APOSTILA matemática

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MATEMÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURAIS, INTEIROS, RACIO-
NAIS E REAIS; MÚLTIPLOS, DIVISORES, NÚMEROS PRIMOS
— Conjuntos Numéricos1
O agrupamento de termos ou elementos que associam 
características semelhantes é denominado conjunto. Quando 
aplicamos essa ideia à matemática, se os elementos com 
características semelhantes são números, referimo-nos a esses 
agrupamentos como conjuntos numéricos.
Em geral, os conjuntos numéricos podem ser representados 
graficamente ou de maneira extensiva, sendo esta última a 
forma mais comum ao lidar com operações matemáticas. Na 
representação extensiva, os números são listados entre chaves {}. 
Caso o conjunto seja infinito, ou seja, contenha uma quantidade 
incontável de números, utilizamos reticências após listar alguns 
exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois são 
os mais utilizados em problemas e questões durante o estudo da 
Matemática. Esses conjuntos são os Naturais, Inteiros, Racionais, 
Irracionais e Reais.
1 IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos 
e Funções
— Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é simbolizado pela letra N 
e abrange os números que utilizamos para realizar contagem, 
incluindo o zero. Esse conjunto é infinito. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 
4…}
O conjunto dos números naturais pode ser dividido em 
subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números 
naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais 
pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais 
ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Operações com Números Naturais 
Praticamente, toda a Matemática é edificada sobre essas duas 
operações fundamentais: adição e multiplicação.
Adição de Números Naturais
A primeira operação essencial da Aritmética tem como objetivo 
reunir em um único número todas as unidades de dois ou mais 
números.
Exemplo: 6 + 4 = 10, onde 6 e 4 são as parcelas e 10 é a soma 
ou o total.
Subtração de Números Naturais
É utilizada quando precisamos retirar uma quantidade de outra; 
é a operação inversa da adição. A subtração é válida apenas nos 
números naturais quando subtraímos o maior número do menor, 
ou seja, quando quando a-b tal que a≥b.
Exemplo: 200 – 193 = 7, onde 200 é o Minuendo, o 193 
Subtraendo e 7 a diferença.
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o 
subtraendo como subtrativo.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que visa adicionar o primeiro número, denominado 
multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do 
segundo número, chamado multiplicador.
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Exemplo: 3 x 5 = 15, onde 3 e 5 são os fatores e o 15 produto.
- 3 vezes 5 é somar o número 3 cinco vezes: 3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 
+ 3 = 15. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto “. “, para 
indicar a multiplicação).
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes precisamos saber 
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número, que é o maior, é chamado de dividendo, e o outro 
número, que é menor, é o divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente, obtemos o 
dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, 
pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro 
número natural, e, nesses casos, a divisão não é exata.
Princípios fundamentais em uma divisão de números naturais
– Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser 
menor do que o dividendo. 45 : 9 = 5
– Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o 
produto do divisor pelo quociente. 45 = 5 x 9
– A divisão de um número natural n por zero não é possível, 
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos 
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é 
correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita 
impossível.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números 
Naturais
Para todo a, b e c ∈N
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c 
) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b 
–c) = ab – ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um 
número natural por outro número natural, continua como resultado 
um número natural.
Exemplos:
1) Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo 
tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários 
perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o 
esquema.
 Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 
calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com 
defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a 
impressão do lote, é correto dizer que o número de calendários 
perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Solução: Resposta: D.
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, 
mais 2 calendários perfeitos que restaram na conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
2) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada 
cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. Ao final da sua 
apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta 
cidade é:
1ª Zona Eleitoral 2ª Zona Eleitoral
João 1750 2245
Maria 850 2320
Nulos 150 217
Brancos 18 25
Abstenções 183 175
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
Solução: Resposta: E.
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
— Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra 
maiúscula Z e compreende os números inteiros negativos, positivos 
e o zero. 
Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
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O conjunto dos números inteiros também possui alguns 
subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não 
negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não 
positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos 
e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não 
positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento 
desse número até o zero, na reta numérica inteira. Ele é representado 
pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua 
soma resulta em zero; dessa forma, os pontos que os representam 
na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o oposto, ou simétrico, de 
“a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio 
zero.
— Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a 
ideia de ganhar aos números inteiros positivos e a ideia de perder 
aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3)= 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser 
omitido, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser 
dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a 
diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto 
falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que 
subtrair dois números inteiros é equivalente a adicionar o primeiro 
com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, 
etc., precedidos de sinal negativo têm seu sinal invertido, ou seja, 
representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
adição quando os números são repetidos. Podemos entender 
essa situação como ganhar repetidamente uma determinada 
quantidade. Por exemplo, ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas 
significa ganhar 30 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 
2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras.
Divisão de Números Inteiros
Divisão exata de números inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão 
exata de um número inteiro por outro número inteiro (diferente de 
zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros Z, a divisão não é comutativa, 
não é associativa, e não possui a propriedade da existência do 
elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por 
zero. Quando dividimos zero por qualquer número inteiro (diferente 
de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero.
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Regra de sinais
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é 
o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
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Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a. Esse processo resulta em 
outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz 
é representado por n, e o número a é conhecido como radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo quadrado é igual ao número 
original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, quando elevado ao cubo, 
é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, não restringimos nossos cálculos apenas a números 
não negativos.
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Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c ∈Z
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x 
(1/z) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um 
número natural.
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Exemplos: 
1) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do 
uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em 
atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-
se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes 
negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se 
que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, 
atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 
atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: Resposta: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
2) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior 
quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições 
mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco recebido 
será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
Solução: Resposta: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, 
extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior 
quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
— Conjunto dos Números Racionais (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na 
forma de fração. Nessa representação, tanto o numerador quanto 
o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é 
fundamental observar que o denominador não pode ser zero, pois 
a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. 
Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais e inteiros 
são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os 
números naturais e inteiros podem ser representados por frações. 
Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também 
fazem parte do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado 
pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, 
formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado 
pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado 
pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado 
pelos números racionais negativos e não nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo 
de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por 
formas decimais infinitas, com uma característica especial: existe 
um período.
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Para converter uma dízima periódica simples em fração, é 
suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para cada quantidade 
de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), 
então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador 
o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
.
2) Seja a dízima 1, 23434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período 
com o período. Trata-se de uma dízima periódica composta, onde 
há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete 
(período). No exemplo dado, o ante período é representado pelo 
número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a 
seguinte operação: subtrair o ante período do número original (234 
- 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado 
por tantos dígitos 9 quanto o período (dois noves, neste caso) e um 
dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da 
dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até 
o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fra-
ção, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” são números inteiros 
e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais 
da seguinte forma: 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de fra-
ções, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e 
b, é equivalente à operação de adição do número p com o oposto 
de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a
 - 
d
c
 = 
bd
bcad −
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando 
que todo número racional pode ser expresso na forma de uma 
fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, 
representados por a e b é obtido multiplicando-se seus 
numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão 
geral para o produto de dois números racionais é a.b. O produto 
dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b 
× c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, 
devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a 
Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
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Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n 
fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o 
expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto 
dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou 
mais fatores iguais, cada um desses fatores é denominado raiz do 
número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto 
dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de 
adição e multiplicação, isto é, a soma e a multiplicação de dois 
números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = 
( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a 
todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b 
× c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = 
b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que 
multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 
1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q 
diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b
em Q: q × q-1 = 1 
b
a
x 
a
b
 = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( 
b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa 
como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e 
os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração 
representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
— Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais está vinculado à definição 
de números racionais. Dessa forma, pertencem ao conjunto dos 
números irracionais aqueles que não fazem parte do conjunto dos 
racionais. Em outras palavras, um número é ou racional ou irracional, 
não podendo pertencer a ambos os conjuntos simultaneamente. 
Portanto, o conjunto dos números irracionais é o complemento 
do conjunto dos números racionais no universo dos números 
reais. Outra maneira de identificar os números que compõem o 
conjunto dos números irracionais é observar que eles não podem 
ser expressos na forma de fração. Isso ocorre, por exemplo, com 
decimais infinitos e raízes não exatas.
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A combinação do conjunto dos números irracionais com o 
conjunto dos números racionais forma um conjunto denominado 
conjunto dos números reais, representado por R.
A interseção do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais não possui elementos em comum 
e, portanto, é igual ao conjunto vazio (∅).
De maneira simbólica, temos:
Q I = R
Q I = 
Classificação dos Números Irracionais
Os números irracionais podem ser classificados em dois tipos 
principais:
– Números reais algébricos irracionais: Esses números são 
raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Um número real é 
considerado algébrico se puder ser expresso por uma quantidade 
finita de operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e 
raízes de grau inteiro, utilizando os números inteiros. Por exemplo:
É importante observar que a recíproca não é verdadeira; 
ou seja, nem todo número algébrico pode ser expresso usando 
radicais, conforme afirmado pelo teorema de Abel-Ruffini.
– Números reais transcendentes: esses números não são raízes 
de polinômios com coeficientes inteiros. Constantes matemáticas 
como pi (π) e o número de Euler (e) são exemplos de números 
transcendentes. Pode-se dizer que há mais números transcendentes 
do que números algébricos, uma comparação feita na teoria dos 
conjuntos usando conjuntos infinitos.
A definição mais abrangente de números algébricos e 
transcendentes envolve números complexos.
Identificação de números irracionais
Com base nas explicações anteriores, podemos afirmar que:
– Todas as dízimas periódicas são números racionais.
– Todos os números inteiros são racionais.
– Todas as frações ordinárias são números racionais.
– Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
– Todas as raízes inexatas são números irracionais.
– A soma de um número racional com um número irracional é 
sempre um número irracional.
–A diferença de dois números irracionais pode ser um número 
racional.
Exemplos:
1) Considere as seguintes afirmações:
I. Para todo número inteiro x, tem-se
II. 
III. Efetuando-se obtém-se um 
número maior que 5.
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I,II, e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas uma é verdadeira.
(E) I,II e III são falsas.
Solução: Resposta: B.
I 
 
