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L
Prefacio:
a asignatura es de naturaleza práctico – teórico, orientado a desarrollar en
el estudiante habilidades superiores del pensamiento para el
razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma
de decisiones. El curso está orientado a proporcionar al estudiante
conocimientos estadísticos fundamentales sobre las técnicas de
investigación estadística para recoger, analizar y mostrar
información confiable y de calidad necesaria para la toma
de decisiones. La asignatura está diseñada para que el
alumno al final de cada clase desarrolle casos prácticos en
base a datos reales.
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:
Unidad I: Introducción, Organización Y Presentación De Datos.
Unidad II: Medidas De Tendencia Central Y Medidas De Dispersión.
Unidad III: Análisis De Regresión Y Correlación Lineal.
Unidad IV: Probabilidades.
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Estructura de los Contenidos
Introducción ,
Organización y
Presentación de
Datos
Introducción,
Concepto, Etapas del
Desarrollo de la
Estadística.
Variables
Cualitativas y
Cuantitativas.
Organización de
Datos y Distribución
de Frecuencias.
Gráficas
Estadísticas.
Medidas de
Tendencia
Central y
Medidas de
Dispersión
Medidas de
Tendencia Central
para datos no
Agrupados.
Medidas de
Tendencia Central
para datos
Agrupados
Medidas de
Dispersión.
Medidas de
Posición.
Análisis de
Regresión y
Correlación
Lineal
La Recta De
Regresión Lineal
Simple Por El
Método De Mínimos
Cuadrados.
El Coeficiente de
Correlación.
El Coeficiente de
Determinación.
Diagrama De
Dispersión.
Probabilidades
Experimento
aleatorio, espacio
muestral y suceso
Definición de
Probabilidad Valor,
Eventos Mutuamente
Excluyentes y
Eventos no
Excluyentes
Probabilidad
Condicional
Probabilidad
Total, Teorema De
Bayes Y Técnicas
De Conteo
La competencia que el estudiante debe lograr al final de
la asignatura es:
“Aplicar técnicas estadísticas para la recolección,
presentación, análisis e interpretación de datos
estadísticos.”
Índice del Contenido
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I. PREFACIO 02
II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 - 151
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: INTRODUCCIÓN , ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS 05-45
1. Introducción
a. Presentación y contextualización
b. Competencia (logro)
c. Capacidades
d. Actitudes
e. Ideas básicas y contenido
2. Desarrollo de los temas
a. Tema 01: Introducción, Concepto, Etapas del Desarrollo de la Estadística.
b. Tema 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas.
c. Tema 03: Organización de Datos y Distribución de Frecuencias.
d. Tema 04: Gráficas Estadísticas.
3. Lecturas recomendadas
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
06
06
06
06
06
06
07-39
07
14
19
28
40
40
41
45
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSION 46-83
1. Introducción
a. Presentación y contextualización
b. Competencia (logro)
c. Capacidades
d. Actitudes
e. Ideas básicas y contenido
2. Desarrollo de los temas
a. Tema 01: Medidas de Tendencia Central para datos no Agrupados.
b. Tema 02: Medidas de Tendencia Central para datos Agrupados.
c. Tema 03: Medidas de Dispersión.
d. Tema 04: Medidas de Posición.
3. Lecturas recomendadas
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
47
47
47
47
47
47
48-77
48
54
66
73
78
78
79
83
UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL 84-114
1. Introducción
a. Presentación y contextualización
b. Competencia (logro)
c. Capacidades
d. Actitudes
e. Ideas básicas y contenido
2. Desarrollo de los temas
a. Tema 01: La Recta De Regresión Lineal Simple Por El Método De Mínimos Cuadrados.
b. Tema 02: El Coeficiente de Correlación.
c. Tema 03: El Coeficiente de Determinación.
d. Tema 04: Diagrama De Dispersión.
3. Lecturas recomendadas
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
85
85
85
85
85
85
86-105
86
90
84
95
106
107
108
114
UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: PROBABILIDADES 115-148
1. Introducción
a. Presentación y contextualización
b. Competencia
c. Capacidades
d. Actitudes
e. Ideas básicas y contenido
2. Desarrollo de los temas
a. Tema 01: Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso
b. Tema 02: Definición De Probabilidad, Valor, Eventos Mutuamente Excluyentes Y Eventos
No Excluyentes
c. Tema 03: Probabilidad Condicional.
d. Tema 04: Probabilidad Total, Teorema de Bayes y Tecnicas de Conteo.
3. Lecturas recomendadas
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
116
116
116
116
116
116
117-143
117
122
127
121
133
144
145
148
III. GLOSARIO 149
IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 150
V. SOLUCIONARIO 151
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Introducción
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a)Presentación y contextualización
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el
estudiante comprenda, las nociones básicas de la estadística, tablas y gráficos
estadísticos.
