Para resolver a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \), podemos fazer uma substituição. Note que \( 4 \) pode ser escrito como \( 2^2 \), então podemos reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A integral da forma \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx \) é conhecida e resulta em \( \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \). Neste caso, \( a = 2 \), então temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) - Correta. B) \( \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. C) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. D) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \).