EPCAR2016_0

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Matemática EPCAr 2016
Solução
José Bartasevicius
16 de Agosto de 2016
Caṕıtulo 1
Questões
17 - Uma agência de turismo fez um levantamento para apurar a faixa etária
de um grupo de N pessoas que se interessaram por determinada viagem.
No registro das idades dessas pessoas, em anos, foram utilizados exatamente
N números inteiros positivos e entre esses números foi observado que:
• 10 eram múltiplos de 8,
• 12 eram múltiplos de 4 e
• 8 eram números primos.
É correto afirmar que número de divisores positivos de N é igual a
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
18 - Considere a = 1150, b = 4100 e c = 2150 e assinale a alternativa correta.
a) c < a < b
b) c < b < a
c) a < b < c
d) a < c < b
1
19 - Na figura, E e F são, respectivamente, pontos de tangência das retas r
e s com a circunferência de centro O e raio R. D é ponto de tangência de
BC com a mesma circunferência e AE = 20 cm.
O peŕımetro do triângulo ABC (hachurado), em cent́ımetros, é igual a
a) 20
b) 10
c) 40
d) 15
20 - João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugar
um véıculo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então,
lhe apresentou duas propostas:
• plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 50,00 e mais R$ 1,60
por quilômetro rodado.
• plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 por
quilômetro rodado.
2
João observou que, para um certo deslocamento que totalizava k quilômetros,
era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a ser
pago seria o mesmo.
É correto afirmar que k é um número racional entre
a) 14,5 e 20
b) 20 e 25,5
c) 25,5 e 31
d) 31 e 36,5
21 - Nos gráficos abaixo estão desenhadas uma parábola e uma reta que
representam as funções reais f e g definidas por f(x) = ax2 + bx + c e
g(x) = dx+ e , respectivamente.
Analisando cada um deles, é correto afirmar, necessariamente, que
a) (a+ e).c ≥ b
b) −e
d
< −b
c) a.b.c+
e
d
> 0
d) (−b+ a).e > a.c
22 - No concurso CPCAR foi concedido um tempo T para a realização de
todas as provas: Ĺıngua Portuguesa, Matemática e Ĺıngua Inglesa; inclusive
marcação do cartão-resposta.
3
Um candidato gastou
1
3
deste tempo T com as questões de Ĺıngua Portu-
guesa e 25% do tempo restante com a parte de Ĺıngua Inglesa.
A partir dáı resolveu as questões de Matemática empregando 80% do tempo
que ainda lhe restava.
Imediatamente a seguir, ele gastou 5 minutos preenchendo o cartão-resposta
e entregou a prova faltando 22 minutos para o término do tempo T estabe-
lecido.
É correto afirmar que o tempo T , em minutos, é tal que
a) T < 220
b) 220 ≤ T < 240
c) 240 ≤ T < 260
d) T ≥ 260
23 - Considere os ćırculos abaixo, de centro O e raio 4R, cujos diâmetros são
divididos em oito partes iguais.
Sabe-se que todos os arcos traçados nas quatro figuras são arcos de circun-
ferência cujos diâmetros estão contidos no segmento AB.
4
Sobre as áreas SI , SII , SIII e SIV hachuradas nas figuras (I), (II), (III) e
(IV), respectivamente, pode-se afirmar que
a) SI = SII = SIII = SIV
b) SIII > SI
c) SIV =
1
2
SII
d) SII > SIII
24 - Simplificando as expressões
A =
[
1−
(y
x
)2]
.x2(√
x−√y
)2
+ 2
√
xy
e B =
x2 − xy
2x
, nas quais y > x > 0 , é correto
afirmar que
a)
A
B
= 2−1
b)
B
A
∈ N
c) A.B > 0
d) A+B > 0
5
25 - Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão
do polinômio x3 − 6x2 + 9x− 3 pelo polinômio x2 − 5x+ 6 , em que x ∈ R.
O gráfico que melhor representa a função real definida por P (x) = Q(x) +
R(x) é
a) b)
c) d)
26 - Sobre a equação
2
x+
√
2− x2
+
2
x−
√
2− x2
= x , respeitando sua va-
lidade no universo dos números reais, analise as afirmativas.
