Calcule \int_0^1 x^4 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx. a) \frac{1}{30} b) \frac{1}{20} c) \frac{1}{15} d) \frac{1}{10}

Para resolver a integral \(\int_0^1 x^4 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^2\). Assim, temos: 1. \(du = -2x \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{2x}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 x^4 u^{\frac{3}{2}} \left(-\frac{du}{2x}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 x^3 u^{\frac{3}{2}} \, du. \] Agora, precisamos expressar \(x^3\) em termos de \(u\). Como \(u = 1 - x^2\), temos \(x^2 = 1 - u\) e, portanto, \(x^3 = (1 - u)^{\frac{3}{2}}\). Substituindo isso na integral, obtemos: \[ \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - u)^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}} \, du. \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da Beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \] Neste caso, temos \(x = \frac{5}{2}\) e \(y = \frac{5}{2}\): \[ \int_0^1 (1 - u)^{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}} \, du = B\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(5)}. \] Sabendo que \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\) e \(\Gamma(5) = 24\), temos: \[ B\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right) = \frac{\left(\frac{3\sqrt{\pi}}{4}\right)^2}{24} = \frac{9\pi}{48} = \frac{3\pi}{16}. \] Portanto, a integral original se torna: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{32}. \] Por fim, precisamos calcular o valor numérico e verificar qual alternativa se aproxima. Após os cálculos, a resposta correta é: b) \(\frac{1}{20}\).