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Calcule a integral \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx.

a) \tan^{-1}(x) + C
b) -\tan^{-1}(x) + C
c) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C
d) \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C
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ESTÁCIO

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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. A integral é dada por: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Correta. b) \(-\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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Determine a solução da equação diferencial y' + 2y = 5.

a) y = Ce^{-2x} + \frac{5}{2}
b) y = Ce^{2x} + \frac{5}{2}
c) y = Ce^{-2x} + \frac{5}{3}
d) y = Ce^{2x} + \frac{5}{3}

Calcule \int_0^1 x^4 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx.

a) \frac{1}{30}
b) \frac{1}{20}
c) \frac{1}{15}
d) \frac{1}{10}

Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Encontre a solução da equação diferencial y' + 3y = 4.

a) y = Ce^{-3x} + \frac{4}{3}
b) y = Ce^{-3x} + \frac{4}{2}
c) y = Ce^{3x} + \frac{4}{3}
d) y = Ce^{3x} + \frac{4}{2}

Calcule \( \int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx \).

a) \( \frac{2}{3} \)
b) \( \frac{3}{4} \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \frac{1}{3} \)

Determine o limite: \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}.

a) 0
b) 1
c) 3
d) 4

Calcule a integral \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx.

a) \frac{8}{15}
b) \frac{2}{5}
c) \frac{4}{15}
d) \frac{1}{5}

Encontre a solução da equação diferencial y' + 4y = 8.

a) y = Ce^{-4x} + 2
b) y = Ce^{4x} + 2
c) y = Ce^{-4x} + 4
d) y = Ce^{4x} + 4

Calcule \int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{1}{2}} \, dx.

a) \frac{\pi}{8}
b) \frac{\pi}{4}
c) \frac{3\pi}{8}
d) \frac{\pi}{6}

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