Para poder hacer que el alumno pueda usar estos conocimientos en su vida diaria,
problemas simples, y dar un enfoque más analítico con respecto a los problemas.
b)Competencia
Recopila, organiza, sistematiza la información estadística, y representa
mediante gráficos estadísticos.
c) Capacidades
1. Define y explica la importancia de la estadística y sus etapas.
2. Describe y aplica los diferentes tipos de variables en la estadística descriptiva.
3. Explica las maneras de cómo organizar datos y distribuir frecuencias.
4. Explica la estructura de cada uno de los gráficos usados en la estadística
descriptiva.
d)Actitudes
Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades
asignadas a su vez promueve actividades y toma de decisiones pertinentes.
Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta
sus trabajos en forma organizada.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:
La Unidad de Aprendizaje 01: Introducción, Organización Y Presentación De
Datos, comprende el desarrollo de los siguientes temas:
TEMA 01: Introducción, Concepto, Etapas del Desarrollo de la Estadística.
TEMA 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas.
TEMA 03: Organización de Datos y Distribución de Frecuencias.
TEMA 04: Gráficas Estadísticas.
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Introducción
Concepto
Etapas
TEMA 1
del Desarrollo
de la Estadística
Competencia:
Definir y explicar la importancia de la
estadística y sus etapas.
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Desarrollo de los Temas
Tema 01: Introducción, Concepto, Etapas Del
Desarrollo De La Estadística
A. Introducción:
La palabra "estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber:
1º Como colección de datos numéricos.- Esto es el significado más vulgar de la
palabra estadística. Se sobrentiende que dichos datos numéricoshan de estar
presentados de manera ordenada y sistemática.
Una información numérica cualquiera puede no constituir
una estadística, para merecer este apelativo, los datos
han de constituir un conjunto coherente, establecido de
forma sistemática y siguiendo un criterio de ordenación.
2º Como ciencia.- En este significado, La Estadística estudia el comportamiento de
los fenómenos de masas. Como todas las ciencias, busca las características generales
de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. Al investigar el sexo
de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo numeroso de nacimientos
y obtener después la proporción de varones.
Es muy frecuente enfrentarnos con fenómenos en los que es muy difícil predecir el
resultado; así, no podemos dar una lista, con las personas que van a morir con una
cierta edad, o el sexo de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo
de embarazo.
El objetivo de la estadística como ciencia es recopilar,
e interpretar datos que en el futuro servirán para
proyectar posibles problemáticas futuras, consiguiendo
según estos datos, la solución más viable y rápida.
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B. Concepto:
Es una ciencia aplicada que nos proporciona un conjunto de
métodos o técnicas para:
Recopilar.
Organizar.
Presentar Datos.
Analizar Datos.
¿Quienes Usan La Estadística?
Los métodos estadísticos han encontrado en la
actualidad aplicación en el Gobierno, la
administración de negocios, las Ciencias
Sociales, la Sicología, las Ingenierías, las
Ciencias Físicas y Naturales y en muchos otros
campos de la actividad intelectual.
Algunos ejemplos:
En Los Organismos De Gobierno. Los diferentes indicadores
económicos, tales como índices de precios al por mayor y al consumidor, las
tasas de interés, las fluctuaciones del mercado bursátil y el índice de
producción industrial, no solamente describen el estado actual de la economía,
sino que proporcionan pistas acerca de sus futuras tendencias. Con el auxilio
de tales indicadores, los encargados de las políticas de los distintos
organismos serían capaces de tomar decisiones más racionales con respecto
a sus operaciones.
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En La Administración De Negocios. La creciente complejidad de la economía
ha provocado un terrible grado de incertidumbre acerca de las operaciones futuras de
cualquier empresa de negocios. Más y más compañías están usando el análisis
estadístico como herramienta para la toma de decisiones, especialmente en áreas tales
como investigación de mercados, predicciones y planeación a largo plazo en lo
referente a recursos financieros y humanos.
En La Educación Y En La Psicología. La necesidad de analizar e interpretar
datos numéricos ha hecho necesario para educadores y para sicólogos
tener al menos alguna comprensión básica de los métodos estadísticos. La
necesidad del sicólogo de herramientas estadísticas especiales ha llevado al
desarrollo de nuevas técnicas estadísticas en las últimas décadas.
En las Ciencias Biológicas y
en la Medicina. En la
agricultura, se utilizan para
determinar los efectos de clases
de semillas, de insecticidas y de
fertilizantes en los campos. Se
emplea también para determinar
los posibles efectos laterales o
la efectividad de las medicinas y
para proporcionar mejores
métodos para controlar la
diseminación de enfermedades
contagiosas.
En la Sociología, en
la Antropología y en
las Ciencias del
Comportamiento.
Las técnicas
estadísticas se han
aplicado a una amplia
variedad de proyectos
de investigación que
impliquen el estudio de
individuos y de grupos.
En La Ingeniería. La aplicación de los principios estadísticos al control de calidad ha
sido una práctica aceptada durante varias décadas.
