Produto Escalar ou Produto Interno

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Notas de aula: 3 _Produto Escalar 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
1 
 
Aula n. 3 – PRODUTO ESCALAR ou PRODUTO INTERNO 
 
O produto escalar é uma operação entre dois vetores cujo 
resultado é um escalar. 
Proposição 
Se  
321
,, u

 e  
321
,, v

 , então: 
332211
  vu

 
Sendo �⃗� e 𝑣 vetores, definimos o número real �⃗� . 𝑣 , do seguinte 
modo: 
i) Se �⃗� = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ , então �⃗� . 𝑣 = 0 (zero). Logo, os vetores são 
ortogonais. 
 
 
 
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ii) Se �⃗� ≠ 0⃗ e 𝑣 ≠ 0⃗ , então �⃗� . 𝑣 = |�⃗� |. |𝑣 |. 𝑐𝑜𝑠 𝜃, onde 𝜃 é o 
ângulo entre os vetores �⃗� 𝑒 𝑣 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 . 
 
 
O tamanho do vetor é dado pelas suas coordenadas, portanto, são 
maneiras diferentes de representá-lo: pelo módulo ou pelas 
coordenadas. 
Logo |�⃗� |2 = �⃗� . �⃗� 
 
 
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
 
i. �⃗� . ( 𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� . 𝑣 + �⃗� . �⃗⃗� e (�⃗� + 𝑣 ). �⃗⃗� = �⃗� . �⃗⃗� + 𝑣 . �⃗⃗� 
ii. (𝛼. �⃗� ). 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝛼 (�⃗� . 𝑣 ) = �⃗� . (𝛼. 𝑣 ) 
iii. �⃗� . 𝑣 = 𝑣 . �⃗� 
iv. �⃗� . �⃗� ≥ 0 ; �⃗� . �⃗� = 0 ↔ �⃗� = 0⃗ 
 
 
Exercícios: 
1. Seja 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (1,−1, 5) e v⃗ = (2, 4, −1), calcule: 
 
a) vu

 = (1, −1, 5). (2, 4, −1) = 2 − 4 − 5 = −7 
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b) u

 = √(1)2 + (−1)2 + (5)2 = √27 = 3 √3 
c) v

 √(2)2 + (4)2 + (−1)2 = √21 
2. Seja u ⃗⃗⃗ = (1, 4, 1) e v⃗ = (0, 1, −8), calcule: 
a)   uvu

2 
[2 (1, 4, 1) + (0, 1, −8)] . (1, 4, 1) = 
 [(2, 8,2) + (0, 1, −8)] . (1, 4, 1) = 
(2, 9, −6) . (1, 4, 1) = 2 + 36 – 6 = 32 Resposta: 32 
b)    vuvu

 
[(1, 4, 1) − (0, 1, −8)] . [(1, 4, 1) + (0, 1, −8)] 
[(1, 3, 9). (1, 5, −7)] = 1 + 15 − 63 = 16 − 63 = −47 
Resposta: - 47 
 
Referências 
 
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 
1987. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.