Lista_3_Exercícios_sobre_vetores (1)

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Exerćıcios
Vetores e Calculo
Engenharia Civil
UEMA-Bacabal
Professor:Dr. Caio Renan
” O que eu ouço, eu esqueço. O que eu vejo, eu lembro. O que eu
faço, eu entendo.”
Nome do Aluno:
Nº de matricula:
1. Calcule o produto vetorial entre os vetores u⃗ = (2,−1, 3) e v⃗ = (1, 4,−2).
2. Mostre que o vetor u⃗ × v⃗ é ortogonal a u⃗ e a v⃗, usando os vetores do
exerćıcio anterior.
3. Encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores a⃗ = (3, 0, 1)
e b⃗ = (−1, 2, 4).
4. Dado o vetor a⃗ = (1, 2, 3), encontre um vetor b⃗ tal que a⃗ × b⃗ = (0, 0, 0).
Interprete geometricamente.
5. (Identidade de Lagrange) Prove que para quaisquer vetores a⃗, b⃗ ∈ R3,
vale:
∥a⃗× b⃗∥2 = ∥a⃗∥2∥⃗b∥2 − (⃗a · b⃗)2
Escolha vetores a⃗ e b⃗ com coordenadas numéricas e verifique a identidade.
6. Calcule o produto misto u⃗ · (v⃗ × w⃗), com os vetores:
u⃗ = (1, 2, 3), v⃗ = (0,−1, 2), w⃗ = (3, 1, 0)
7. Verifique se os vetores a⃗ = (2, 1,−1), b⃗ = (−1, 2, 3) e c⃗ = (4, 0, 1) são
coplanares.
8. Encontre o volume do paraleleṕıpedo determinado pelos vetores a⃗ = (1, 0, 0),
b⃗ = (0, 2, 0) e c⃗ = (0, 0, 3).
1
9. Mostre que o produto misto é alternado, ou seja:
u⃗ · (v⃗ × w⃗) = v⃗ · (w⃗ × u⃗) = w⃗ · (u⃗× v⃗)
Escolha vetores numéricos para verificar.
10. Determine os valores de x, y ∈ R para que os vetores (x, 1, 2), (3, y, 4) e
(1, 2, 3) sejam coplanares ( Isso é o mesmo que mostar que o produto misto
é zero).
11. Dados os vetores −→v = (a, 5b,− c
2 ) e
−→w = (−3a, x, y), determine x e y para
que −→v ×−→w =
−→
0 .
12. Calcule a área do paralelogramo cujos os lados são determinados pelos
vetores 2−→u e −−→v , sendo −→u = (2,−1, 0) e −→v = (1,−3, 2).
13. Mostre que o duplo vetorial é definido como −→u × (−→v ×−→w ) = (−→u · −→w )−→v −
(−→u · −→w )−→w .
14. Resolva a equação (
−→
i ×−→x )×−→
i + (−→x ×−→
j )×−→
j + (−→x ×
−→
k )×
−→
k =
−→
0
2