Curso de Matemática Aula 01

Prévia do material em texto

INSTRUTOR: RAFAEL WILLAMES
CURSO DE MATEMÁTICA
BÁSICA
O que é Matemática?
ciência que estuda, por método dedutivo, objetos abstratos (números, figuras, funções) e as relações existentes entre eles.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
	Definimos conjunto como sendo um agrupamento de elementos, que, nos conjuntos numéricos, são números. O conjunto dos reais é representado pela letra maiúscula R e é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Conjunto dos números naturais: É representado por todos os números positivos. Seu símbolo é o N maiúsculo.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7...}
Conjunto dos números inteiros: Esse conjunto é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais e os números inteiros negativos. Ele é representado pela letra maiúscula Z.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Conjunto dos números racionais: É representado pela letra maiúscula Q. Pertencem a esse conjunto os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízima periódica.
Q = {-2, -1,23, -1, 0, + 1, + 2, + 2,5 ….}
Conjunto dos números irracionais: Esse conjunto é formado pelos números que são dízimas não periódicas, ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após a vírgula. É representado pela letra maiúscula I.
I = {… - 1, 234537..., 3,34527..., 5,3456...}
	Como o conjunto dos números reais possui todos os conjuntos descritos acima, sua representação numérica é:
R = {… -4, -3, -2, -1,23, 0, + 1, 1, 2, 3,34527..., 5 , 6 , 7}
    2
ADIÇÃO
ADIÇÃO E SUAS PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
	A adição é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Consiste em adicionar um ou mais valores tendo um valor como resultado. O sinal indicativo é o mais (+). O número 0 (zero) é um número neutro na adição, ou seja, somar alguma coisa com nada temos essa alguma coisa.
	Na adição os números antes do sinal de igual são chamados de parcelas, enquanto que o número depois da igualdade é a soma ou o resultado da adição.
Exemplo: 5 + 2 = 7
	O número 5 e 2 no exemplo acima são chamados de parcelas, o sinal de mais (+) de adição e o número 7 de soma ou resultado. 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
COMUTATIVA
ASSOCIAÇÃO
ELEMENTO NEUTRO
FECHAMENTO
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
COMUTATIVA  a mudança das parcelas não altera o resultado da soma.
Exemplo: 5 + 2 = 7 e 2 + 5 = 7
ASSOCIAÇÃO  independente da forma que somarmos as parcelas o resultado é o mesmo.
Exemplo: 5 + (2 + 1) = 8 e (5 + 2) + 1 = 8
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
ELEMENTO NEUTRO  Na adição o zero é considerado neutro, ou seja, não tem efeito na soma. Portanto, o resultado de um número somado com zero é o próprio número.
Exemplo: 5 + 0 = 5 ou 1.000 + 0 = 1.000
FECHAMENTO  o fechamento diz respeito a soma de dois ou mais números reais tem como resultado um número real.
Exemplo: 3 + 6 + 1 = 10
EXEMPLO DE ADIÇÃO COM NÚMEROS NÃO NATURAIS
Exemplo: 3,2421 + 2,1 + 4,1 = 9,4421
	Quando houver parcelas não inteiras, ou seja, com casas decimais depois da vírgula, deve-se organizá-las de modo que fique vírgula sobre vírgula quando resolver manualmente.
3,2421
2,1 +
4,1
________
9,4421
E O VAI UM NA ADIÇÃO?
	Quando realizamos uma soma manualmente as parcelas, podemos ter como resultado um valor com dois dígitos. Esse valor deve ser passado para o próximo, casa ainda tenha algo a mais para somar.
Exemplo:
 ¹28
+
 33
______
 61
SUBTRAÇÃO
As regras operacionais, e
Suas propriedades 
SUBTRAÇÃO
	A subtração é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Consiste em subtrair um ou mais valores tendo o outro valor como resultado. O sinal indicativo da subtração é o menos (-). Os valores antes do sinal de igual são chamados de minuendo e subtraendo. O valor após o sinal de igual é chamado de diferença ou resto.
Exemplo: 4 – 1 = 3
	O número 4 é o minuendo, o 2 é subtraendo e 0 3 a diferença ou resto. Então como deve ser lido?
Assim: quando teríamos de 4 se tirássemos 1? O resultado é a diferença, ou seja, o resultado após o que tiramos. E a diferença será 3.
Cuidado: Na subtração trocar a ordem em que os valores são subtraídos tem resultado diferente. Que nesse caso será um valor com sinal trocado.
Exemplo: 4 – 1 = 3 e 1 – 4 = -3
SUBTRAÇÃO
PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO
Fechamento
	A diferença de dois ou mais números reais tem como resultado um número real.
Elemento neutro
	Não existe elemento neutro na subtração.
Anulção
	Quando o minuendo foi igual ao subtraendo tem como resultado da diferença o 0 (zero).
Exemplo: 4 – 4 = 0
SUBTRAÇÃO
MÓDULO DE UM NÚMERO
	Para entendermos as operações envolvendo a diferença entre números inteiros com sinais diferentes, devemos entender o que significa o módulo de um número real.
Exemplos:
O módulo do número +3 é representado por |+3 | é igual a 3.
O módulo de |-3 | é 3.
O módulo de |-1 | é 1
SUBTRAÇÃO
REGRAS DE OPERAÇÃO DA SUBTRAÇÃO
