Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{x} \). a) 0 b) 1 c) 8 d) 16

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{x} \), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1 \). Neste caso, podemos fazer a substituição \( u = 8x \). Assim, quando \( x \to 0 \), \( u \to 0 \) também. Portanto, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \cdot \frac{u}{x} \] Sabendo que \( u = 8x \), temos \( x = \frac{u}{8} \). Assim, \( \frac{u}{x} = 8 \). Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} \cdot 8 = 1 \cdot 8 = 8 \] Assim, a resposta correta é: c) 8.