Produto Vetorial e Ortogonalidade

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Cálculo II - 2023-4 
Prática de Exercícios 05 - Produto Vetorial
Lista de Monitoria
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Universidade Federal do Pará
64. Determine o produto vetorial a⃗ × b⃗ e verifique que ele é ortogonal a a⃗ e b⃗.
Exemplo a⃗ = ⟨1, 2, 0⟩ , b⃗ = ⟨0, 3, 1⟩;
Solução
c⃗ = ⟨1, 2, 0⟩ × ⟨0, 3, 1⟩ ⇒
∣∣∣∣∣∣
Calculando c⃗, onde, c⃗ = a⃗× b⃗ temos:
ı̂ ȷ̂ k̂
1 2 0
0 3 1
∣∣∣∣∣∣ = (2ı̂+ 0 + 3k̂)− (0 + 0 + ȷ̂)
c⃗ = 2ı̂− ȷ̂+ 3k̂ = ⟨2,−1, 3⟩ .
Para verificar que c⃗ é ortogonal a a⃗ e b⃗, devemos verificar que: c⃗ · a⃗ = 0 e c⃗ · b⃗ = 0. Logo:
c⃗ · a⃗ = ⟨2,−1, 3⟩ · ⟨1, 2, 0⟩ = 2 · 1− 1 · 2 + 3 · 0 = 0
c⃗ · b⃗ = ⟨2,−1, 3⟩ · ⟨0, 3, 1⟩ = 2 · 0− 3 · 1 + 1 · 3 = 0 .
Portanto, c⃗ é ortogonal a a⃗ e b⃗.
Fim Solução
Verificação: A resposta encontrada pode ser comprovada através do soft-
ware GeoGebra, aplicando os comandos "ProdutoVetorial( (vetor), (vetor) )"e
"ProdutoEscalar( (vetor), (vetor) )", para calcular, respectivamente, o pro-
duto vetorial a⃗ × b⃗ e a ortogonalidade do vetor obtido com a⃗ e b⃗ .
a) a⃗ = ⟨5, 1, 4⟩, b⃗ = ⟨−1, 0, 2⟩;
b) a⃗ = ı̂+ 3ȷ̂− 2k̂, b⃗ = −ı̂+ 5k̂;
c) a⃗ = ȷ̂+ 7k̂, b⃗ = 2ı̂− ȷ̂+ 4k̂.
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Atividade de Monitoria 05Cálculo II - 2023-4
65. Dados os vetores u⃗ = (2,−1, 1), v⃗ = (1,−1, 0) e w⃗ = (−1, 2, 2), calcular:
a) w⃗ × v⃗ .
b) v⃗ × (w⃗ − u⃗) .
c) (u⃗+ v⃗)× (u⃗− v⃗) .
d) (2u⃗)× (3v⃗) .
e) (u⃗× v⃗)× (v⃗ × u⃗) .
f) (u⃗× v⃗) · w⃗ .
g) (u⃗+ v⃗) · (u⃗× w⃗) .
66. Demonstre que (⃗a− b⃗)× (⃗a+ b⃗) = 2(⃗a× b⃗).
67. Se a⃗ = ⟨3, 1, 2⟩, b⃗ = ⟨−1, 1, 0⟩ e c⃗ = ⟨0, 0,−4⟩, mostre que a⃗× (⃗b× c⃗) ≠ (⃗a× b⃗)× c⃗.
68. Determine o vetor w⃗ ∈ R3 de modo que w⃗ seja ortogonal ao eixo y e ao vetor u⃗ = w⃗× v⃗,
onde u⃗ = ⟨1, 1,−1⟩ e v⃗ = ⟨2,−1, 1⟩.
69. Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u⃗ = ⟨1,−1, 4⟩ e v⃗ = ⟨3, 2,−2⟩
70. Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como
lados adjacentes.
A 8
√ √
3 . B 12
√
5 . C 3
√
10 . D 8 5 . E 12 .
71. Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e
v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2
√
6.
Solução Calculamos a tal que A = 2
√
6 .
Lembrando que área de um paralelogramo entre dois vetores u⃗ e v⃗ é dada por: A = ||u⃗ × v⃗||
Determinamos u⃗× v⃗ :
u⃗× v⃗ = ⟨3, 1,−1⟩ × ⟨a, 0, 2⟩ ⇒
∣∣∣∣∣∣
ı̂ ȷ̂ k̂
3 1 −1
a 0 2
∣∣∣∣∣∣
u⃗× v⃗ = 2ı̂− (a+ 6)ȷ̂− ak̂ = ⟨2,−(a+ 6),−a⟩ .
Assim temos:
||u⃗× v⃗|| =
√
(2)2 + [−(a+ 6)]2 + (−a)2
=
√
=
√
4 + (a2 + 12a+ 36) + a2
2a2 + 12a+ 40 .
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 05
Lembrando que A = ||u⃗× v⃗||=2
√
6 , temos:
√
2a2 + 12a+ 40 = 2
√
6
=⇒ (
√
2a2 + 12a+ 40)2 = (2
√
6)2
=⇒ 2a2 + 12a+ 40 = 24
=⇒ 2a2 + 12a+ 16 = 0 .
Determinamos a resolvendo a equação a2 + 6a+ 8 = 0 .
a =
−6±
√
62 − 4(1)(8)
2(1)
=
−6± 2
2
.
Portanto; a = −2 ou a = −4 .
Fim Solução
Um passo na verificação da resposta desta questão, precisamos substituir a na
área que é: ||u⃗× v⃗|| =
√
2a2 + 12a+ 40 e comparar com 2
√
6 .