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferente: subtrai e conserva o sinal do mais número (maior módulo).
Exemplo de subtração se parênteses:
-10 + 1 = -9 (Sinais diferente: faz a diferença e conserva o sinal do maior número).
+10 – 1 = +9 (Sinais diferentes: faz a diferença e conserva o sinal do maior número).
-1 – 1 = -2 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal).
SUBTRAÇÃO
Exemplos de subtração com parênteses:
	Nesse caso é preciso entender o jogo dos sinais para eliminar os parênteses.
+ ( - ) = -
- ( + ) = -
+ ( + ) = +
- ( - ) = -
Veja como funciona na prática:
(+ 4) + (- 2) = + 4 – 2 = + 2
(- 4) – (+2) = - 4 – 2 = - 6
(+ 4) + (+ 2) = + 4 + 2= + 6
(+ 4) – (- 2) = + 4 + 2 = + 6
SUBTRAÇÃO
E O QUE EMPRESTA UM DA SUBTRAÇÃO?
	Quando subtraímos valores de dois ou mais dígitos manualmente na subtração, o valor a ser subtraído (minuendo) pode ser menor que o subtraendo. Dessa forma, deve-se pegar emprestado ao número vizinho. 
Exemplo:
31
-
22
___
9
	Como não podemos subtrair 1 de 2, neste caso, “pegamos emprestado” do 3 que será descontado e vira 2, assim temos 11 – 2 = 9, como o 3 emprestou 1 ele virou 2, 2 – 2 = 0.
MULTIPLICAÇÃO
	Multiplicação é uma das cinco operações básicas da aritmética. Seu símbolo pode varias, no entanto tem o mesmo sentido: *, x ou . (ponto). São formas de representar a multiplicação e você pode encontrar por aí , dessa forma quando encontrar uma representação da multiplicação assim já sabe do que se trata.
	Numa operação utilizando a multiplicação, o multiplicador e o multiplicando são chamados de fatores, e o resultado é o produto resultante da multiplicação.
Exemplo: 10 x 2 = 20 ou 40 x 3 = 120 ou 2 . 1 = 2
	Os números antes do sinal de igual são os fatores e o valor após o sinal de igual é o produto. Você já deve ter ouvido por aí que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso é verdade, veja:
Exemplo: 3 x 2 = 6 ou 2 x 3 = 6
MULTIPLICAÇÃO
	A multiplicação nada mais é do que uma soma sucessiva de um dos fatores. A quantidade de vezes que tal fator será somado é definido pelo outro fator da operação.
Exemplo: 4 x 3 = 12 (leia-se: 4 vezes 3 é igual a 12).
	No exemplo acima, o número 3 será somado 4 vezes. Veja:
Exemplo: 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
MULTIPLICAÇÃO
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa
	A ordem dos fatores não altera o valor do produto.
Exemplo: 3 x 5 = 15 ou 5 x 3 = 15
	Dessa forma tanto faz a ordem como os fatores são multiplicados, o resultado é o mesmo.
Associativa
	Quando multiplicamos os três fatores não importa se eles foram agrupados ou não, o resultado é o mesmo.
Exemplo: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30
	No exemplo acima, os parênteses são agrupamentos dos fatores e como os parênteses têm prioridades na multiplicação, o conteúdo dentro deles devem ser multiplicados primeiro. Percebemos que o resultado é o mesmo.
MULTIPLICAÇÃO
Distributiva
	Quando multiplicamos um valor poruma soma, o resultado é a soma do produto do valor com as parcelas da soma.
Exemplo: 3 x (2 + 3) = (3 x 2) + (3 x 3) = 6 + 9 = 15
Elemento neutro
	Na multiplicação o número 1 (um) é o elemento neutro, ou seja, qualquer valor multiplicado por 1 (um) é o próprio valor.
Exemplo: 2 x 1 = 2
Anulação
	O número 0 (zero) anula qualquer produto.
Exemplo: 2 x 3 x 6 x 0 = 0 ou 10 x 0 = 0
MULTIPLICAÇÃO
	A ordem que deve ser multiplicado os fatores começa da esquerda para a direita. Quando houver números decimais, ou seja, números com vírgula, deve ser contada a quantidade de casas após a vírgula para colocar corretamente a vírgula no resultado.
Exemplo: 0,2 x 0,2 = 0,04 
DIVISÃO
	Divisão é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Seu símbolo é o (٪ ). No entanto pode variar, por exemplo, no teclado do computador o símbolo adotado é a barra ( / ), em outros casos, ( : ). A divisão é o ato de dividir em partes iguais para todos. O número que está sendo dividido em partes iguais é chamado de dividendo. O número que indica em quantas vezes vamos dividir é chamado de divisor; o resultado é chamado de quociente; o que sobra é chamado de resto.
Exemplo: 15 : 2 = 7 (sobra 1, portanto tem-se resto 1)
“Lê-se quinze dividido por dois igual a 7”
	No exemplo acima, 15 é o dividendo, 2 o divisor, 7 o quociente (resultado) e 1 é o resto, ou seja, o que sobra como resto dessa divisão. O resto existe quando a divisão não é exata, ou seja, quando o resto é diferente de zero. 
DIVISÃO
PROPRIEDADES DA DIVISÃO
Não é comutativa
	Dividir 2 : 1 = 2 é diferente de dividir 1 : 2 = 0,5. Portanto a comutatividade não vale para a divisão.
Não associativa
	A associativa não vale na divisão. Por exemplo, dividir (4 : 2) : 2 = 2 : 2 = 1 tem resultado diferente de 4 : (2 : 2) = 4 : 1 = 4. Lembrando que os parênteses têm prioridade, ou seja, devem ser resolvidos primeiro.
Elemento neutro
	O número 1 (um) é o elemento neutro na divisão, dividir um número por 1 (um) tem como resultado o próprio número. Faz todo sentido, por exemplo, dividir um pedaço de bolo com você mesmo, o pedaço será todo seu.
 
