Problema 4: Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 5 caras? a) 0.20 b) 0.30 c) 0.40 d) 0.50

Para calcular a probabilidade de obter exatamente 5 caras em 8 lançamentos de uma moeda, podemos usar a fórmula da distribuição binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (8), - \( k \) é o número de sucessos desejados (5), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (0,5 para caras), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. Calculando: 1. \( \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \) 2. \( p^k = (0,5)^5 = 0,03125 \) 3. \( (1-p)^{n-k} = (0,5)^{3} = 0,125 \) Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 5) = 56 \times 0,03125 \times 0,125 \] Calculando: \[ P(X = 5) = 56 \times 0,03125 \times 0,125 = 0,220703125 \] Aproximando, temos aproximadamente 0,22. Analisando as alternativas: a) 0.20 b) 0.30 c) 0.40 d) 0.50 A alternativa que mais se aproxima do resultado é a) 0.20. Portanto, a resposta correta é a) 0.20.