I. Possui duas ráızes irracionais.
II. Não possui ráızes negativas.
III. Possui conjunto solução com um único elemento.
Pode-se afirmar, então, que
a) todas são verdadeiras.
b) apenas a I é falsa.
c) todas são falsas.
d) apenas a III é verdadeira.
27 - Um grupo de n alunos sai para lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção
do grupo é dividir igualmente a conta entre os n alunos, pagando, cada um, p
reais. Entretanto, 2 destes alunos vão embora antes do pagamento da referida
conta e não participam do rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu teve
6
que pagar (p+ 10) reais. Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais,
marque a opção INCORRETA.
a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20%
de p
b) n é um número maior que 11
c) p é um número menor que 45
d) O total da despesa dos dois alunos que sáıram sem pagar é maior que 80
reais.
28 - Analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA)
ou F (FALSA)
( ) Se m =
0, 0001.(0, 01)2.1000
0, 001
, então m =
1
100
.
( ) O número (0, 8992 − 0, 1012) é menor que 7
10
.
( )
√(
2
√
2+1
)√2−1
.
√
4.
√(
2
√
3+1
)√3−1
é irracional.
A sequência correta é
a) V - F - F
b) V - F - V
c) F - F - F
d) F - V - V
7
29 - Considere duas calçadas r e s, paralelas entre si, a uma distância de 6
m uma da outra.
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram nos pontos A e B
definidos na calçada s.
Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10
m da pessoa posicionada em A. Quando a pessoa em A se deslocar para
P sobre o segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa posicionada
no ponto B, em metros, será de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
30 - Considere, em x, a equação (m+ 2)x2− 2mx+ (m− 1) = 0 na variável
x, em que m é um número real diferente de −2.
Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F
(FALSA).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita ráızes iguais.
( ) Na equação, se x > 0, então m só poderá assumir valores positivos.
A sequência correta é
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
8
31 - Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia, gasta 3 dias
para produzir 1200 embalagens.
Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20%,
trabalhando, assim, apenas T horas por dia.
Para atender uma encomenda de 1840 embalagens, aproveitando ao máximo
em todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia
a) 120 minutos
b) 150 minutos
c) 180 minutos
d) 200 minutos
32 - Na figura abaixo, tem-se que
_
DF é um arco de circunferência de centro
E e raio DE.
Sabe-se que:
• ADE é um triângulo
• DE é paralelo a BC
• BD = 7 cm
• AC = 10 cm
• BC = 6 cm
• AĈB = 120◦
• cos 120◦ = −1
2
9
A área do setor circular hachurado na figura, em cm2, é igual a
a) 27π
b)
27π
2
c)
9π
2
d) 3π
10
Caṕıtulo 2
Soluções
Questão 17:
Os alunos que possuem idade múltiplo de 8, também são múltiplos de 4:
m. 4
m. 8
10 alunos
(12-10)= 8 alunos
Números primos são todos aqueles que são diviśıveis apenas por 1 e por
si mesmo e, portanto, não podem ser múltiplos de 4 e nem de 8, consequen-
temente.
m. 4
m. 8
10 alunos
(12-10)= 8 alunos
primos
8 alunos
Portanto o total de alunos é 10 + 2 + 8 = 20.
N = 20 = 22 × 51 =⇒ N possui (2 + 1)× (1 + 1) divisores positivos.
∴ N possui 6 divisores positivos.
ALTERNATIVA b)
11
Questão 18:
A primeira observação é notar que b e c podem ser representados em potência
de base 2. Portanto 11 pode ser comparado a potências de base 2 para per-
mitir o relacionamento entre a, b e c:
b = (22)
100
= 2200 e
c = 2150
8 < 11 < 16 =⇒ 23 < 11 < 24 =⇒
(
23
)50
< 1150 <
(
24
)50
=⇒
=⇒ 2150︸︷︷︸
c
< 1150︸︷︷︸
a
< 2200︸︷︷︸
b
∴ c < a < b
ALTERNATIVA a)
Questão 19:
O peŕımetro é p = AB +BC + CA.
BC = BD +DC, logo p = AB +BD +DC︸ ︷︷ ︸
BC
+CA.
