–1–
1). RESP: 
 1,1,1
3
1
 
 RESP: v

=(–8,–12,24) 
12) Dados os vetores u

=(1,1,1) e v

=(2,3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo de determinado por u

 e v

; 
 b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u

 . 
RESP: a)A= .a.u6 b) .c.u2h  
13)Dados os vetores u

=(2,1,1) e v

=(1,1,), calcular o valor de  para que a 
área do paralelogramo determinado por u

 e v

 seja igual a 62 
u.a.(unidades de área). 
RESP: =3 
14)Qual é o valor de x para que os vetores a

=(3,–x,–2), b

=(3,2,x) e c

=(1,–3,1) 
sejam coplanares. 
 RESP: 
Para que sejam complanares a.(b x c)=0. 
det ([
3 −𝑥 −2
3 2 𝑥
1 −3 1
]) = 6 + 18 − 𝑥2 + 4 + 9𝑥 + 3𝑥 = 0 
−𝑥2 + 12𝑥 + 28 = 0 
x=14 ou x=–2 
15)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular 
o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo 
determinado pelos vetores AC,AB e AD . 
RESP: m=6 ou m=2