Calcule \( \int x^2 \tan(x^3) \, dx \). A) \( \frac{1}{3} \ln(\sec^3) + C \) B) Não existe C) \( e^{x^3} + C \) D) \( arctan + 1 \)

Para resolver a integral \( \int x^2 \tan(x^3) \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos considerar \( u = x^3 \), então \( du = 3x^2 \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{3x^2} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int x^2 \tan(x^3) \, dx = \int x^2 \tan(u) \cdot \frac{du}{3x^2} = \frac{1}{3} \int \tan(u) \, du \] A integral de \( \tan(u) \) é \( -\ln|\cos(u)| + C \). Portanto, substituindo de volta \( u = x^3 \): \[ \frac{1}{3} \int \tan(u) \, du = -\frac{1}{3} \ln|\cos(x^3)| + C \] Assim, a resposta correta não está entre as opções apresentadas. Portanto, a alternativa correta é: B) Não existe.