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C. Etapas de Desarrollo de la Estadística
La historia de la estadística está resumida en tres grandes etapas o fases:
1.- Los Censos: Desde el momento en que se constituye una autoridad política, la
idea de inventariar de una forma más o menos regular la población y las riquezas
existentes en el territorio está ligada la conciencia de soberanía y con los primeros
esfuerzos administrativos.
Los comienzos de la estadística pueden ser hallados
en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron
recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos
datos relativos a la población y a las riquezas del país.
2.- De La Descripción A La Aritmética Política: Las ideas mercantilistas
entrañan una intensificación de este tipo de investigación. Colbert multiplica las
encuestas sobre artículos manufacturados, el comercio y la población. Vauban,
quien hace la primera propuesta de un impuesto sobre los ingresos, se señala
como el verdadero precursor de los sondeos. La escuela inglesa proporciona un
nuevo progreso al superar la fase puramente descriptiva. Uno de sus principales
exponentes Petty es autor de la famosa Aritmética Política. Chaptal, ministro del
interior francés, publica, en 1801, el primer censo general de población y
desarrolla estudios industriales, de las producciones y de los cambios, los cuales
se hicieron sistemáticos durante las dos terceras partes del siglo XIX.
3.- Estadística Y Cálculo De Probabilidades: El cálculo de probabilidades se
incorpora, rápidamente, como un instrumento de análisis extremadamente poderoso
para el estudio de los fenómenos económicos y sociales y, en general, para el
estudio de fenómenos "cuyas causas son demasiado complejas para conocerlas
totalmente y hacer posible su análisis". Godofredo Achenwall, profesor de la
Universidad de Gotinga, acuñó, en 1760, la palabra estadística, que extrajo del
término italiano statista (estadista). Creía, y con sobrada razón, que los datos
de la nueva ciencia serían el aliado más eficaz del gobernante
consciente.
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de dos tipos:
n, se
mnos
D. Población, Elementos Y Caracteres.
Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o
colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que
denominaremos población.
Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que
porten información sobre el fenómeno que se estudia.
Por ejemplo: si estudiamos el precio de la vivienda en
una ciudad, la población será el total de las viviendas
de dicha ciudad.
Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se
estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un
individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.
Las personas o cosas que forman parte de la
población se denominan elementos. En sentido estadístico
un elemento puede ser algo con existencia real, como
un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la
temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más
aspectos cualidades o caracteres.
La población puede ser según su tamaño
Población Finita:
Cuando el número de elementos que lo forma
pueden enumerar, por ejemplo el número de alu
de un centro de enseñanza, o grupo clase.
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Población Infinita:
Cuando la cantidad de elementos que la
forman no es posible numerarlo. Como
por ejemplo si se realizase un estudio
sobre los productos que hay en el
mercado. Hay tantosy de tantas calidades
que esta población podría considerarse
infinita.
Muestra:
Subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia el precio de la
vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las
viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar
un subgrupo muestra) que se entienda que es suficientemente representativo.
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Variables
Cualitativas
y
TEMA 2
Cuantitativas
Competencia:
Describir y aplicar los diferentes tipos de
variables en la estadística descriptiva.
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1 = muy en desacuerdo
2 = en desacuerdo
3 = indiferente
4 = de acuerdo
5 = muy de acuerdo
En variables que exploran el grado de
acuerdo o desacuerdo frente a una
afirmación los atributos podrían ser:
Tema 02: Variables Cualitativas y Cuantitativas
Las variables pueden ser clasificadas como cuantitativas (intervalares) o
cualitativas (categóricas), dependiendo si los valores presentados tienen o no un
orden de magnitud natural (cuantitativas), o simplemente un atributo no sometido
a cuantificación (cualitativa).
Una variable es medida utilizando una escala
de medición.
La elección de la(s) escala(s) de medición a utilizar depende, en primer lugar, del tipo
de variable en estudio, y, además, del manejo estadístico a la que se someterá la
información. En términos prácticos, existe una correspondencia directa entre el
concepto de variable y escala de medición. Un atributo corresponde a un valor
específico de una variable, como es el caso de la variable sexo, la que posee dos
atributos: varón o mujer.
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Dependiendo de los valores que puede tener una variable cualitativa, ésta puede a
su vez ser dicotómicas (cuando sólo pueden adoptar un sólo valor sin jerarquía entre
sí; hombre - mujer, positivo-negativo, presente-ausente), o bien, poli o
multicotómicas, si existe la posibilidad de que adopten múltiples valores (edad,
talla, nivel socioeconómico, grupos sanguíneos, calificación previsional de usuarios).
1. Las escalas de medición de una variable cualitativa son:
Nominal.- Nominal, En este nivel de medición se establecen categorías
distintivas que no implican un orden especifico.
Ejemplo:
Nombres de personas, de establecimientos,
raza, grupos sanguíneos, estado civil. Estas
variables no tienen ningún orden inherente a
ellas ni un orden de jerarquía.
Ordinal.- Cuando se establecen categorías con dos o mas niveles que
implican un orden inherente entre sí.
