Lista 7

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7ª Lista de Exercícios 
 
1) Considere a transformação 𝜑 de ℝ2 em ℝ2 dada por 
(𝑢, 𝑣) = 𝜑(𝑥, 𝑦) dada por: 
 
{
𝑥 = 𝑢 + 𝑣
𝑦 = 𝑢 − 𝑣 
Desenhe 𝜑(𝐵): 
 
a) Sendo 𝐵 a reta 𝑣 = 0. 
b) Sendo 𝐵 o quadrado 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, 0 ≤ 𝑣 ≤ 1 
 
2) Mostre que a transformação do exercício anterior 
transforma o círculo 𝑢2 + 𝑣2 ≤ 𝑟2 no círculo 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑟2. 
3) Seja 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦, 𝑧), com 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣 , 𝑦 = 𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑣, 𝑧 = 𝑢2. 
Mostre que 𝜎 transforma a faixa 𝑢 ≥ 0, 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋, no 
paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2. 
4) Represente geometricamente o campo vetorial dado: 
 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑗 
b) ℎ⃗⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑖 + 𝑗 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (1 − 𝑥2)𝑗, |𝑥| < 1 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦) =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
𝑖 +
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑗 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦) =
−𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑖 +
𝑥
√𝑥2+𝑦2
𝑗 
g) �⃗�(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝑖 +
𝑦
𝑥2+𝑦2
𝑗 
5) Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑖 + 𝑥𝑦𝑗. Desenhe 
�⃗�(𝑥, 𝑦) nos pontos da hipérbole 𝑥𝑦 = 1, com 𝑥 > 0. 
6) Sejam 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 e �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗 com 
𝑃 e 𝑄 contínuas em ℝ2, tais que, para todo (𝑥, 𝑦) ≠
 
 
 
 
 
 
 
 
(0,0), ∇V(x, y) ∙ �⃗�(𝑥, 𝑦) < 0. Seja 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ≠
(0,0), 𝑡 ≥ 0, tal que 𝛾′(𝑡) = �⃗�(𝛾(𝑡)). 
 
a) Prove que 𝑔(𝑡) = 𝑉(𝛾(𝑡)) é estritamente decrescente 
em [0, +∞). Interprete geometricamente. 
b) Sejam 𝑇, 𝑟 e 𝑅, com 𝑇 > 0 e 𝑟 < 𝑅 reais dados. Suponha 
que 𝑟 ≤ ‖𝛾(𝑡)‖ ≤ 𝑅 para todo 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Seja 𝑀 o valor 
máximo de 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∇V(x, y) ∙ �⃗�(𝑥, 𝑦) na coroa 𝑟2 ≤ 𝑥2 +
𝑦2 ≤ 𝑅2. ( Tal 𝑀 existe pois 𝑓 é contínua e a coroa é um 
conjunto compacto.) Prove que, para todo 𝑡 ∈ [0, 𝑇] 
 
∫ ∇𝑉(𝛾(𝑡)) ∙ 𝛾′(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝑀𝑡
𝑡
0
 
 
E, portanto, para 𝑡 ∈ [0, 𝑇] 
 
𝑉(𝛾(𝑡)) − 𝑉(𝛾(0)) ≤ 𝑀𝑡 
 
c) Utilizando a desigualdade do item anterior e observando 
que 𝑀 < 0, prove que 𝛾(𝑡) não pode permanecer na 
coroa 𝑟2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2 para todo 𝑡 ≥ 0. 
d) Prove que lim
𝑡→+∞
𝑉(𝛾(𝑡)) = 0. 
e) Prove que lim
𝑡→+∞
𝛾(𝑡) = (0,0). Interprete 
geometricamente. 
 
7) Calcule o rotacional: 
 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧�⃗⃗� 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑥𝑧�⃗⃗� 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦�⃗⃗� 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)𝑖 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑖 − 𝑥2𝑗 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Considere o campo de força central �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑓(‖𝑟‖)𝑟, 
onde 𝑓: ℝ → ℝ é derivável e 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗. Calcule 𝑟𝑜𝑡 �⃗�. 
9) Considere o escoamento 
 
�⃗�(𝑥, 𝑦) =
−𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)𝛼
𝑖 +
𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)𝛼
𝑗 
onde 𝛼 > 0 é uma constante. Verifique que 𝑟𝑜𝑡 �⃗�(𝑥, 𝑦) ≠ 0⃗⃗ para 𝛼 ≠
1.