II
 
10x = 4,4444...
- x = 0,4444.....
9x = 4
x = 4/9
 
III
 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
2) Sejam os números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w 
= √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número 
natural? 
(A) yw – xz.
(B) xw + yz.
(C) xy(w – z).
(D) xz(y + w). 
Solução: Resposta: A.
MATEMÁTICA
189
a solução para o seu concurso!
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Vamos testar as alternativas:
A) 
— Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos 
afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma infinidade de outros números. 
R = Q U I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q, podemos construir o diagrama abaixo:
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
Valem todas as propriedades anteriormente discutidas nos conjuntos anteriores, incluindo os conceitos de módulo, números opostos 
e números inversos (quando aplicável).
A representação dos números reais permite estabelecer uma relação de ordem entre eles. Os números reais positivos são maiores 
que zero, enquanto os negativos são menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números reais, a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
MATEMÁTICA
190190
a solução para o seu concurso!
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Operações com números Reais
Operando com as aproximações, obtemos uma sequência de intervalos fixos que determinam um número real. Assim, vamos abordar 
as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Intervalos reais
O conjunto dos números reais possui subconjuntos chamados intervalos, determinados por meio de desigualdades. Dados os números 
a e b, com a < b, temos os seguintes intervalos: 
– Bolinha aberta: representa o intervalo aberto (excluindo o número), utilizando os símbolos:
> ;< ; ] ; [
– Bolinha fechada: representa o intervalo fechado (incluindo o número), utilizando os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ]
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] para indicar as extremidades abertas dos intervalos:
[a, b[ = (a, b);
]a, b] = (a, b];
]a, b[ = (a, b).
a) Em algumas situações, é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou 
acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou valores em débito ou em haver, etc. Esses números, que se estendem 
indefinidamente tanto para o lado direito (positivos) quanto para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos.
b) O valor absoluto de um número relativo é o valor numérico desse número sem levar em consideração o sinal.
c) O valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas no sinal.
— Operações com Números Relativos
Adição e Subtração de Números Relativos
a) Quando os numerais possuem o mesmo sinal, adicione os valores absolutos e conserve o sinal.
b) Se os numerais têm sinais diferentes, subtraia o numeral de menor valor e atribua o sinal do numeral de maior valor.
Multiplicação e Divisão de Números Relativos
a) Se dois números relativos têm o mesmo sinal, o produto e o quociente são sempre positivos.
b) Se os números relativos têm sinais diferentes, o produto e o quociente são sempre negativos.
MATEMÁTICA
191
a solução para o seu concurso!
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Exemplos:
1) Na figura abaixo, o ponto que melhor representa a diferença 
 na reta dos números reais é:
(A) P.
(B) Q.
(C) R.
(D) S.
Solução: Resposta: A.
2) Considere m um número real menor que 20 e avalie as 
afirmações I, II e III:
I- (20 – m) é um número menor que 20.
II- (20 m) é um número maior que 20.
III- (20 m) é um número menor que 20.
É correto afirmar que:
A) I, II e III são verdadeiras.
B) apenas I e II são verdadeiras.
C) I, II e III são falsas.
D) apenas II e III são falsas.
Solução: Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo.
— Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural 
podem ser estendidos para o conjunto dos números inteiros2. Ao 
abordar múltiplos e divisores, estamos nos referindo a conjuntos 
numéricos que satisfazem certas condições. Múltiplos são obtidos 
pela multiplicação por números inteiros, enquanto divisores são 
números pelos quais um determinado número é divisível.
Esses conceitos conduzem a subconjuntos dos números 
inteiros, pois os elementos dos conjuntos de múltiplos e divisores 
pertencem ao conjunto dos números inteiros. Para compreender 
o que são números primos, é fundamental ter uma compreensão 
sólida do conceito de divisores.
Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número 
a é múltiplo de b se, e somente se, existir um número inteiro k 
tal que a=b⋅k. Portanto, o conjunto dos múltiplos de a é obtido 
multiplicando a por todos os números inteiros, e os resultados 
dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, podemos listar os 12 primeiros múltiplos de 2 
da seguinte maneira, multiplicando o número 2 pelos 12 primeiros 
números inteiros: 2⋅1,2⋅2,2⋅3,…,2⋅12
2 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
Isso resulta nos seguintes múltiplos de 2: 2,4,6,…,24
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas 
poderíamos ter listado quantos fossem necessários, pois a lista 
de múltiplos é gerada pela multiplicação do número por todos os 
inteiros. Assim, o conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é múltiplo de outro, é necessário 
encontrar um número inteiro de forma que a multiplicação entre 
eles resulte no primeiro número. Em outras palavras, a é múltiplo 
de b se existir um número inteiro k tal que a=b⋅k. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, 
multiplicado por 7, resulta em 49. 49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro 
que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número 
inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
– Múltiplos de 4
Como observamos, para identificar os múltiplos do número 4, é 
necessário multiplicar o 4 por números inteiros. Portanto: 
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
MATEMÁTICA
192192
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Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que 
b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja, a divisão 
entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidadesão diretrizes práticas que permitem 
determinar se um número é divisível por outro sem realizar a 
operação de divisão.
– Divisibilidade por 2 ocorre quando um número termina em 0, 
2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando é um número par.
– A divisibilidade por 3 ocorre quando a soma dos valores 
absolutos dos algarismos de um número é divisível por 3.
– Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus 
dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
– Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5.
– Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é 
divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
– Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando 
o dobro do seu último algarismo, subtraído do número sem esse 
algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Esse processo é 
repetido até verificar a divisibilidade.
– Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus 
três últimos algarismos formam um número divisível por 8.
– Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9.
– Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando o 
algarismo da unidade termina em zero.
– Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a 
diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma 
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 
11, ou quando essas somas são iguais.
– Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é 
divisível por 3 e por 4 simultaneamente.
– Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é 
divisível por 3 e por 5 simultaneamente.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os 
números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão associadas à divisão entre dois 
inteiros. É importante notar que quando um inteiro é múltiplo de 
outro, ele é também divisível por esse outro número.
Vamos considerar o algoritmo da divisão para uma melhor 
compreensão das propriedades:
N=d⋅q+r, onde q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N−r) 
é um múltiplo do divisor, ou seja, o número d é um divisor de N−r.
– Propriedade 2: A soma entre o dividendo e o resto, acrescida 
do divisor (N−r+d), é um múltiplo de d, indicando que d é um divisor 
de (N−r+d).
Alguns exemplos:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e 
resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as 
propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 
8 e: 528 = 8 · 66
Exemplos:
1) O número de divisores positivos do número 40 é:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 20
Solução: Resposta: A.
Vamos decompor o número 40 em fatores primos.
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada 
expoente:
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e 
multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40.
2) Considere um número divisível por 6, composto por 3 
algarismos distintos e pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}.A 
quantidade de números que podem ser formados sob tais condições 
é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 8
(E) 10
Solução: Resposta: D.
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo 
tempo, e por isso deverá ser par também, e a soma dos seus 
algarismos deve ser um múltiplo de 3.
Logo os finais devem ser 4 e 6:
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números.
— Números Primos
Os números primos3 pertencem ao conjunto dos números 
naturais e são caracterizados por possuir apenas dois divisores: o 
número um e ele mesmo. Por exemplo, o número 2 é primo, pois é 
divisível apenas por 1 e 2.
Quando um número tem mais de dois divisores, é classificado 
como composto e pode ser expresso como o produto de números 
primos. Por exemplo, o número 6 é composto, pois possui os 
divisores 1, 2 e 3, e pode ser representado como o produto dos 
números primos 2 x 3 = 6.
3 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
MATEMÁTICA
193
a solução para o seu concurso!
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Algumas considerações sobre os números primos incluem:
– O número 1 não é considerado primo, pois só é divisível por 
ele mesmo.
– O número 2 é o menor e único número primo par.
– O número 5 é o único primo terminado em 5.
– Os demais números primos são ímpares e terminam nos 
algarismos 1, 3, 7 e 9.
Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando 
divisões com o número investigado. Para facilitar o processo 
fazemos uso dos critérios de divisibilidade:
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as 
divisões com os próximos números primos menores que o número 
até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número 
não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o 
quociente for menor que o divisor, então o número é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o 
quociente for igual ao divisor, então o número é primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é 
divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número 
divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber 
se é divisível pelos números primos menores que ele utilizando a 
operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
Divisão pelo número primo 11:
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente 
é menor que o divisor. Isso comprova que o número 113 é primo.
Fatoração numérica
A fatoração numérica ocorre por meio da decomposição em 
fatores primos. Para decompor um número natural em fatores 
primos, realizamos divisões sucessivas pelo menor divisor primo. 
Em seguida, repetimos o processo com os quocientes obtidos 
até alcançar o quociente 1. O produto de todos os fatores primos 
resultantes representa a fatoração do número. 
Exemplo:
Exemplos:
1) Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos 
são os números 2 e 3.
Solução: Resposta “12, 18, 108”.
A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na 
justificativa abaixo.
Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores 
apenas os números 2 e 3 não precisamos escolher um número e 
fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui 
por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 
quantas vezes quisermos. 
Exemplos:
2 x 2 x 3 = 12
3 x 3 x 2 = 18
2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.
2) Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Solução: Resposta “número 11”.
POTÊNCIAS E RAÍZES
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
MATEMÁTICA
194194
a solução para o seu concurso!
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3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em 
um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta 
em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal 
para positivo e inverter o número que está na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do 
expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma 
base, repete-se a base e soma os expoentes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. 
Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se 
os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um 
expoente, podemos elevarcada um a esse mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos 
elevar separados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais 
fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. 
Veja: 
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um 
e multiplica.
Observe: 
( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se
,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++
MATEMÁTICA
195
a solução para o seu concurso!
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Então:
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é 
igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radi-
cando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++ então: n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado 
é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do 
radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
Caso tenha: 
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com 
radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos 
radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de 
quadrados no denominador:
SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS: COMPRIMENTO, 
ÁREA, VOLUME, MASSA E TEMPO. 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir 
diferentes grandezas, tais como comprimento, capacidade, massa, 
tempo e volume4.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade 
padrão de cada grandeza. Baseado no sistema métrico decimal, o SI 
surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas 
na maior parte dos países.
— Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a 
jarda, a polegada e o pé.
4 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
MATEMÁTICA
196196
a solução para o seu concurso!
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No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). 
Atualmente ele é definido como o comprimento da distância 
percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de um segundo.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro 
(hm) e decâmetro (dam)5.
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), 
centímetro (cm) e milímetro (mm).
Os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são 
chamados de múltiplos porque resultam de uma multiplicação que 
tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, 
resultam de uma divisão que tem igualmente como referência o 
metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é 
a nossa medida base - o metro.
— Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas 
para definir o volume no interior de um recipiente6. A principal 
unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 
dm. Como o volume de um cubo é igual a medida da aresta elevada 
ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, 
também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e decalitro que 
são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os 
submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as 
transformações entre os múltiplos e submúltiplos são feitas 
multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, 
podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplo: fazendo as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
Observando a tabela acima, identificamos que para transformar 
de ml para L devemos dividir o número três vezes por 10, que é o 
mesmo que dividir por 1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
