Grátis: Problema: O que é \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \)? A) \( \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) B) \( e^{-x}\sin(x) + C \) C) \( -e^{-x}(\sin(...

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Problema: O que é \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \)?

A) \( \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \)
B) \( e^{-x}\sin(x) + C \)
C) \( -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \)
D) \( -\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + C \)

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Para resolver a integral \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais e trigonométricas. A integral \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \) resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado correto é: \[ \int e^{-x} \cos(x) \, dx = \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \] Analisando as alternativas: A) \( \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) - Esta é a resposta correta. B) \( e^{-x}\sin(x) + C \) - Incorreta. C) \( -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) - Incorreta. D) \( -\frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) - \cos(x)) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{e^{-x}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) + C \).

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A) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \)
B) \( -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \)
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Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \).

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A) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \)
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