Ejemplo:
Grados de desnutrición, respuesta a un tratamiento, nivel socioeconómico,
intensidad de consumo de alcohol, días de la semana, meses del año.
A pesar de este orden jerárquico no es posible obtener
valoración numérica lógica entre dos valores.
1. Las variables de tipo cuantitativo pueden a su vez ser
clasificadas como continuas o discretas. Las escalas
cuantitativas son reconocidas también como escalas
intervalares o numéricas.
Continua.- Cuando entre dos valores determinados existen infinitas
posibilidades de valores. Ejemplo: El peso, la talla, la presión arterial o el
nivel de colesterol sérico.
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Discreta.- Cuando la variable a medir sólo puede adoptar un sólo valor
numérico, entero, con valores intermedios que carecen de sentido
Ejemplo:
El número de hijos, de unidades vecinales del sector,
número de exámenes de laboratorio o de pacientes
atendidos.
En la práctica, salvo contadas excepciones no se dispone de métodos de medición
sofisticados como para poder medir exactamente los valores. Tanto las
variables discretas como las continuas pueden agruparse construyendo
intervalos, entre cuyos valores extremos se ubicarán las diferentes observaciones
registradas.
Sin embargo, estrictamente hablando, sólo las variables continuas pueden ser
objeto de categorización mediante intervalos.
Clasificación de Variables
Continuas
Cuantitativas (intervalares)
Discretas
Ej. Presión arterial, peso, edad, talla, IMC
(Índice de Masa Corporal)
Ej. Número de hijos, episodios de
infección urinaria
Categóricas (cualitativas)
Dicotómicas
Ej. Sexo masculino y
femenino; vivo/muerto.
Politómicas
Ej. Grupo sanguíneo, raza, estado
civil, grado de instrucción
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(por
ción
ejemplo:
NOTA:
Las variables también se pueden clasificar en:
Variables unidimensionales:
Sólo recogen información sobre una característica
ejemplo: edad de los alumnos de una clase).
Variables Bidimensionales:
Recogen información sobre dos características de la pobla
(por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
Variables pluridimensionales:
Recogen información sobre tres o más características (por
edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Ordenables:
Aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, El nivel
de estudios, etc.
No ordenables:
Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece
orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.
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Organización
de Datos
y
Distribuciónde
TEMA 3
Frecuencias
Competencia:
Explicar las maneras de cómo organizar
datos y distribuir frecuencias.
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Cuando se han recopilado datos mediante un muestreo o un censo, la primera
inquietud que aparece es sobre la manera en la que se puede realizar un análisis
descriptivo apropiado con la información recolectada de manera que resulte
sencillo entender lo que ocurre en la población de la que se han captado las
observaciones.
En este tema se proprocionan algunos procedimientos para la
tabulación de datos que conducen a la formación de cuadros
Tema 03: Organización De Datos Y
Distribución De Frecuencias
Organización de los Datos Obtenidos de una Muestra
o tablas de frecuencias.
Organización De Los Datos Cualitativos
Antes de iniciar el trabajo de organización de datos cualitativos, es necesario
determinar si éstos corresponden a variables cualitativas nominales u ordinales. Si
los datos son cualitativos nominales, se formar categorías que pueden ser
presentadas en cualquier orden: por ejemplo los colores de preferencia de las
personas. Si los datos son ordinales, entonces deben estar asociados a algún orden
en su presentación.
Una vez definido el tipo de variable, se obtiene mediante
un proceso de conteo las frecuencias absolutas (número
de veces que se repite cada respuesta), luego las
frecuencias relativas (división de cada frecuencia
absoluta entre el tamaño de muestra) y/o los
porcentajes de cada respuesta (cada frecuencia relativa multiplicada por 100).
También se puede encontrar las frecuencias absolutas acumuladas (Fi)
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a absolutaa
re e número l
(n). a
l
f
Frecuencia relativa (hi).-
Es la proporción del total de
observaciones que caen dentro de
cada modalidad o valor. Se obtiene
dividiendo la frecuenci
(fi) de la modalidad ent
total de observaciones
Frecuencia acumulada (Fi).-
Para cada clase, valor o
modalidad, la frecuencia acumulada
equivale la frecuencia absoluta (fi)
de la fila sumada a la frecuencia
cumulada de la fila anterior. Para
a primera fila, la frecuencia
cumulada equivale simplemente a
a frecuencia absoluta de la misma
ila.
Ejemplo 1. Una revista conocida efectuó una encuesta respecto a lo adecuado
de la protección policial en la ciudad. Se seleccionó un total de 419 personas.