5 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-comprimento/
6 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-capacidade/
Note que dividir por 1000 é o mesmo que “andar” com a vírgula 
três casa diminuindo o número.
b) 5 daL em dL
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, identificamos que para 
converter de decalitro para decilitro devemos multiplicar duas 
vezes por 10, ou seja, multiplicar por 100.
5 . 100 = 500 dL
c) 400 cL em L
Para passar de centilitro para litro, vamos dividir o número 
duas vezes por 10, isto é, dividir por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço ocupado por um 
corpo. Desta forma, podemos muitas vezes conhecer a capacidade 
de um determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico 
(m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, hm³ e dam³) e 
submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de 
medida de volume para uma unidade de medida de capacidade ou 
vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Exemplo: Um tanque tem a forma de um paralelepípedo 
retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de comprimento, 
0,90 m de largura e 0,50 m de altura. A capacidade desse tanque, 
em litros, é:
A) 0,81
B) 810
C) 3,2
D) 3200
Para começar, vamos calcular o volume do tanque, e para isso, 
devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m³
Para transformar o valor encontrado em litros, podemos fazer 
a seguinte regra de três:
Assim, x = 0,81 . 1000 = 810 L.
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o 
quilograma (kg)7. Um cilindro de platina e irídio é usado como o 
padrão universal do quilograma.
7 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
MATEMÁTICA
197
a solução para o seu concurso!
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As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), 
decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg) e 
miligrama (mg).
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a 
onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente a 1000 kg.
• Unidades de medida de massa
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: 
quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), 
decigrama (dg), centigrama (cg), miligrama (mg).
Utilizando o grama como base, os múltiplos e submúltiplos das 
unidades de massa estão na tabela a seguir.
Além das unidades apresentadas existem outras como a 
tonelada, que é um múltiplo do grama, sendo que 1 tonelada 
equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa unidade é muito usada 
para indicar grandes massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no Brasil, para 
determinar a massa dos rebanhos bovinos, suínos e de outros 
produtos. Uma arroba equivale a 15 kg.
O quilate é uma unidade de massa, quando se refere a pedras 
preciosas. Neste caso 1 quilate vale 0,2 g.
— Conversão de unidades
Como o sistema padrão de medida de massa é decimal, 
as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são feitas 
multiplicando-se ou dividindo-se por 108.
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a 
tabela abaixo:
Exemplos: 
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro 
acima. Observe que é necessário multiplicar por 10 três vezes.
1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que 
devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto é o mesmo que dividir 
por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
8https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar 
o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
— Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo 
a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No sistema internacional de 
medidas a unidades de tempo é o segundo (s)9.
Horas, Minutos e Segundos
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que 
está, por exemplo, em minuto para segundos, ou em segundos para 
hora.
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos 
e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta forma, 1 hora 
corresponde a 3.600 segundos.
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar 
por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 minutos (3 . 60 = 
180).
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer 
para passar de uma unidade para outra.
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão 
maior que o segundo. Neste caso, usamos seus submúltiplos.
Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em 
décimos, centésimos ou milésimos de segundos.
Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um 
atleta é medido com precisão de centésimos de segundo.
Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos 
que medem eventos que acontecem em intervalos regulares.
Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo 
foram os relógios de Sol, que utilizavam a sombra projetada de um 
objeto para indicar as horas.
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento 
de líquidos, areia, queima de fluidos e dispositivos mecânicos como 
os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra 
equivale a 24h, que representa 1 dia.
9 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-tempo/
MATEMÁTICA
198198
a solução para o seu concurso!
Editora
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho, setembro, novembro têm 30 
dias.
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de fevereiro normalmente têm 28 
dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano corresponde a 365 dias, no 
entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
Tabela de Conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas que queremos converter, 
por exemplo:
Capacidade: litro (l)
Comprimento: metro (m)
Massa: grama (g)
Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili correspondem 
respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade 
fundamental.
Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
MATEMÁTICA
199
a solução para o seu concurso!
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Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. Lembrando que a medida pode 
ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso 
é o litro.
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre atrás dos algarismos que 
estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml.
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml.
b) Transformando 700 gramas em quilogramas.
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste caso g e os demais algarismos 
nas casas anteriores.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A vírgula passa então para atrás 
do algarismo que está na casa do quilograma.
Então 700 g corresponde a 0,7 kg.
RAZÃO E PROPORÇÃO: REGRA DE TRÊS SIMPLES E REGRA DE TRÊS COMPOSTA;
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números10.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são proporcionais quando formam 
uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. Para preparar uma receita, 
por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
Para encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
A partir das grandezas A e B temos:
Razão
ou A : B, onde b ≠ 0.
10 https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
MATEMÁTICA
200200
a solução para o seu concurso!
Editora
Proporção
onde todos os coeficientes são ≠ 0.
Exemplo: Qual a razão entre 40 e 20?
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e 
o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo 
porcentagem, também chamada de razão centesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima 
é chamado de antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de 
consequente (B).
Qual o valor de x na proporção abaixo?
x = 12 . 3
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos 
descobrir o quarto, também chamado de “quarta proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A 
primeira fração é formada pelos primeiros termos (A/B), enquanto 
a segunda são os segundos termos (C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, 
utilizamos o cálculo da proporção para encontrar o valor procurado.
— Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por 
exemplo:
Logo: A · D = B · C.
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por 
exemplo:
é equivalente
Logo, D. A = C . B.
— Regra de três simples e composta
A regra de três é a proporção entre duas ou mais grandezas, que 
podem ser velocidades, tempos, áreas, distâncias, cumprimentos, 
entre outros11.
É o método para determinar o valor de uma incógnita quando 
são apresentados duas ou mais razões, sejam elas diretamente ou 
inversamente proporcionais.
As Grandezas
Dentro da regra de três simples e composta existem grandezas 
diretamente e inversamente proporcionais.
Caracteriza-se por grandezas diretas aquelas em que o 
acréscimo ou decréscimo de uma equivale ao mesmo processo na 
outra. Por exemplo, ao triplicarmos uma razão, a outra também 
será triplicada, e assim sucessivamente. 
Exemplo: Supondo que cada funcionário de uma microempresa 
com 35 integrantes gasta 10 folhas de papel diariamente. Quantas 
folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de 
colaboradores aumentar para 50?
11 https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/regra-de-
-tres-simples-e-composta
MATEMÁTICA
201
a solução para o seu concurso!
Editora
Ao analisarmos o caso percebemos que o aumento de 
colaboradores provocará também um aumento no gasto de papel. 
Logo, essa é uma razão do tipo direta, que deve ser resolvida através 
da multiplicação cruzada:
35x = 50 . 10
35x = 500
x = 500/35
x = 14,3
Portanto, serão necessários 14,3 papéis para suprir as 
demandas da microempresa com 50 funcionários.
Por outro lado, as grandezas inversas ocorrem quando o 
aumento ou diminuição de uma resultam em grandezas opostas. 
Ou seja, se uma é quadruplicada, a outra é reduzida pela metade, 
e assim por diante. 
Exemplo: Se 7 pedreiros constroem uma casa grande em 80 
dias, apenas5 deles construirão a mesma casa em quanto tempo?
Nesta situação, é preciso inverter uma das grandezas, pois 
a relação é inversamente proporcional. Isso acontece porque 
a diminuição de pedreiros provoca o aumento no tempo de 
construção.
5x = 80 . 7
5x = 560
x = 560/5
x = 112 
Sendo assim, serão 112 dias para a construção da casa com 5 
pedreiros.
Regra de Três Simples
A regra de três simples funciona na relação de apenas 
duas grandezas, que podem ser diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
Exemplo 1: Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do 
suco da fruta. Porém, foi feito uma encomenda de 6 bolos. Quantos 
limões serão necessários?
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já 
que o aumento no pedido de bolos pede uma maior quantidade 
de limões. Logo, o valor desconhecido é determinado pela 
multiplicação cruzada:
x = 250 . 6
x = 1500 ml de suco
Exemplo 2: Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um 
trajeto em 2 horas. Se a velocidade for reduzida para 70 km/h, em 
quanto tempo o veículo fará o mesmo percurso?
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três 
simples inversa, uma vez que ao diminuirmos a velocidade do carro 
o tempo de deslocamento irá aumentar. Então, pela regra, uma das 
razões deverá ser invertida e transformada em direta.
70x = 120 . 2
70x = 240
x = 240/70 
x = 3,4 h
Regra de Três Composta
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou 
mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, ou 
seja, as relações que aparecem em mais de duas colunas.
Exemplo: Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças 
de roupas com 8 costureiras. Caso 6 funcionárias estiverem 
trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças?
MATEMÁTICA
202202
a solução para o seu concurso!
Editora
Inicialmente, deve-se analisar cada grandeza em relação ao 
valor desconhecido, isto é:
- Relacionando os dias de produção com a quantidade de peças, 
percebe-se que essas grandezas são diretamente proporcionais, 
pois aumentando o número de peças cresce a necessidade de mais 
dias de trabalho. 
- Relacionando a demanda de costureiras com os dias de 
produção, observa-se que aumentando a quantidade de peças 
o quadro de funcionárias também deveria aumentar. Ou seja, as 
grandezas são inversamente proporcionais. 
Após análises, organiza-se as informações em novas colunas:
4/x = 160/300 . 6/8
4/x = 960/2400
960x = 2400 . 4
960x = 9600
 x = 9600/960 
x = 10 dias
DIVISÃO PROPORCIONAL
Quando realizamos uma divisão diretamente proporcional es-
tamos dividindo um número de maneira proporcional a uma sequ-
ência de outros números. A divisão pode ser de diferentes tipos, 
vejamos:
Divisão Diretamente Proporcional
• Divisão em duas partes diretamente proporcionais: para de-
compor um número M em duas partes A e B diretamente propor-
cionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas 
incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M: 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q
• Divisão em várias partes diretamente proporcionais: para 
decompor um número M em partes x1, x2, ..., xn diretamente pro-
porcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equa-
ções e n incógnitas, sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... 
+ pn = P:
Divisão Inversamente Proporcional
• Divisão em duas partes inversamente proporcionais: para 
decompor um número M em duas partes A e B inversamente pro-
porcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas par-
tes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respecti-
vamente, os inversos de p e q. Assim basta montar o sistema com 
duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M:
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q.
• Divisão em várias partes inversamente proporcionais: para 
decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn inversamente pro-
porcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n 
partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A 
montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que 
x1 + x2 + ... + xn= M:
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais
• Divisão em duas partes direta e inversamente proporcio-
nais: para decompor um número M em duas partes A e B direta-
mente proporcionais a, c e d e inversamente proporcionais a p e q, 
deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamen-
te proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas 
equações e duas incógnitas de forma que A + B = M
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q.
• Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais: 
para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente 
proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, 
..., qn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn dire-
tamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige 
que x1 + x2 + ... + xn = M:
Exemplos:
(PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) 
Uma herança de R$ 750.000,00 deve ser repartida entre três her-
deiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 
anos. O mais velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
MATEMÁTICA
203
a solução para o seu concurso!
Editora
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
Resolução:
5x + 8x + 12x = 750.000
25x = 750.000
x = 30.000
O mais velho receberá: 12⋅30000=360000
Resposta: C
(TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Quatro funcionários di-
vidirão, em partes diretamente proporcionais aos anos dedicados 
para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre 
esses quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, 
outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados e 
o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa 
maneira, o número de anos dedicados para a empresa, desse últi-
mo funcionário citado, é igual a
(A) 5.
(B) 7.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedi-
cou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
Resposta: D
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – 
FCC) Uma prefeitura destinou a quantia de 54 milhões de reais para 
a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser cons-
truída em cada escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 
m² e a quantia destinada à cada escola é diretamente proporcional 
a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 
1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões.
Resolução:
Chamemos de x, y e z as quantias destinadas às áreas de 1.500 
m2, 1.200 m2 e 900 m2, respectivamente.
Sendo as quantias diretamente proporcionais às áreas, tere-
mos:
Ou ainda, simplificando os denominadores:
(Apenas dividi cada denominador por 300).
 
