Encontre a solução da equação diferencial y' + 4y = 8. a) y = Ce^{-4x} + 2 b) y = Ce^{4x} + 2 c) y = Ce^{-4x} + 4 d) y = Ce^{4x} + 4

Para resolver a equação diferencial \( y' + 4y = 8 \), podemos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = 4 \) e \( Q(x) = 8 \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 4 \, dx} = e^{4x} \). 3. Multiplicamos toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{4x}y' + 4e^{4x}y = 8e^{4x} \] 4. A equação à esquerda é a derivada do produto \( (e^{4x}y) \): \[ \frac{d}{dx}(e^{4x}y) = 8e^{4x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{4x}y = 2e^{4x} + C \] 6. Dividindo por \( e^{4x} \): \[ y = 2 + Ce^{-4x} \] Portanto, a solução geral da equação diferencial é \( y = Ce^{-4x} + 2 \). A alternativa correta é: a) y = Ce^{-4x} + 2.