Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \), podemos usar a propriedade do limite que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \( u = 2x \), então quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 2 \] Sabendo que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto, a resposta correta é: c) 2.