Agora vamos escrever as incógnitas y e z em função de x:
Ainda, sabemos que:
Substituindo pelas expressões de y e z:
Resposta: A
(SABESP – ATENDENTE A CLIENTES 01 – FCC) Uma empresa 
quer doar a três funcionários um bônus de R$ 45.750,00. Será feita 
uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. 
Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou 
durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou durante 3 anos 
e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos 
que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
Resolução:
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, 
L e M.
MATEMÁTICA
204204
a solução para o seu concurso!
Editora
Agora, vamoscalcular o valor que M e F receberam:
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00
Resposta: A
(SESP/MT – PERITO OFICIAL CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL/
ENGENHARIA ELÉTRICA/FÍSICA/MATEMÁTICA – FUNCAB/2014) 
Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamen-
te proporcionais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, 
Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem ficar com a 
maior parte da divisão.
(A) R$ 36.000,00
(B) R$ 60.000,00
(C) R$ 48.000,00
(D) R$ 24.000,00
(E) R$ 30.000,00
Resolução:
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente 
proporcional).
Assim:
8.M = 288 000 
M = 288 000 / 8 
M = R$ 36 000,00
M + J + C = 72000
Resposta: A
PORCENTAGEM,
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, 
ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que 
significa dividir por 100 e, por isso, essa razão também é chamada 
de razão centesimal ou percentual12.
Saber calcular porcentagem é importante para resolver 
problemas matemáticos, principalmente na matemática financeira 
para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
— Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão 
centesimal correspondente à porcentagem pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a 
seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de 
porcentagem:
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da 
seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma 
prova. Pensando nisso, trouxemos dois métodos que te ajudarão a 
fazer porcentagem de maneira mais rápida.
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagem rapidamente 
utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para 
aprender essa técnica.
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que 
representa 1%.
12 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
MATEMÁTICA
205
a solução para o seu concurso!
Editora
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela 
porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações 
equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo 
e podem ser encontradas dividindo o numerador e o denominador 
da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% 
de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como fazer:
— Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados 
utilizando o fator de multiplicação ou fator multiplicativo.
Fator espaço de espaço multiplicação espaço igual a espaço 
1 espaço mais ou menos espaço i, onde i corresponde à taxa de 
variação.
Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço 
de um produto, ou seja, o resultado será fatores diferentes.
Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de 
multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria 
que custava R$ 100. O valor final da mercadoria pode ser calculado 
da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
Fator de multiplicação = 1,25.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria 
seja R$ 125.
Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmula do fator 
multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria 
que custa R$ 100, qual o valor final da mercadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS. 
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com 
o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações 
financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar 
uma determinada quantia durante um período de tempo13.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela 
operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou 
aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e 
considera apenas o valor inicial. Nos juros compostos a correção é 
feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros 
sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que já foi 
corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou 
empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor 
final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros 
simples.
13 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
MATEMÁTICA
206206
a solução para o seu concurso!
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A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo 
sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as 
operações de curto período.
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática 
financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no 
caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um 
empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital 
com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar 
a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o 
valor do montante cresce linearmente em função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 
25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no 
problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, 
podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos 
o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos 
multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado 
aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula 
para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. 
Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para 
períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 
aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de 
juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, 
temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o 
número de casas decimais utilizadas na potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
MATEMÁTICA
207
a solução para o seu concurso!
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU, EQUAÇÃODO 2º GRAU, SISTEMAS 
DE EQUAÇÕES; EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMI-
CAS.
— Equação do 1° Grau
Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma 
ou mais incógnitas14. Quem determina o “grau” dessa equação é 
o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a 
equação do 1º grau. Se o expoente for 2, a equação será do 2º grau; 
se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real 
e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x pode ser representada por 
qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor 
a ser encontrado para o resultado da equação. O primeiro membro 
da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, e o 
segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos 
achar o valor da incógnita (que vamos chamar de x) e, para que isso 
seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve 
ficar sozinho em um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no 
mesmo membro em que se encontra x e “jogar” para o outro lado 
da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e 
ele está somando. Para isolar a incógnita, ele vai para o outro lado 
da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
2° exemplo:
14 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacao-primeiro-grau.
htm#:~:text=Na%20Matem%C3%A1tica%2C%20a%20equa%C3%A7%-
C3%A3o%20%C3%A9,equa%C3%A7%C3%A3o%20ser%C3%A1%20
de%203%C2%BA%20grau.
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está 
subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro lado da igualdade 
com a operação inversa, que é a soma:
3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da 
incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando e vai para o outro 
lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, 
passa para o outro lado dividindo.
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar 
o número para o outro lado, devemos sempre deixar o lado da 
incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro 
lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada 
de regra da balança. Não é muito utilizada no Brasil, mas tem 
a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for 
feito no primeiro membro da equação deve também ser feito no 
segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter 
o resultado. Veja a demonstração nesse exemplo:
MATEMÁTICA
208208
a solução para o seu concurso!
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Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele 
está somando, vamos subtrair o número 12 nos dois membros da 
equação:
Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita 
será dividido por 3 nos dois membros da equação:
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 
será chamada equação do segundo grau15. O único detalhe é que 
a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em 
hipótese alguma.
Uma equação é uma expressão que relaciona números 
conhecidos (chamados coeficientes) a números desconhecidos 
(chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma 
equação é usar as propriedades dessa igualdade para descobrir 
o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles 
são representados pela letra x, podemos dizer que resolver uma 
equação é encontrar os valores que x pode assumir, fazendo com 
que a igualdade seja verdadeira.
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 
0 os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira16. 
Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais 
que sejam raízes dela. Para resolver equações do 2º grau completas, 
existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com 
que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é necessário o 
conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as 
soluções da equação são números quebrados, soma e produto não 
é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não 
são a incógnita dessa equação, sejam eles conhecidos ou não. Para 
isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das 
15 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.
htm#:~:text=Toda%20equa%C3%A7%C3%A3o%20que%20puder%20
ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
16 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.
htm
equações do segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que 
o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica x, e o 
coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminante de uma equação do segundo grau é 
representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado pela seguinte 
fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do 
segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, por exemplo, os 
coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números 
na fórmula do discriminante, teremos:
Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções 
reais17. Por meio do discriminante, é possível descobrir quantas 
soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em 
vez de perguntar quais as soluções de uma equação. Então, nesse 
caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
Se Δ < 0, a equação não possui soluções reais.
Se Δ = 0, a equação possui apenas uma solução real.
Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a 
raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é impossível calcular essas 
raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo 
grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir coeficientes e 
discriminante na seguinte expressão:
17 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-u-
ma-equacao-segundo-grau.htm
MATEMÁTICA
209
a solução para o seu concurso!
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Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. 
Esse sinal indica que deveremos fazer um cálculo para √Δ positivo 
e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, 
substituiremos seus coeficientes e seu discriminante na fórmula de 
Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de 
solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um 
número. Ele se torna interessante quando as raízes da equação são 
números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse 
método fica bastante complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da 
equação do segundo grau, logo devemos buscar quais são os 
possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto 
seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.
Os númeroscuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma 
seja igual a 5. Note que somente a II possui soma igual a 5, logo as 
raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c 
iguais a zero4. Existem três tipos dessas equações, cada um com um 
método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando 
um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a zero. Existem três casos 
possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para 
encontrar o conjunto de soluções da equação. Por mais que seja 
possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos 
específicos de cada equação incompleta acabam sendo menos 
trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação 
incompleta é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, 
já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é 
bastante comum a utilização da fórmula de Bhaskara, porém 
existem métodos específicos para cada um dos casos de equações 
incompletas, a seguir veremos cada um deles.
Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma 
equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu conjunto de 
soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa 
equação como uma equação produto. Vejamos um exemplo a 
seguir.
MATEMÁTICA
210210
a solução para o seu concurso!
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Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, 
um deles tem que ser igual a zero, no caso, temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar 
o valor de x que faz com que 2x + 5 seja igual a zero, então, temos 
que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = 
-5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo 
ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a variável x até encontrar as 
possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que 
existem sempre dois números e que, ao elevarmos ao quadrado, 
encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o 
símbolo de ±.
x = ±√4
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais 
a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá sempre como única 
solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo:
3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igual-
dade de mesma base pela simples aplicação das propriedades das 
potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na de-
finição de logaritmo.
Existem quatro tipos de equações logarítmicas:
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logarit-
mos de mesma base:
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0.
Exemplo
Temos que: 
2x + 4 = 3x + 1
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = {3}
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logarit-
mos e um número real:
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar.
Exemplo
Pela definição de logaritmo temos:
5x + 2 = 33
5x + 2 = 27
5x = 27 – 2 
5x = 25
x = 5
Portanto S = {5}.
3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança 
de incógnita:
Exemplo
Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita:
MATEMÁTICA
211
a solução para o seu concurso!
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Substituindo na equação inicial, ficaremos com:
4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de 
mudança de base:
Exemplo
Usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a 
equação acima da seguinte forma:
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades:
Vamos retornar à equação:
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue 
que:
(2x + 3)(x + 2) = x2
ou
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0
x = -1 ou x = - 6
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base 
devem ser positivos. Com os valores encontrados para x, o logarit-
mando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução 
ou S = ø.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Chama-se equação exponencial18, toda equação onde a variá-
vel x se encontra no expoente. 
Exemplos
18 colegioweb.com.br
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único
Para resolução, precisamos encontrar os valores da variável 
que a torna uma sentença numérica verdadeira. Vamos relembrar 
algumas das propriedades da potenciação para darmos continuida-
de:
Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação ex-
ponencial:
Exemplos 
1) 2x = 8 
1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras 
equivalentes, as quais possuem nos dois membros potências de 
mesma base. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de 
base 2. Fatorando o 8 obtemos 23 = 8.
2º) Aplicando a propriedade da potenciação: • base 
iguais, igualamos os expoentes, logo
x = 3
2) 2m . 24 = 210
2 m + 4 = 210 • m + 4 = 10 • m = 10 - 4 • m = 6
S = {6}
3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64
6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64 • 2m – 1 – m + 3 = 4 • 2m – m = 4 + 1 – 3 • m 
= 5 – 3 • m = 2
S = {2}
4) 32x - 4.3x + 3 = 0.
A expressão dada pode ser escrita na forma:
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0
Criamos argumentos para resolução da equação exponencial.
Fazendo 3x = y, temos:
y2 – 4y + 3 = 0, assim y = 1 ou y = 3 (Foi resolvida a equação do 
segundo grau)
Como 3x= y, então 
3x = 1 
x = 0 ou 
3x = 3 1
x = 1
S = {0,1}
MATEMÁTICA
212212
a solução para o seu concurso!
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EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha 
pelo menos uma incógnita e uma igualdade.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, 
além de ter essas características gerais, é preciso que a função tri-
gonométrica seja a função de uma incógnita. 
sen x = cos 2x 
sen 2x – cos 4x = 0 
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0 
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita 
pertence à função trigonométrica. 
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15 
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma 
equação trigonométrica, pois a incógnita não pertence à função tri-
gonométrica. 
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma 
de equações trigonométricas elementares ou equações trigonomé-
tricas fundamentais, representadas da seguinte forma: 
sen x = sen α
cos x = cos α
tg x = tg α
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, 
ou seja, de um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir 
em cada equação.
Resolução da 1ª equação fundamental
- sen x = sen α
Para que dois arcos x e α da primeira volta possuam o mesmo 
seno, é necessário que suas extremidades estejam sobre uma única 
horizontal. Podemos dizer também que basta que suas extremida-
des coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos senos.
Assim, os valores de x que resolvem a equação sen x = sen α 
(com α conhecido) são x = α ou x = π- α. Veja a figura:
- cos x = cos α
Para que x e α possuam o mesmo cosseno, é necessário que 
suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao 
eixo dos cossenos, ou, em outraspalavras, que ocupem no ciclo a 
mesma vertical.
Nessas condições, com α dado, os valores de x que resolvem a 
equação cos x = cos α são: x = a ou x = 2π- α.
- tg x = tg α
Dois arcos possuem a mesma tangente quando são iguais ou 
diferem π radianos, ou seja, têm as extremidades coincidentes ou 
simétricas em relação ao centro do ciclo.
Assim temos x = α ou x = α ±π como raízes da equação tg x = 
tg α
Solução geral de uma equação
Quando resolvemos uma equação considerando o conjunto 
universo mais amplo possível, encontramos a sua solução geral. 
Essa solução é composta de todos os valores que podem ser atribu-
ído à incógnita de modo que a sentença se torne verdadeira.
Exemplo:
Ao resolver a equação sen x = ½ no conjunto dos reais ( U=R), 
fazemos:
sen x = ½ • sen x = sen π/6 • 
 
