Determine a área sob a curva \( y = x^2 + 3 \) entre \( x = 1 \) e \( x = 3 \). A) \( \frac{40}{3} \) B) \( 8 \) C) \( 10 \) D) \( 6 \)

Para determinar a área sob a curva \( y = x^2 + 3 \) entre \( x = 1 \) e \( x = 3 \), precisamos calcular a integral definida da função nesse intervalo. A integral a ser calculada é: \[ \int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx \] Calculando a integral: 1. A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). 2. A integral de \( 3 \) é \( 3x \). Portanto, temos: \[ \int (x^2 + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3x \] Agora, avaliamos de \( 1 \) a \( 3 \): \[ \left[ \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1 \right) \] Calculando: Para \( x = 3 \): \[ \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18 \] Para \( x = 1 \): \[ \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{10}{3} \] Agora, subtraímos: \[ 18 - \frac{10}{3} = \frac{54}{3} - \frac{10}{3} = \frac{44}{3} \] Portanto, a área sob a curva é \( \frac{44}{3} \). Analisando as alternativas, nenhuma delas corresponde a \( \frac{44}{3} \). Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou no cálculo. Por favor, verifique as opções novamente.