Segmentos de reta tangentes a uma circunferência partindo do mesmo ponto
possuem a mesma distância. Portanto BE = BD, CD = CF e AE = AF .
Fazendo as substituições no peŕımetro:
p = AB + BD︸︷︷︸
=BE
+ DC︸︷︷︸
=CF
+CA =⇒
p = AB +BE+ CF + CA︸ ︷︷ ︸
=AE
=⇒
p = AE + AE = 20 + 20 = 40 cm
ALTENATIVA c)
12
Questão 20:
Se ele vai rodar k quilômetros, então os valores para os planos são:
• plano A: 50 + k.1, 60
• plano B: 64 + k.1, 20
Se o preço é o mesmo, logo 50 + k.1, 60 = 64 + k.1, 20 =⇒ k = 14
0, 40
=
R$35, 00
ALTERNATIVA d)
Questão 21:
Análise do gráfico de f(x):
• Concavidade para baixo: a < 0;
• Vértice da parábola no semi-eixo positivo de x: − b
2a
> 0. Sendo a < 0,
logo b > 0;
• Corte do gráfico no semi-eixo positivo de y (ou seja, quando x = 0):
c > 0.
Análise do gráfico de g(x):
• Função crescente: d > 0;
• Corte do gráfico no semi-eixo negativo de y (ou seja, quando x = 0):
e < 0.
Análise das alternativas:
a) (a+ e).c ≥ b: a+ e < 0 ∧ c > 0 =⇒ (a+ e).c < 0.
b > 0. Logo, b > (a+ e).c. FALSO;
b) −e
d
< −b: −e
d
> 0 ∧ −b < 0. Logo −e
d
> −b. FALSO;
c) a.b.c+
e
d
> 0: a.b.c < 0 ∧ e
d
< 0. Logo a.b.c+
e
d
< 0. FALSO;
d) (−b+ a).e > a.c: −b+ a < 0 ∧ e < 0 =⇒ (−b+ a).e > 0.
a.c < 0. Logo, (−b+ a).e > a.c. VERDADEIRO.
ALTERNATIVA d)
13
Questão 22:
Transformando o texto em variáveis:
• Ĺıngua Portuguesa: T
3
. Resta T − T
3
=
2T
3
para os demais eventos das
provas (Inglês, Matemática, preenchimento do cartão-resposta e tempo
restante para o final da prova);
• Inglês: 25
100
× 2T
3
=
T
6
. Resta
2T
3
− T
6
=
T
2
para os demais eventos
das provas (Matemática, preenchimento do cartão-resposta e tempo
restante para o final da prova);
• Matemática: 80
100
× T
2
=
2T
5
. Resta
T
2
− 2T
5
=
T
10
para os demais
eventos das provas (preenchimento do cartão-resposta e tempo restante
para o final da prova);
• Preenchimento do cartão-resposta e espera para o término da prova:
5 + 22 = 27 minutos;
• Logo, T
10
= 27 =⇒ T = 27× 10 = 270 minutos
ALTERNATIVA d)
14
Questão 23:
Calculando as áreas:
(Notação: SCXY significa área do semi-ćırculo de raio XY , onde X é o
centro do ćırculo)
• SI = SCOA − SCEA + SCHB =
π (4R)2
2
− π (3R)
2
2
+
π (R)2
2
=
8πR2
2
• SII = SCEG−SCDO +SCGO−SCHG =
π (3R)2
2
− π (2R)
2
2
+
π (2R)2
2
−
π (R)2
2
=
8πR2
2
• SIII = (SCDO − SCCD + SCEO)×2 =
(
π (2R)2
2
− π (R)
2
2
+
π (R)2
2
)
×
2 =
8πR2
2
• SIV = (SCDO − (SCCD)× 2)×2 =
(
π (2R)2
2
−
(
π (R)2
2
)
× 2
)
×2 =
4πR2
2
∴ SIV =
1
2
SII
ALTERNATIVA c)
15
Questão 24:
A =
[
1−
(y
x
)2]
.x2(√
x−√y
)2
+ 2
√
xy
=
[
1−
(
y2
x2
)]
.x2(
x− 2√xy + y
)
+ 2
√
xy
=
=
[
x2 − y2
x2
]
.x2
x+ y
=
(x+ y) (x− y)
x+ y
=⇒
=⇒ A = x− y
B =
x2 − xy
2x
=
x (x− y)
2x
=⇒ B = x− y
2
Aplicando nas alternativas:
a)
A
B
= 2
b)
B
A
=
1
2
/∈ N
c) A.B =
(x− y)2
2
=⇒ A.B > 0, y > x > 0
d) A+B =
3 (x− y)
2
=⇒ A+B < 0, y > x > 0
ALTERNATIVA c)
Questão 25:
x3 −6x2 +9x −3 | x2 −5x +6
−x3 +5x2 −6x x −1
−x2 +3x −3
x2 −5x +6
−2x +3
∴ Q(x) = x− 1 e R(x) = −2x+ 3 =⇒ P (x) = −x+ 2.
