Problema 20: Resolva a equação x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = 0. Quais são as raízes? a) 0, -2, 1, 0 b) 0, -1, 2, 0 c) 0, 1, -2, 0 d) 0, 1, 2, 0

Para resolver a equação \( x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = 0 \), podemos fatorar a expressão. Primeiro, podemos fatorar \( x \) da equação: \[ x(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0 \] Isso nos dá uma raiz \( x = 0 \). Agora, precisamos resolver a equação cúbica \( x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \). Podemos tentar encontrar raízes racionais. Testando \( x = 1 \): \[ 1^3 + 2(1^2) - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 \] Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz. Agora, podemos fatorar \( x - 1 \) da equação cúbica usando divisão sintética ou fatoração. Dividindo \( x^3 + 2x^2 - x - 2 \) por \( x - 1 \), obtemos: \[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2) \] Agora, fatoramos \( x^2 + 3x + 2 \): \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \] Assim, a equação original se fatorou como: \[ x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0 \] As raízes são: \[ x = 0, x = 1, x = -1, x = -2 \] Agora, analisando as alternativas: a) 0, -2, 1, 0 b) 0, -1, 2, 0 c) 0, 1, -2, 0 d) 0, 1, 2, 0 A alternativa que contém todas as raízes corretas é a) 0, -2, 1, 0.