Las respuestas se presentan en la siguiente tabla de frecuencias:
Respuesta Frecuencia Frecuencia Porcentaje
absoluta relativa
Si 293 0.6993 69.93
No 80 0.1909 19.09
No sabe/ 46 0.1098 10.98
no
responde
419 1 100
Ejemplo 2. Se ha efectuado una encuesta a 200 madres solteras entre 15 y 25
años de la ciudad de Piura. Los valores se agrupan en: primaria completa,
secundaria completa y educación superior completa. El resultado del conteo se
presenta en la siguiente tabla:
22
rcentaje
125
0.625
62.5
70 0.35 35
5 0.025 2.5
200 1 100
absoluta relativa
0 2 0.013 1.3
1 15 0.100 10.0
2 40 0.267 26.7
3 55 0.367 36.7
4 38 0.253 25.3
TOTAL
150
1
100
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Modalidad Frecuencia
absoluta
Frecuencia Po
relativa
Primaria completa
Secundaria
completa
Educac.superior
completa
Organización De Datos Cuantitativos Discretos
Cuando se tienen datos cuantitativos discretos cuyo número de resultados posibles no
es grande, la información puede ser clasificada y presentada directamente sin pérdida
de la identidad de la misma. En estos casos, primero se ordenan los posibles valores
de la variable según su magnitud, y a continuación se obtienen, mediante un proceso de
conteo, las frecuencias absolutas asociadas a cada uno de dichos valores; las
frecuencias relativas y porcentuales se obtienen de manera similar a lo descrito para
las variables cualitativas.
Ejemplo. Consideremos la variable número de hijos y tomemos las observaciones
de una muestra de 150 familias de zonas marginales de Lima Metropolitana. Los
valores obtenidos se pueden agrupar en diferentes valores: 0 hijos, 1 hijo, 2 hijos, 3
hijos o 4 hijos. Para hacer un arreglo de estas observaciones, usaremos una
tabla como la siguiente:
Número de hijos
Frecuencia Frecuencia Porcentaje
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Organización De Datos Cuantitativos Continuos
Cuando se tiene información para una variable cuantitativa continua, las
observaciones son usualmente diferentes entre sí, lo cual hace que la evaluación
descriptiva a través de los valores individuales sea compleja. Para simplificar el
análisis, los datos son clasificados de acuerdo con ciertos rangos llamados
intervalos de clase.
Ejemplo. Tomamos una muestra de 100 niños de 10 años de edad para estudiar
su estatura.
Entonces la variable estatura que es cuantitativa continúa se puede presentar en
una tabla del siguiente tipo:
INTERVALOS DE CLASE
FRECUENCIA(fi)
[1.0mt.- 1.15mt]
[1.15mt. - 1.30mt]
[1.30mt.- 1.45mt]
[1.45mt.- 1.60mt]
3
39
55
3
TOTAL 100
A la organización de las observaciones de una muestra en una tabla para expresar la
frecuencia de cada una de sus modalidades o valores se le conoce como distribución
de frecuencias. En las distribuciones de frecuencia de las variables cuantitativas
continuas, también se acostumbra colocar otras columnas además de la frecuencia
absoluta (fi), estas nos permitirán tener una mayor información sobre los datos y nos
facilitarán los cálculos de las medidas descriptivas o estadísticos de la muestra. Estas
son la frecuencia relativa (hi), la frecuencia acumulada (Fi y Hi).
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La organización de los datos para el caso en que la variable estadística usada tenga
muchos valores implica e arreglo de las observaciones en intervalos de clases. El
proceso para hallar los intervalos de clase es el siguiente:
Debemos hallar, en primer lugar, en la muestra, el menor valor observado y el mayor
valor observado.
El número de intervalos no deberá ser tan pequeño (menor que 5) o tan grande
(mayor de 15) que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de
visualizar. La longitud del intervalo de clase deberá ser siempre la misma.
Si la longitud de cada intervalo no fuera exacta, se puede
tomar por exceso asegurándonos de este modo que la
reunión de todos los intervalos cubrirá a todos los valores
observados.
Para construir los intervalos se usa los intervalos cerrados a la izquierda y
abiertos a la derecha: [LIi, LSi[, donde LIi,es el límite inferior del intervalo y LSi,
es su límite superior.
¿Cómo decidimos cuántos intervalos de clase tomar?
Existen varias reglas que se basan en el tamaño de nuestra
población o muestra. Una de las reglas más usadas es la Regla
de Sturges, regla empírica que funciona bastante bien para
grupos de 30 a 300 observaciones.
Esta regla nos dice que el número de intervalos de clase para
una muestra de tamaño n será k si este resulta un número
entero o el siguiente número entero a k, si k resulta un número
decimal.
La ecuación para hallar k es: k = 1 + 3.3 * log n, donde n es
el tamaño de la muestra.
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s un
La marca de clase (xi), definida como el punto medio del intervalo de clase,
deberá tener de preferencia el mismo número de decimales que los valores
observados. La marca de clase puede considerarse que e
representante de los datos que caen en el intervalo .