Para x = 0, P (0) = 2 e para P (x) = 0 =⇒ x = 2.
ALTERNATIVA a)
16
Questão 26:
Inicialmente, duas condições limitantes devem ser respeitadas: o radicando
deve ser positivo e o denominador deve ser diferente de zero.
• 2− x2 ≥ 0 =⇒ x2 ≤ 2 =⇒ −
√
2 ≤ x ≤
√
2
• x +
√
2− x2 6= 0 =⇒ x 6= −
√
2− x2 =⇒ x2 6= 2 − x2 =⇒ x2 6=
1 =⇒ x 6= ±1. Mas x+
√
2− x2 6= 0 somente quando x 6= −1.
• x−
√
2− x2 6= 0 =⇒ x 6=
√
2− x2 =⇒ x2 6= 2−x2 =⇒ x2 6= 1 =⇒
x 6= ±1. Mas x+
√
2− x2 6= 0 somente quando x 6= 1.
Portanto, o domı́nio da solução é: D = {x ∈ R | −
√
2 ≤ x ≤
√
2 ∧ x 6= ±1}.
Resolvendo a expressão:
2
(
x−
√
2− x2
)
+ 2
(
x+
√
2− x2
)
= x
(
x+
√
2− x2
)(
x−
√
2− x2
)
=⇒
2x− 2
√
2− x2 + 2x+ 2
√
2− x2 = x
(
x2 −
(√
2− x2
)2)
=⇒
4x = x
(
x2 − 2 + x2
)
=⇒ 4x = x
(
2x2 − 2
)
=⇒ 2x = x
(
x2 − 1
)
A primeira solução é x = 0. No caso de x 6= 0, tem-se:
2 = x2 − 1 =⇒ x = ±
√
3 /∈ D
∴ única solução real x = 0.
Analisando as afirmativas:
I. Possui duas ráızes irracionais. (FALSO)
II. Não possui ráızes negativas. (VERDADEIRO)
III. Possui conjunto solução com um único elemento. (VERDADEIRO)
ALTERNATIVA b)
17
Questão 27:
Valor da conta: n× p.
Após dois alunos deixarem a pizzaria, o valor sobe para p+ 10 para saldar a
mesma conta. Portanto np = (n− 2) (p+ 10).
Por fim, o valor da conta é 600 reais. Então tem-se o seguinte sistema:{
np = 600 (I)
np = (n− 2) (p+ 10) =⇒ p = 5n− 10 (II)
Substituindo (II) em (I):
n (5n− 10) = 600 =⇒ 5n2 − 10n− 600 = 0 =⇒
=⇒ n2 − 2n− 120 = 0 =⇒
=⇒ n = 12 ∨ n = −10
Como n > 0, n = 12 e p = 50. Antes de deixar a pizzaria havia 12 alunos,
cada um pagando R$50,00 (20 % de R$50,00 = R$10,00).
Após 2 deixarem a pizzaria, havia 10 alunos, cada um pagando R$60,00 (20%
a mais de R$50,00).
ALTERNATIVA c)
Questão 28:
m =
0, 0001.(0, 01)2.1000
0, 001
=⇒ m = 10
−4. (10−2)
2
.103
10−3
=⇒ m = 10−4−4+3−(−3) = 10−2 = 1
100
∴ VERDADEIRO
(0, 8992 − 0, 1012) = (0, 899− 0, 101)× (0, 899 + 0, 101)) = 0, 798× 1 = 0, 798 > 7
10
∴ FALSO√(
2
√
2+1
)√2−1
.