CASOS PARTICULARES DA DIVISÃO E MULTIPLICAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO
Um número multiplicado por 1 (um) tem como resultado ele mesmo.
	Exemplo: 2 x 1 = 2
Um número multiplicado por 0 (zero) tem como resultado o zero.
	Exemplo: 2 x 0 = 0
DIVISÃO
Um número dividido por 1 (um) tem como resultado ele mesmo.
	Exemplo: 2 : 1 = 2
Um número divido por ele tem como resultado o número 1 (um).
	Exemplo: 2 : 2 = 1
Zero dividido por qualquer número tem como resultado o próprio zero.
	Exemplo: 0 : 2 = 0
Nenhum número real pode ser dividido por 0 (zero). 
 
REGRA DOS SINAIS NA DIVISÃO
	
	A divisão de número naturais com sinais diferentes obedecem às seguintes regras:
Sinais iguais: divide e conserva o sinal.
Sinais diferentes: divide e o resultado fica negativo.
REGRA DOS SINAIS NA DIVISÃO
JOGO DOS SINAIS
: - = +
: + = -
: - = -
: + = +
Exemplos:
(- 10) : (+ 1) = - 10 (Sinais diferentes: divide e o sinal fica negativo).
(+ 10) : (- 1) = - 10 (Sinais diferente: divide e o sinal fica negativo).
(- 10) : (- 1) = + 10 (Sinais iguais: divide e o sinal fica positivo).
(+ 10) : (+ 1) = + 10 (Sinais iguais: divide e o sinal fica positivo).
Exercício de Fixação
1. Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras páginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu a cada dia tantas páginas quanto havia escrito no dia anterior mais 5 páginas. Se o escritor trabalhou 4 dias, então ele escreveu:
A) 80 páginas
B) 85 páginas
C) 95 páginas
D) 110 páginas
2. Um pai tem 35 anos e seus filhos 6, 7 e 9 anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos três filhos menos a idade do pai será de:
A) 2 anos
B) 3 anos
C) 11 anos
D) 13 anos
Exercício de Fixação
3. Em uma sala de aula, onde todos os lugares se encontram ocupados, os alunos estão sentados em filas e essas filas têm todas o mesmo número de lugares.
O aluno Roberto tem:
– um aluno sentado à sua frente;
– dois alunos sentados atrás de si;
– três alunos sentados à sua direita;
– dois alunos sentadas à sua esquerda.
Quantos alunos a na sala de Roberto?
A) 9
B) 18
C) 24
D) 32
Exercício de Fixação
4. A Lotação de um Teatro é de 360 lugares, todos do mesmo preço. Uma parte da lotação foi vendida por R$ 3.000,00, tendo ficado ainda por vender ingressos no valor de R$ 6.000,00. Quantos ingressos já foram vendidos?
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
5. Dispomos de cinco cadeados e 5 chaves para os mesmos. Qual o número máximo de tentativas que devemos fazer para estabelecer a correspondência correta entre os cadeados e as chaves?
A) 5
B) 10
C) 13
D) 25
E) 120