Xi =
𝑳𝑰𝒊 + 𝑳𝑺𝒊
�
Ejemplo 1. Suponga que los datos que se presentan a continuación
corresponden a los valores de la inflación anual durante el año 2008 de un total de
20 ciudades de una región del país. Construir la distribución de frecuencias
8.2 12.8 10.5 9.3 12.7 10.2 9.1 10.7 8.2 12.8 8.5 11.6 8.4 10.1
10.2 13.1 9.8 12.1 13.6 11.7
Solución
1. R = 13.6 – 8.2 = 5.4
2. K = 1 + 3.3 log20 = 1 + 3.3 (1.30.10) = 1 + 4.29 = 5.29 = 5 (redondeo por
aproximación)
3. C = R/k = 5.4 / 5 = 1.08 = 1.1 (redondeo por exceso; los datos tienen un
decimal)
4. Los límites de los intervalos se obtienen del siguiente modo:
LI1 = 8.2 LS1 = LI2 = 9.3
LI2 = LI1 + c = 8.2 + 1.1= 9.3 LS2 = LI3 = 10.4
LI3 = LI2 + c = 9.3 + 1.1 = 10.4 LS3 = LI4 = 11.5
LI4 = LI3 + c = 10.4 + 1.1 = 11.5 LS4 = LI5 = 12.6
LI5 = LI4 + c = 11.5 + 1.1 = 12.6 LS5 = LS4 + c = 12.6 + 1.1 = 13.7
5. Las marcas de clase se calculan de la siguiente manera:
X1 =
�. �+ �. �
= �. ��; �� =
�. �+ ��. �
= �. �� y así sucesivamente
� �
6. Para determinar las frecuencias absolutas se procede como sigue: Se toma la
primera observación 8.2 y se busca el intervalo de clase que pertenece, es el
8.2 – 9.3, luego se asigna una tarja en la intersección de la columna de conteo y
la fila de ese intervalo. Se toma ahora la otra observación 12.8, la cual
perteneceal intervalo 12.6 – 13.7, entonces se asigna una tarja en la
intersección de la fila de este nuevo intervalo y la columna de conteo. Así
sucesivamente hasta agotar la última observación. Sumando las tarjas se
obtiene la frecuencia absoluta de cada clase.
7. Para obtener las frecuencias acumuladas se procede de la siguiente forma:
F1 = f1 = 5 F2 = F1 + f2 = 5 + 5 = 10
25
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ncia
20
20
20
20
20
Con los resultados anteriores se obtiene el siguiente cuadro de distribución de
frecuencias
Intervalos Marca de Tarjas Frecuencia Frecuencia Frecue
de clase clase Xi absoluta acumulada relativa
fi Fi hi
8.2 ; 9.3 8.75 ///// 5 5 5/
9.3 ; 10.4 9.85 ///// 5 10 5/
10.4 ; 11.5 10.95 // 2 12 2/
11.5 ; 12.6 12.05 /// 3 15 3/
12.6 ; 13.7 13.15 ///// 5 20 5/
20 1
Ejemplo 2. A continuación, se presenta una lista ya ordenada de las observaciones
hechas sobre el ingreso de las personas.
53 57 58 61 61 63 64 66 67 68
69 70 71 72 73 74 74 74 74 77
77 77 78 78 79 79 79 81 81 81
82 82 83 83 84 85 85 86 87 87
88 90 90 90 90 92 93 94 96 97
Para estos ingresos, el menor valor de la muestra es 53
dólares y el mayor valor de la muestra es 97 dólares. Luego, el
rango de estos valores es: 97 - 53 = 44 dólares
Al aplicar la regla de Sturges con n= 50, tendremos: k= 1 +
3.3*(1.69897) = 6.6, lo que equivale a tomar 7 intervalos s)
El tamaño o amplitud de cada intervalo de clase se determina así: c=R /K= 44 / 7
= 6.29 = 7. (redondeo por exceso, al entero superior, considerando que los datos
son entero. Si los datos tienen decimales el proceso es el mismo).
26
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27
Siguiendo el mismo proceso utilizado para el ejemplo 1, se tiene la tabla de
distribución de frecuencias:
INTERV ALOS xi fi hi Fi
[ 5 3 ; 60 ] 56.5 3 3/ 50 3
[ 6 0 ; 67] 63.5 5 5/ 50 8
[67 ; 74] 70.5 7 7/50 15
[ 7 4 ; 81] 77.5 12 12 / 50 27
[81 ; 88] 84.5 13 13/ 50 40
[88 ; 95] 91.5 10 10 / 50 50
TOTAL 50 1
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28
7
Gráficas TEMA 4
Estadísticas
Competencia:
Explicar la estructura de cada uno de los
gráficos usados en la estadística descriptiva.
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29
Tema 04: Gráficas Estadísticas
Presentación De Los Datos Obtenidos De Una Muestra
Una vez realizada la organización de los datos observados, es necesario
presentar estos de forma gráfica forma visual permitirá resaltar algunos hechos
que muestran los datos. Se verán diversos tipos de gráficos catalogados según el
tipo de variable a presentarse.
a)Gráfica De Barras
Para Una Variable Cualitativa
Para una variable cualitativa, ya sea
nominal u ordinal, la presentación de la
información obtenida organizada en una
distribución de frecuencias puede ser
presentada mediante dos gráficos: gráfico
de barras y gráfico de sectores.