MATEMÁTICA
213
a solução para o seu concurso!
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Obtendo todos os arcos x (por meio da expressão geral dos ar-
cos x) que tornam verdadeira a sentença sen x = ½
Portanto: S = { x ϵ R | x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ϵ Z)
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A expressão matemática que define a função exponencial é 
uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e 
diferente de 1 e o expoente é uma variável.
Função crescente
Se a > 1 temos uma função exponencial crescente, qualquer 
que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida 
que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos 
que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em 
todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x au-
menta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função 
é decrescente.
A Constante de Euler 
É definida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: 
e = 2,7182818284 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Propriedades dos expoentes
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- ax ay= ax + y
- ax / ay= ax - y
- (ax) y= ax.y
- (a b)x = ax bx
- (a / b)x = ax / bx
- a-x = 1 / ax
FUNÇÕES: AFINS, QUADRÁTICAS, EXPONENCIAIS, LOGA-
RÍTMICAS. 
Na Matemática, função corresponde a uma associação dos 
elementos de dois conjuntos, ou seja, a função indica como os 
elementos estão relacionados19.
Por exemplo, uma função de A em B significa associar cada 
elemento pertencente ao conjunto A a um único elemento que 
compõe o conjunto B, sendo assim, um valor de A não pode estar 
ligado a dois valores de B.
Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A em B).
— Representação das Funções
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de domínio 
(D) e o conjunto B recebe o nome de contradomínio (CD).
19 https://www.todamateria.com.br/funcao/
MATEMÁTICA
214214
a solução para o seu concurso!
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Um elemento de B relacionado a um elemento de A recebe 
o nome de imagem pela função. Agrupando todas as imagens 
de B temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do 
contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8}, com a função que determina a relação entre os elementos 
f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é 
transformado em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar 
por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 6, 8}, que se ligam aos 
elementos de A, são os valores de saída.
Portanto, para essa função:
- O domínio é {1, 2, 3, 4};
- O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
- O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
Tipos de Funções
As funções recebem classificações de acordo com suas 
propriedades. Confira a seguir os principais tipos.
Função Sobrejetora
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto 
imagem. Portanto, todo elemento de B é imagem de pelo menos 
um elemento de A.
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-4, -2, 2, 3};
- O contradomínio é {12, 4, 6};
- O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
Função Injetora
Na função injetora todos os elementos de A possuem 
correspondentes distintos em B e nenhum dos elementos de A 
compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem 
existir elementos em B que não estejam relacionados a nenhum 
elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {0, 3, 5};
- O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
- O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
Função Bijetora
Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número 
de elementos relacionados. Essa função recebe esse nome por ser 
ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-1, 1, 2, 4};
- O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
- O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
Função Afim
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma 
função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, sendo a e b números 
reais20. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são 
exemplos de funções afim.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de 
x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. 
Já o número b é chamado de termo constante.
20 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
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Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta 
oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para construirmos seu 
gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores 
arbitrários para x, substituir na equação e calcular o valor 
correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de 
x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses valores na função, 
temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na 
imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, 
entretanto, para definir uma reta bastam dois pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os 
pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da função corta o eixo Ox 
e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente 
a de x é também chamado de coeficiente angular. Esse valor 
representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e 
representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois sendo x = 0, 
temos:
y = a.0 + b ⇒ y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular 
igual a zero (a = 0) a função será chamada de constante. Neste caso, 
o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de 
função identidade. O gráfico da função f (x) = x (função identidade) 
é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, 
divide os quadrantes em dois ângulos iguais, conforme indicado na 
imagem abaixo:
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero 
(b = 0), a função afim é chamada de função linear. Por exemplo as 
funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam 
pela origem (0,0).
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216216
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Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quandoao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se a for negativo, a função será 
decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é decrescente visto que a = - 2 
(negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão21:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 2x² + 3x + 5,
21 https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
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sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois 
é o maior expoente da variável.
— Como resolver uma função quadrática
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de 
resolução da função quadrática:
Exemplo: Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) 
= ax² + bx + c, sendo:
f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada 
função e assim teremos:
f (-1) = 8
a (-1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 0² + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 2² + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e 
III para determinar as outras incógnitas (a e b):
(Equação I)
a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir 
na III para determinar o valor de b:
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de 
b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:
a = 1
b = - 3
c = 4
— Raízes da Função
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos 
valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas 
pela resolução da equação de segundo grau:
f(x) = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários 
métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de 
Bhaskara, ou seja:
Exemplo: Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6.
Sendo:
a = 1
b = – 5
c = 6
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
Portanto, as raízes são 2 e 3.
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática 
vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b² – 4. ac, o qual é 
chamado de discriminante.
Assim,
- Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
- Se Δ < 0, a função não terá uma raiz real;
- Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2).
— Gráfico da Função Quadrática
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem 
o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde 
conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções 
quadráticas são necessários conhecer vários pontos.
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou 
zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo do valor 
do discriminante (Δ). Assim, temos:
- Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
- Se Δ < 0, o gráfico não cortará o eixo x;
- Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.
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218218
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Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado 
usando-se a seguinte fórmula:
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando 
estiver para cima.
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a 
concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja:
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice 
e o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0.
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos 
encontrados.
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um22.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de 
uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número 
negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
— Gráfico da Função Exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca 
no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto, a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta 
pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
22 https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial/
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Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.
— Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a 
função y = 2x é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores 
para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os 
valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o 
valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos 
o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que 
zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é 
uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado 
encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x 
aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta 
forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função 
decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico 
dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a 
curva exponencial fica.
— Função Logarítmica
A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, 
com a real, positivo e a ≠ 123. A função inversa da função logarítmica 
é a função exponencial.
O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual 
se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja:
Exemplos:
f (x) = log3 x
g (x) = 
h (x) = log10 x = log x
— Gráfico da Função Logarítmica
De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado 
no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0.
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e 
corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = loga 1 = 0, para 
qualquer valor de a.
23 https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
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Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função 
logarítmica.
— Função Crescente e Decrescente
Uma função logarítmica será crescente quandoa base a for maior 
que 1, ou seja, x1 < x2 loga x1 < loga x2. Por exemplo, a função f 
(x) = log2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.
Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores 
para x na função e calculamos a sua imagem. Os valores encontrados 
estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando o valor de x 
aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos 
o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero 
e menores que 1 são decrescentes, ou seja, x1 < x2 loga x1 > loga 
x2. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a 
. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o 
resultado encontra-se na tabela abaixo:
Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das 
respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a 
função é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico 
dessa função. Note que quanto menor o valor de x, mais perto do 
zero a curva logarítmica fica, sem, contudo, cortar o eixo y.
— Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos 
triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: 
seno, cosseno e tangente.
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões 
existentes entre dois lados do triângulo em função de um ângulo.
Elas são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a 
hipotenusa:
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221
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Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS.
— Sequência Numérica
Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica 
corresponde a uma função dentro de um agrupamento de números.
De tal modo, os elementos agrupados numa sequência 
numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto24.
— Classificação
As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, por 
exemplo:
SF = (2, 4, 6, ..., 8).
SI = (2,4,6,8...).
Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas 
pelas reticências no final. Além disso, vale lembrar que os elementos 
da sequência são indicados pela letra a. Por exemplo:
1° elemento: a1 = 2.
4° elemento: a4 = 8.
O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo 
representado por an. Nesse caso, o an da sequência finita acima 
seria o elemento 8.
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira:
SF = (a1, a2, a3,...,an).
SI = (a1, a2, a3, an...).
— Lei de Formação
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada para calcular 
qualquer termo de uma sequência, expressa pela expressão:
an = 2n² - 1
— Lei de Recorrência
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer termo de uma 
sequência numérica a partir de elementos antecessores:
an = an-1, an-2,...a1
24 https://www.todamateria.com.br/sequencia-numerica/
— Progressão Aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência formada por 
termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, 
que recebe o nome de razão, calculado por25:
r = a2 – a1
Onde:
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem 
ser escritos da seguinte forma:
Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) 
da sequência é:
an = a1 + (n – 1) . r
Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é 
representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus 
componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
Tipos de PA
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são 
classificadas em 3 tipos:
1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da 
PA são iguais.
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0
2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a 
partir do segundo é maior que o anterior;
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2
3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo 
a partir do segundo é menor que o anterior.
Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2
As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em 
finitas, quando possuem um determinado número de termos, e 
infinitas, ou seja, com infinitos termos.
Soma dos Termos de uma PA
A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada 
pela fórmula:
Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro 
termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver 
questões em que são dados o primeiro e o último termo.
25 https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/
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222222
a solução para o seu concurso!
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Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão 
da PA, você pode utilizar a fórmula:
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de 
uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de uma PA com 
um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o 
primeiro e último termo (a1 e an):
Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA 
corresponde à média aritmética do antecessor e do sucessor. 
Exemplo: Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) vamos determinar a 
razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PA
2. Termo médio
3. Soma dos termos
— Progressão Geométrica (PG)
Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência 
tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos 
consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:
Onde,
q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada 
da seguinte forma:
Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado 
por a1.q
(n-1).
Tipos de PG
De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as 
Progressões Geométricas em 4 tipos:
1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 < q < 1 
e termos negativos;
Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3.
2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0 < q 
< 1 e os termos positivos;
Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3.
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3.
3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números 
negativos e positivos;
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2.
4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem 
o mesmo valor.
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1.
Soma dos Termos de uma PG
A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada 
pela fórmula:
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de 
termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula 
a seguir para determinar a soma dos termos.
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223
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Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0 < q < 1, a fórmula utilizada é:
Termo Médio da PG
Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o 
primeiro e último termo (a1 e an):
Exemplo: Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) vamos determinar a razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PG
2. Termo médio
3. Soma dos termos
ANÁLISE COMBINATÓRIA: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM, PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO. PROBA-
BILIDADE.
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas 
relacionados com contagem26.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de 
elementos.
26 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
MATEMÁTICA
224224
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— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes,de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as 
possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida 
e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. 
Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, 
cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um 
cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado 
abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos 
que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta 
multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em 
algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de 
agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de 
contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para 
indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para 
efetuar os cálculos de análise combinatória.
MATEMÁTICA
225
a solução para o seu concurso!
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— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da 
ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p 
≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na 
votação para escolher um representante e um vice-representante 
de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o 
representante e o segundo mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá 
ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que 
altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número 
de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos 
disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando 
o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. 
Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 
na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras 
diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número 
de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se 
sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos 
elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela 
natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos 
tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 
3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, 
dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser 
formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem 
dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, 
João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos 
o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, 
pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do 
denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de 
obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. 
São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de 
dados ou a possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre 
o número de eventos possíveis e número de eventos favoráveis, 
sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, 
muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas estudadas em 
análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o 
prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma aposta mínima, ou 
seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão 
entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Nesta situação, temos 
apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis 
números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em 
consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 números, não 
importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, 
conforme indicado abaixo:
MATEMÁTICA
226226
a solução para o seu concurso!
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Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. 
A probabilidade de acertarmos então será calculada como:
— Probabilidade
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda 
experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível 
analisar as chances de um determinado evento ocorrer27.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando 
um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de 
experimentos, cujos resultados não podem ser determinados 
antecipadamente. Probabilidade é a medida da chance de algo 
acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de 
um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo 
de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa 
comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de 
um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível 
conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas 
condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é 
atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não 
viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de 
massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza 
qual das 6 faces estará voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de 
um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer 
um determinado resultado através da divisão entre o númerode 
eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam 
(evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade 
teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, 
basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade 
de sair um número menor que 3?
27 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma 
chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a 
fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 
2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número menor que 3” tem 2 
possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta 
multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é 
de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um 
experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e 
verificar a face voltada para cima, temos os pontos amostrais cara e 
coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral 
corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, ou, 
resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, 
o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este 
baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um 
dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se 
cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto 
entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento 
lançar um dado é n(Ω) = 6.
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço 
amostral equiprovável, cada ponto amostral possui a mesma 
probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, 
preta e branca, ao sortear uma ao acaso, quais as probabilidades de 
ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma 
chance de serem sorteadas.
MATEMÁTICA
227
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— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um 
experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser 
sorteada ao acaso e ser mulher.
Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas 
de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois 
todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento “tirar um número 
maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 
20.
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, 
sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço 
amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é 
complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o 
próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. 
A intersecção entre os dois conjuntos é vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes 
eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre 
eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, 
a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a 
ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro 
de colaboradores de uma empresa que atua na França e no Brasil, 
um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um 
prêmio. Há apenas colaboradores franceses e brasileiros, homens 
e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar 
a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja 
francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser 
mulher), apenas se for francesa (evento B).
ESTATÍSTICA BÁSICA: LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DA-
DOS REPRESENTADOS EM TABELAS E GRÁFICOS
— Gráficos
Os gráficos são representações que facilitam a análise de 
dados, os quais costumam ser dispostos em tabelas quando se 
realiza pesquisas estatísticas28. Eles trazem muito mais praticidade, 
principalmente quando os dados não são discretos, ou seja, quando 
são números consideravelmente grandes. Além disso, os gráficos 
também apresentam de maneira evidente os dados em seu aspecto 
temporal.
Elementos do Gráfico
Ao construirmos um gráfico em estatística, devemos levar em 
consideração alguns elementos que são essenciais para sua melhor 
compreensão. Um gráfico deve ser simples devido à necessidade 
de passar uma informação de maneira mais rápida e coesa, ou seja, 
em um gráfico estatístico, não deve haver muitas informações, 
devemos colocar nele somente o necessário.
As informações em um gráfico devem estar dispostas de 
maneira clara e verídica para que os resultados sejam dados de 
modo coeso com a finalidade da pesquisa.”
Tipos de Gráficos
Em estatística é muito comum a utilização de diagramas para 
representar dados, diagramas são gráficos construídos em duas 
dimensões, isto é, no plano. Existem vários modos de representá-
los. A seguir, listamos alguns.
• Gráfico de Pontos
Também conhecido como Dotplot, é utilizado quando 
possuímos uma tabela de distribuição de frequência, sendo ela 
absoluta ou relativa. O gráfico de pontos tem por objetivo apresentar 
os dados das tabelas de forma resumida e que possibilite a análise 
das distribuições desses dados.
Exemplo: Suponha uma pesquisa, realizada em uma escola de 
educação infantil, na qual foram coletadas as idades das crianças. 
Nessa coleta foi organizado o seguinte rol:
Rol: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6}
28 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/graficos.htm
MATEMÁTICA
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Podemos organizar esses dados utilizando um Dotplot.
Observe que a quantidade de pontos corresponde à frequência de cada idade e o somatório de todos os pontos fornece-nos a 
quantidade total de dados coletados.
• Gráfico de linha
É utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo, esse tipo de gráfico é muito presente em análises 
financeiras. O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo, que pode ser dado em anos, meses, dias, horas etc., enquanto o eixo das 
ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão.
Uma das vantagens desse tipo de gráfico é a possibilidade de realizar a análise de mais de uma tabela, por exemplo.
Exemplo: Uma empresa deseja verificar seu faturamento em determinado ano, os dados foram dispostos em uma tabela.
MATEMÁTICA
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Veja que nesse tipo de gráfico é possível ter uma melhor noção a respeito do crescimento ou do decrescimento dos rendimentos da 
empresa.
• Gráfico de Barras
Tem como objetivo comparar os dados de determinada amostra utilizando retângulos de mesma largura e altura. Altura essa que deve 
ser proporcional ao dado envolvido, isto é, quanto maior a frequência do dado, maior deve ser a altura do retângulo.
Exemplo: Imagine que determinada pesquisa tem por objetivo analisar o percentual de determinada população que acesse ou tenha: 
internet, energia elétrica, rede celular, aparelho celular ou tablet. Os resultados dessa pesquisapodem ser dispostos em um gráfico como 
este:
• Gráfico de Colunas
Seu estilo é semelhante ao do gráfico de barras, sendo utilizado para a mesma finalidade. O gráfico de colunas então é usado quando 
as legendas forem curtas, a fim de não deixar muitos espaços em branco no gráfico de barra.
MATEMÁTICA
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Exemplo: Este gráfico está, de forma genérica, quantificando e comparando determinada grandeza ao longo de alguns anos.
• Gráfico de Setor
É utilizado para representar dados estatísticos com um círculo dividido em setores, as áreas dos setores são proporcionais às 
frequências dos dados, ou seja, quanto maior a frequência, maior a área do setor circular.
Exemplo: Este exemplo, de forma genérica, está apresentando diferentes variáveis com frequências diversas para determinada 
grandeza, a qual pode ser, por exemplo, a porcentagem de votação em candidatos em uma eleição.
MATEMÁTICA
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• Histograma
O Histograma é uma ferramenta de análise de dados que apresenta diversos retângulos justapostos (barras verticais)29.
Por esse motivo, ele se assemelha ao gráfico de colunas, entretanto, o histograma não apresenta espaço entre as barras.
• Infográficos
Os infográficos representam a união de uma imagem com um texto informativo. As imagens podem conter alguns tipos de gráficos.
29 https://www.todamateria.com.br/tipos-de-graficos/
MATEMÁTICA
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— Tabelas
As tabelas são usadas para organizar algumas informações ou dados. Da mesma forma que os gráficos, elas facilitam o entendimento, 
por meio de linhas e colunas que separam os dados.
Sendo assim, são usadas para melhor visualização de informações em diversas áreas do conhecimento. Também são muito frequentes 
em concursos e vestibulares.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (MÉDIA, MEDIANA, MODA) 
Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo número de elementos do 
conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritmética 
para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil estabelecer 
uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:
1,85 + 1,85 + 1,95 + 1,98 + 1,98 + 1,98 + 2,01 + 2,01+2,07+2,07+2,07+2,07+2,10+2,13+2,18 = 30,0
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada 
média aritmética ponderada.
Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol: x1 , x2 , x3 , ... xn
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo xi tal que o número de termos da sequência que precedem xi é igual ao número de termos 
que o sucedem, isto é, xi é termo médio da sequência (xn) em rol.
MATEMÁTICA
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a solução para o seu concurso!
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Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média arit-
mética entre os termos xj e xj +1, tais que o número de termos que 
precedem xj é igual ao número de termos que sucedem xj +1, isto é, 
a mediana é a média aritmética entre os termos centrais da sequ-
ência (xn) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 
12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética 
entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
Moda (Mo)
Num conjunto de números: x1 , x2 , x3 , ... xn, chama-se moda 
aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, 
isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
Medidas de dispersão
Duas distribuições de frequência com medidas de tendência 
central semelhantes podem apresentar características diversas. 
Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o 
grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de 
qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados 
medidas de dispersão.
Variância 
Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um 
conjunto de números em relação à sua média aritmética, e que é 
chamado de variância. Esse índice é assim definido:
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua 
média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se 
por , o número:
Isto é:
E para amostra
Exemplo 1:
Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o se-
guinte desempenho, descrito na tabela abaixo:
JOGO NÚMERO DE PONTOS
1 22
2 18
3 13
4 24
5 26
6 20
7 19
8 18
a) Qual a média de pontos por jogo?
b) Qual a variância do conjunto de pontos?
Solução:
a) A média de pontos por jogo é:
b) A variância é:
MATEMÁTICA
234234
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Desvio médio
Definição
Medida da dispersão dos dados em relação à média de uma 
sequência. Esta medida representa a média das distâncias entre 
cada elemento da amostra e seu valor médio.
Desvio padrão
Definição
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua média 
aritmética. Chama-se desvio padrão desse conjunto, e indica-se 
por , o número:
Isto é:
Exemplo:
As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 
2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:
a) A estatura média desses jogadores.
b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.
Solução:
Sendo a estatura média, temos:
Sendo o desvio padrão, tem-se:
GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, CIRCUNFERÊNCIA, CÍR-
CULO, TEOREMA DE PITÁGORAS, TRIGONOMETRIA NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO; PERÍMETROS E ÁREAS. 
— Geometria Plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem 
volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, circunferências são 
alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos)30.
30 https://bityli.com/BMvcWO
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o 
perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir das relações entre os 
ângulos e as outras medidas da forma geométrica. 
Algumas fórmulas de geometria plana:
— Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente 
matemática é o Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma 
dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é 
igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
— Lei dos Senos
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para 
triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos cossenos existe para 
facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC inscrito em uma circunferência de 
centro O e raio R, temos que:
— Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de 
triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo de 90º. Basta 
conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados 
(arestas) do triângulo.
MATEMÁTICA
235
a solução para o seu concurso!
Editora
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC, temos que:
— Relações Métricas do Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a resoluçãodas questões em que 
o Teorema de Pitágoras é aplicável.
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos o seguinte:
- Onde a é hipotenusa;
- b e c são catetos;
- m e n são projeções ortogonais;
- h é altura.
MATEMÁTICA
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— Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.
Se as retas CC’, BB’ e AA’ são paralelas, então:
MATEMÁTICA
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a solução para o seu concurso!
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— Fórmulas Básicas de Geometria Plana
Polígonos
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:
MATEMÁTICA
238238
a solução para o seu concurso!
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Fórmulas da Circunferência
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo:
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R²
GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMA, PIRÂMIDE, CILINDRO, CONE E ESFERA; ÁREAS E VOLUMES.
— Geometria Espacial 
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três dimensões: comprimento, 
largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma figura formada por retângulos, 
e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a 
aula de Geometria espacial sobre prisma e esfera.
— Fórmulas de Geometria Espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V + F = A + 2
MATEMÁTICA
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a solução para o seu concurso!
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Fórmulas da Esfera
Fórmulas do Cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura.
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R²
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
MATEMÁTICA
240240
a solução para o seu concurso!
Editora
Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r².
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h.
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r² · h.
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte 
será 2r · h.
Fórmulas do Prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas 
bases. Na imagem a seguir, o prisma tem base retangular, sendo um 
paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Diagonal de um paralelepípedo: .
Área total de um paralelepípedo: 
.
Volume de um paralelepípedo: .
Prismas retos são sólidos cujas faces laterais são formadas por 
retângulos.
Volume de um prisma: 
 
