Calcule \int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx. a) \frac{\pi}{8} b) \frac{\pi}{4} c) \frac{3\pi}{8} d) \frac{\pi}{6}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica ou reconhecer que a forma da integral se relaciona com a área de um círculo. A integral \(\int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx\) pode ser resolvida utilizando a substituição \(x^2 = \sin(\theta)\), mas uma abordagem mais direta é perceber que a integral se relaciona com a função beta ou com a integral de uma função que representa uma parte de um círculo. Após resolver a integral, encontramos que o resultado é: \[ \int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{\pi}{8} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{\pi}{8}\).