En este tipo de presentación, cada barra rectangular corresponde a una modalidad. Todas
las barras tienen base de igual longitud y altura proporcional a la frecuencia (fi) o
frecuencia relativa (hi) que presen modalidad. Tomemos la distribución de frecuencias
de la variable grado de instrucción, obtenida de una muestra de 150 mujeres. Se
considerará que cada mujer pertenece al mayor grado de instrucción que ha
concluido.
MODALIDAD fi hi Pi
Primaria Completa
60 0,40 40%
Secundaria Completa 55 0,37 37%
Superior Completa 35 0,23 23%
150
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30
N
Ú
M
ER
O
D
E
M
U
JE
R
ES
60
70
GRÁFICA DE BARRAS
50
40
30 Primaria Completa
20 Secundaria Completa
10 Superior Completa
0
Primaria
Completa
Secundaria
Completa
Superior
Completa
GRADO DE INSTRUCCIÓN
También es posible realizar GRÁFICAS DE BARRAS HORIZONTALES, los
cuales se parecen mucho a las gráficas de columnas, con la salvedad importante de
que la función de los ejes se intercambia y el eje horizontal queda destinado a las
frecuencias y el eje vertical a las clases.
Es muy común que este tipo de gráficos se utilicen para ilustrar el tamaño de una
población dividida en estratos como, por ejemplo, son sus edades. El ejemplo que
se presenta es la población de un país ficticio llamado "Perulandia":
A este tipo de gráficos en particular
se le llama pirámide de edades por su
forma. Incluso, cuando se compara
la población masculina y femenina por
estratos de edades, se estila utilizar el
lado izquierdo para la población de
un sexo y el lado derecho para el
otro, el resultado es una "pirámide"
casi simétrica (dependerá de la
población en particular).
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31
b)Gráfica De Sectores
Otra forma de presentar la información de una variable cualitativa es utilizando una
gráfica de sectores (también denominada gráfica tipo "pie" o "pastel").
La gráfica de sectores es un círculo dividido en varios sectores proporcionales en
tamaño a las frecuencias relativas (hi) de las diferentes modalidades. En el caso
anterior de la distribución de frecuencias, tendremos:
Primaria completa 40% de 360 grados = 144 grados
Secundaria completa 37% de 360 grados = 133.2 grados
Superior completa 23% de 360 grados = 82.8 grados
MODALIDAD
fi hi Pi
Primaria Completa 60 0,40 40%
Secundaria Completa 55 0,37 37%
Superior Completa 35 0,23 23%
150
23%
40%
Primaria Completa
Secundaria Completa
Superior Completa
37%
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c) Gráfico De Bastones
Para una variable cuantitativa discreta (con pocos valores) es posible usar los
gráficos de barras. Pero existe otro gráfico, diseñado para este tipo de variables y es la
GRÁFICA DE BASTONES. En esta gráfica, la frecuencia del valor de la variable es
representada por un segmento de recta en vez de una barra.
Tomemos la variable número de hijos, los posibles
valores de esta variable son 0 hijos, 1 hijo, 2 hijos, 3 hijos
ó 4 hijos. Luego, para una muestra de 100 datos tendremos
la distribución de frecuencias:
VALOR fi Hi
0 Hijos 7 7 / 1 0 0 = 0 . 0 7
1 Hijo 15 15 ./ 100 = 0.15
2 Hijos 40 40 / 100 = 0.40
3 Hijos 25 25 / 100 = 0.25
4 Hijos 13 13 / 100 = 0.13
TOTAL 100 1.00
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33
In
[ 5 [
5 [ 6
[ 6 [
7 [ 7
[ 8 [
8
d)Histograma
Para Una Variable Cuantitativa Discreta (Con Muchos
Valores) O Continua existe una gráfica equivalente a la
gráfica de barras, se denomina histograma.
Esta forma de presentación también consiste en
graficar barras, pero, a diferencia de la gráfica de barras,
aquí las barras están pegadas unas a otras.
Cada barra corresponde a un intervalo de clase y se acostumbra a colocar el valor
inicial y final de cada intervalo o la marca de clase para identificar cada barra. La
alturade cada barra puede ser proporcional a la frecuencia (fi) o la frecuencia relativa
(hi) del intervalo.
tervalos
Xi
fi
Fi
hi
Pi
2,5 ; 57,5 ]
55 2 2 0,04 4%
7,5 ; 62,5 ] 60 3 5 0,06 6%
2,5 ; 67,5 ] 65 4 9 0,08 8%
7,5 ; 72,5 ] 70 5 14 0,10 10%
2,5 ; 77,5 ] 75 8 22 0,16 16%
7,5 ; 82,5 ] 80 10 32 0,20 20%
2,5 ; 87,5 ] 85 8 40 0,16 16%
7,5 ; 92,5 ] 90 6 46 0,12 12%
[ 92,5 ; 97,5 ] 95 4 50 0,08 8%
Total 50 1,00 100%
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34
FR
EC
U
EN
C
IA
S
HISTOGRAMA
12
10
8
6
4
2
0
60 65
55
70 75 80
85 90 95
MARCAS DE CLASE
e) Polígono De Frecuencias
Uniendo los puntos medios de los lados superiores de cada barra rectangular del
histograma se obtiene un gráfico llamado polígono de frecuencias. El conocimiento
del polígono de frecuencias ayudará más adelante en la búsqueda del modelo
teórico que mejor describa a los elementos de la población de acuerdo con la
variable que se estudia.