Fórmulas da Pirâmide Regular
Para uma pirâmide regular reta, temos:
Área da Base (AB): área do polígono que serve de base para a 
pirâmide.
Área Lateral (AL): soma das áreas das faces laterais, todas 
triangulares.
Área Total (AT): soma das áreas de todas as faces: AT = AB + AL.
Volume (V): V = . AB . h.
E sendo a (apótema da base), h (altura), g (apótema da 
pirâmide), r (raio da base), b (aresta da base) e t (aresta lateral), 
temos pela aplicação de Pitágoras nos triângulos retângulos.
h² + r² = t²
h² + a² = g²
Fórmulas do Tetraedro Regular
Para o tetraedro regular de aresta medindo a, temos:
MATEMÁTICA
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a solução para o seu concurso!
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Altura da face = 
Altura do tetraedro = 
Área da face: AF = 
Área total: AT = 
Volume do tetraedro: 
QUESTÕES
1. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Adição, subtração, multiplicação e divisão de núme-
ros naturais
Um jogo de estratégia é jogado por dois jogadores num tabu-
leiro quadriculado com 10 linhas e 10 colunas, conforme a Figura a 
seguir.
Cada jogador recebe 16 fichas que devem ser colocadas nas ca-
sas do tabuleiro e, após a colocação de todas as fichas de ambos os 
jogadores, um jogador é sorteado para colocar uma peça especial 
em qualquer uma das casas não ocupadas.
Quantas são as casas não ocupadas nas quais o jogador escolhi-
do pode colocar a peça especial?
(A) 78
(B) 72
(C) 68
(D) 64
(E) 62
 
2. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Números inteiros (propriedades, operações, módulo 
etc)
Sejam a, b e c números reais tais que a ≠ 0 e a < b < c.
É necessariamente verdadeiro que
(A) a . b < b . c
(B) b - a < c - b
(C) 
(D) a . b < a . c
(E) a + b < a + c
 
3. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Frações e dízimas periódicas
M = 6,6666... é uma dízima periódica de período 6;
N = 2,3333... é uma dízima periódica de período 3.
Dividindo M por N, encontra-se o mesmo resultado que divi-
dindo
(A) 20 por 7
(B) 65 por 23
(C) 29 por 9
(D) 66 por 23
(E) 37 por 13
 
4. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Frações e dízimas periódicas
Em certa escola técnica, cada estudante só pode fazer um curso 
de cada vez. Do total de estudantes, 1/4 cursa enfermagem, e 1/6 
dos restantes cursa eletrônica. Além desses estudantes de enfer-
magem e de eletrônica, a escola possui 350 estudantes em outros 
cursos.
Sendo X o total de estudantes dessa escola, qual é a soma dos 
algarismos de X?
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
(E) 15
 
5. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Números reais (propriedades e operações; intervalos)
Sejam x1, x2 e x3 números reais.
A média aritmética desses três números é maior que zero se, 
e apenas se,
(A) X2 > 0
(B) X1 + X2 + X3 > 0
(C) X1 > 0 ; X2 > 0 ; X3 > 0
(D) X1 . X2 . X3 > 0
(E) XI < 0 para, no máximo, um valor de i entre 1, 2 e 3
 
MATEMÁTICA
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a solução para o seu concurso!
Editora
6. CESGRANRIO - ESC BB/BB/AGENTE COMERCIAL/2021
Assunto: Análise combinatória (princípio fundamental da con-
tagem, arranjos, combinações, permutações)
De quantas formas diferentes, em relação à ordem entre as 
pessoas, dois homens e quatro mulheres poderão ser dispostos em 
fila indiana, de modo que entre os dois homens haja, pelo menos, 
uma mulher?
(A) 10
(B) 20
(C) 48
(D) 480
(E) 720
 
7. CESGRANRIO - TEC BAN (BASA)/BASA/2022
Assunto: Porcentagem
Em outubro de 2021, segundo dados do Banco Central, os sa-
ques nas cadernetas de poupança superaram os depósitos em cerca 
de R$7,4 bilhões. Foram R$278 bilhões em depósitos e R$285,4 bi-
lhões em saques, aproximadamente, no período.
Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/ noti-
cia /2021/11/05/saques-na-poupanca-superam-depositos-em- 
-r-743-bilhoes-em-outubro.ghtml>. Acesso em: 12 nov. 21. Adap-
tado.
Tomando-se como base o valor total dos depósitos, a diferença 
percentual entre os totais de retirada e de depósitos, no mês de 
outubro de 2021,
(A) foi de menos de 2%.
(B) ficou entre 2% e 8%.
(C) ficou entre 8% e 14%.
(D) ficou entre 14% e 20%.
(E) foi superior a 20%.
 
8. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE NU-
CLEAR/2022
Assunto: Porcentagem
Na tentativa de atrair clientela, um hotel passou a cobrar por 4 
diárias o mesmo valor que cobrava por 3 diárias, o que implica um 
desconto, no preço da diária, de
(A) 20%
(B) 25%
(C) 30%
(D) 33%
(E) 75%
 
9. CESGRANRIO - TEC BAN (BASA)/BASA/2022
Assunto: Interpretação de gráficos e tabelas
A Tabela a seguir apresenta as cotações, em dólares america-
nos, de 6 criptomoedas no dia 18 de novembro de 2021.
Criptomoeda Ticker Preço
Bitcoin BTC $58.685,62
Ethereum ETH 
4.111,28
Binance Coin NB $553,42
Tether USDT $1,00
Solana SOL $197,32
Cardano ADA $1,80Disponível em: <https://www.seudinheiro.com/2021
/bitcoin/bitcoin -btc-criptomoedas-hoje-18-11/>. Acesso em: 
25 nov. 21.
O valor de 1 Bitcoin corresponde a
(A) mais de 10 Ethereums
(B) menos de 100 Binance Coins
(C) aproximadamente 58 Tethers
(D) mais de 400 Solanas
(E) menos de 30.000 Cardanos
 
10. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONU-
CLEAR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE 
NUCLEAR/2022
Assunto: Proporções. Grandezas proporcionais. Divisão em 
partes proporcionais
Todo ano, os organizadores de uma festa encomendam copos 
de 300 mL em formato de prisma regular hexagonal reto. Para a fes-
ta do próximo ano, os organizadores pediram que a fábrica também 
confeccionasse copos de 500 mL, mantendo o mesmo formato e a 
mesma proporção do copo de 300 mL, ou seja, os dois copos devem 
ser semelhantes.
Desprezando-se a espessura do material do copo, qual deve ser 
a razão entre o lado do hexágono da base do copo de 500 mL e do 
copo de 300 mL?
(A) 
(B) 
(C) 
MATEMÁTICA
243
a solução para o seu concurso!
Editora
(D) 
(E) 
 
11. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONU-
CLEAR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE 
NUCLEAR/2022
Assunto: Regra de três simples
Uma bomba d’água esvazia uma piscina em 10 horas.
Se a vazão promovida pela bomba fosse 25% maior, em quanto 
tempo ela esvaziaria a piscina?
(A) 8h
(B) 7h30min
(C) 6h
(D) 5h
(E) 2h30min
 
12. CESGRANRIO - ESC BB/BB/AGENTE DE TECNOLO-
GIA/2021
Assunto: Regra de três simples
André, Bianca e Carol precisam pintar um painel de 50m². Para 
pintar 1m², André gasta 12 minutos, Bianca gasta 20 minutos, e Ca-
rol, 15 minutos.
Supondo-se que os três pintaram, juntos, o mesmo painel, sem 
fazer pausas e a velocidades constantes, quanto tempo eles leva-
ram para a conclusão da tarefa?
(A) 3h 40min
(B) 4h 10min
(C) 5h 50min
(D) 6h
(E) 6h 20min
 
13. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONU-
CLEAR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE 
NUCLEAR/2022
Assunto: Regra de três composta
Enchentes trazem tragédias não somente às pessoas, mas tam-
bém aos animais. Um abrigo de gatos gastava, em 30 dias, 72 kg de 
ração, alimentando igualmente seus 28 gatos. Porém, recebeu mais 
alguns novos gatos, vítimas de enchente. Com esse acréscimo no 
número de animais e adotando a recomendação de um veterinário 
para aumentar em 40% a quantidade de ração para cada gato, 24 kg 
de ração passaram a ser suficientes para apenas 5 dias.
Quantos novos gatos o abrigo recebeu?
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
(E) 15
 
14. CESGRANRIO - ESC BB/BB/AGENTE DE TECNOLO-
GIA/2021
Assunto: Unidades de Medida (distância, massa, volume, tem-
po, etc)
Um escriturário mantém um desempenho de preencher 30 re-
latórios por hora e faz uma pausa de 10 minutos às 13h. Durante a 
pausa, seu chefe pergunta a que horas receberá todos os relatórios 
preenchidos.
Se falta apenas 1 relatório e meio, e o escriturário pretende 
manter seu desempenho, a partir de que horas o chefe pode contar 
com todos os relatórios preenchidos?
(A) 13h02min
(B) 13h03min
(C) 13h10min
(D) 13h12min
(E) 13h13min
 
15. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONU-
CLEAR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE 
NUCLEAR/2022
Assunto: Equações de segundo grau e equações biquadradas
Para b ∈ R, considere a equação 2x + b = x² - 2x - 4.
A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas 
quando,
(A) b < 8
(B) b > -8
(C) b = -8
(D) b < 0
(E) b ≠ -4
 
16. CESGRANRIO - TBN (CEF)/CEF/”SEM ÁREA”/2021
Assunto: Progressão aritmética
Preocupado com sua saúde, um professor decidiu começar a 
correr. O profissional que o orientou estabeleceu como meta correr 
5 km por dia. Entretanto, como o professor está fora de forma, terá 
de seguir um programa de treinamento gradual. Nas duas primei-
ras semanas, ele correrá, diariamente, 1 km e caminhará 4 km; na 
terceira e na quarta semanas, correrá 1,5 km e caminhará 3,5 km 
por dia. A cada duas semanas, o programa será alterado, de modo 
a reduzir a distância diária caminhada em 0,5 km e a aumentar a 
corrida em 0,5 km. Desse modo, se o professor não interromper o 
programa de treinamento, ele começará a correr 5 km diários na
(A) 9a semana
(B) 12a semana
(C) 17a semana
(D) 18a semana
(E) 20a semana
 
MATEMÁTICA
244244
a solução para o seu concurso!
Editora
17. CESGRANRIO - PNS (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ECONOMISTA/2022
Assunto: Função de primeiro grau
O salário líquido (S), em reais, de um determinado profissional 
é o salário bruto menos os descontos. O salário bruto é a soma de 
uma parcela fixa, igual a R$5.000,00, com uma parcela variável (a 
comissão) que é sempre igual a 5% do valor total de suas vendas 
(v), em reais. Ele desconta um total de 10% para previdência, sobre 
o valor total do salário bruto e paga (desconta) 20% de Imposto de 
Renda sobre a diferença entre o salário bruto e a previdência. Ele 
ainda desconta R$ 2.000,00 de plano de saúde.
O salário líquido S, em função do valor total vendido v, em re-
ais, pode ser, algebricamente, expresso por:
(A) S = 0,72v + 3600
(B) S = 0,36v + 4500
(C) S = 0,36v + 1600
(D) S = 0,036v + 1600
(E) S = 0,072v + 3600
 
18. CESGRANRIO - ESC BB/BB/AGENTE COMERCIAL/2021
Assunto: Função de segundo grau
Para os seis primeiros meses de um investimento, a evolução, em 
milhares de reais, de um certo investimento de R$ 3.000,00 é ex-
pressa pela fórmula , onde M(x) indica 
quantos milhares de reais a pessoa poderá retirar após x meses 
desse investimento. Um cliente pretende deixar esse investimento 
por seis meses.
Nesse caso, de quanto será a sua perda, em reais, em relação 
ao máximo que ele poderia ter retirado?
(A) 1.000
(B) 3.000
(C) 4.000
(D) 5.000
(E) 6.000
 
19. CESGRANRIO - PNS (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLE-
AR/ENGENHARIA AMBIENTAL/2022
Assunto: Função exponencial e inequações exponenciais
Ao representar a função y = x0,5 em um sistema de eixos or-
togonais com escalas logarítmicas (escala log-log), obtém- se um 
gráfico que é uma
(A) parábola com concavidade positiva
(B) hipérbole com concavidade negativa
(C) reta com coeficiente angular positivo
(D) reta com coeficiente angular negativo
(E) reta com coeficiente angular nulo
 
20. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONU-
CLEAR/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA DE ÁREA PROTEGIDA DE 
NUCLEAR/2022
Assunto: Geometria espacial
A Figura a seguir ilustra um aquário que tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 50 cm, 30 
cm e 30 cm. Esse aquário está apoiado em uma mesa horizontal e já 
possui uma quantidade de água cujo nível é de 18 cm. Um peixe foi 
colocado no aquário e, estando totalmente submerso, fez com que 
o nível da água subisse 0,2 cm.
Qual o volume, em cm³, do peixe?
(A) 300
(B) 500
(C) 5400
(D) 9000
(E) 27000
GABARITO
1 C
2 E
3 A
4 A
5 B
6 D
7 B
8 B
9 A
10 E
11 A
12 B
13 D
14 E
15 B
16 C
17 D
18 A
19 C
20 A
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