√
4.
√(
2
√
3+1
)√3−1
=
√
2(
√
2+1)×(
√
2−1).
√
4.
√
2(
√
3+1)×(
√
3−1) =
=
√
2(2−1).
√
4.
√
2(3−1) =
√
2.
√
4.
√
2(2) =
√
2.
√
4.2 =
√
2.4.2 = 4 ∈ N
∴ FALSO
ALTERNATIVA a)
18
Questão 29:
Traçando uma linha imaginária do ponto X, perpendicular à reta s, observa-
se a distância entre as retas r e s e forma-se o triângulo retângulo XIA:
É posśıvel verificar que os triângulos XIA e ABC são semelhantes, pois dois
de seus ângulos são iguais: ângulo Â, comum aos dois triângulos; e os ângulos
retos P̂ e Î, conforme abaixo:
Fazendo a proporção entre os lados:
x
5
=
6
10
=⇒ x = 3 m
ALTERNATIVA a)
19
Questão 30:
m 6= −2
∆ = (−2m)2 − 4 (m+ 2) (m− 1) = −4m+ 8
A equação não admite ráızes reais se ∆ < 0: −4m+ 8 < 0 =⇒ m > 2.
A equação admite ráızes reais distintas se ∆ > 0: −4m+8 > 0 =⇒ m <
2.
A equação admite ráızes reais iguais se ∆ = 0: −4m+ 8 = 0 =⇒ m = 2.
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio. (VERDA-
DEIRO)
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita ráızes iguais.(FALSO)
( ) Na equação, se ∆ > 0 , então m só poderá assumir valores positi-
vos.(FALSO)
ALTERNATIVA d)
Questão 31:
É necessário resolver uma parte do problema por vez.
Primeiramente, calcula-se quantas embalagens são produzidas por dia: se são
1200 embalagens em 3 dias, logo a produção é de 400 embalagens por dia,
mantidas as 5 horas de trabalho.
Mas o tempo de funcionamento das máquinas foi reduzido em 20%, ou seja,
são 4 horas de funcionamento(5 − 20
100
× 5 = 4). Logo a produção também
cai 20%, implicando que, a cada dia são produzidas 400− 20
100
× 400 = 320
embalagens com a redução de 20% no funcionamento.
Ao todo serão produzidas 1840 embalagens. Portanto, no último dia serão
produzidas as embalagens que forem o resto da divisão de 1840 por 320, que
são 240 embalagens.
Como a produção diária é de 320 embalagens para um turno de 4 horas, a
cada hora são produzidas 320/4 = 80 embalagens.
Portanto, 240 embalagens são produzidas em 3 horas, ou 180 minutos.
ALTERNATIVA c)
20
Questão 32:
Se AĈB = 120◦ e DE é paralelo a BC, então AÊD = 120◦. Portanto,
DÊF = 60◦.
Logo, a área do setor hachurado corresponde a
1
6
da área do ćırculo. Resta
calcular o valor do raio, ou seja, do segmento DE.
Nota-se que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois possuem dois
ângulos iguais (Â para ambos e Ĉ = Ê). Logo é posśıvel estabelecer a relação
de proporção
AB
AD
=
BC
DE
. São dados do problema as distâncias BC e BD.
Para calcular a distância DE, é necessário saber o valor de AB.
Do ∆ABC tem-se os lados AC e BC, e o ângulo Ĉ. Neste caso, é posśıvel
calcular o lado AB utilizando a expressão c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ:
AB
2
= BC
2
+ AC
2 − 2.BC.AC cos 120◦ =⇒
=⇒ AB2 = 62 + 102 − 2.6.10.
(
−1
2
)
=⇒
=⇒ AB2 = 196 =⇒ AB = 14
Assim, AD = AB +BD = 14 + 7 = 21 cm.
Recalculando a relação de proporção:
AB
AD
=
BC
DE
=⇒ 14
21
=
6
DE
=⇒
DE = 9 cm.
Calculando a área do setor hachurado:
A =
1
6
× (π ×92) = 27π
2
cm2.
ALTERNATIVA b)
21