Polígono De Frecuencias (Línea Negra)
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35
Otro Ejemplo De Polígono De Frecuencias (Línea Negra)
f) Ojiva
Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene
de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de
igual manera que éstas, existen las ojivas mayores que y las ojivas menores
que.
Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y
los polígonos de frecuencias (y por esto la aplicación de la
técnica es parcial):
Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje horizontal,
para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo;
para la ojiva menor que, con el derecho. En el eje
horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se
colocan las fronteras de clase.
Para el caso de la ojiva mayor que, es la frontera menor; para la ojiva menor
que, la frontera mayor. La ojiva mayor que (izquierda) se le denomina de esta
manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de clase "4:00" se ven
las visitas que se realizaron en una hora mayor que las 4:00 horas (en cuestiones
temporales se diría: después de las 4:00 horas).
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#poligono_frec
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#dist_acum
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36
De forma análoga, en la ojiva menor que, la frecuencia que se representa en
cada frontera de clase son el número de observaciones menores que la
frontera señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones antes
de la hora que señala la frontera).
Si se utiliza una distribución porcentual acumulativa
entonces se obtiene una ojiva (mayor que o menor que
según sea el caso) cuyo eje vertical tiene una escala
que va del 0% al 100%. El siguiente ejemplo es la
misma ojiva menor que se acaba de usar,
pero con una distribución porcentual:
g)Gráfica De Áreas
En ocasiones, al comparar dos series de observaciones (o de
datos) se utiliza una llamada gráfica de áreas, la cual consiste
en rellenas el área que se encuentre debajo de las líneas que
resultan de una gráfica de líneas. El ejemplo que se presenta
es la comparación del total de las especies de las familias del
orden Carnívora y las que están amenazadas, en México,
(fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo").
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#dist_acum_p
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#series
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/g_lineas
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37
Actualmente, y mucho en los medios masivos de comunicación, se utilizan
gráficos para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación.
Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o
el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la
frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y éstos
son dos ejemplos:
h)Gráfica De Dispersión
Cuando se pretende ilustrar la dispersión de las observaciones realizadas, y así
trabajar algunas cosas como correlaciones se puede utilizar una gráfica de
dispersión.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu7.html#dispersion
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu7.html#correlacion
38
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Por ejemplo, el ejemplo de la izquierda es la dispersión que se presenta al
comparar el número de tesis doctorales en ciencias exactas contra el número de
total de tesis doctorales (todo en México) en observaciones anuales entre 1984 y
1990 (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX (114):12):
La gráfica de la derecha es resultado de comparar el diámetro (en miles de kilómetros)
de los planetas interiores de nuestro sistema solar contra sus densidades (en gramos
por centímetro cúbico). Es interesante observar que los puntos parecen "seguir" una
línea imaginaria que se asemeja a una recta, con excepción de un caso atípico:
Mercurio.
Uno de los usos de este tipo de gráficas es
precisamente encontrar si las observaciones siguen
algún patrón lineal (una línea de tendencia) o si
existen valores atípicos. Para el caso del Excel, el
programa es capaz de graficar las líneas de
tendencias que siguen un conjunto de datos.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/???#linea_tendencia
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xconst.html#disp_xl
39
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i) Gráfica De Burbujas
Un tipo de gráfico similar a las gráficas de dispersión son las gráficas de
burbujas, en las cuales se presenta la dispersión de las observaciones de la
misma forma que aquéllas, pero se le añade la posibilidad de visualizar otra
variable representada en el tamaño del punto, pues éstos se convierten en
círculos (burbujas) con radios proporcionales a las magnitudes que
representan.
Este ejemplo compara la distancia que existe entre cada uno de los planetas
interiores de nuestro sistema solar con respecto al Sol, contra el tiempo que
necesitan para recorrer sus órbitas, y el tamaño de las burbujas que indica la masa
de cada planeta. Además existen otros tipos de gráficos, cada uno con
características particulares que les proporcionan cierta intencionalidad para su
uso, como son las gráficas de radar y las gráficas polares.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html#g_dispersion
40
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Lecturas Recomendadas
INTRODUCCIÓN, CONCEPTO, ETAPAS DEL DESARROLLO DE LA ESTADÍSTICA.
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
ORGANIZACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
http://www.vitutor.net/2/11/distribucion_frecuencias.html
Actividades y Ejercicios
Ingresa al link presentación de datos, lee atentamente las indicaciones,
desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo medio.
1. De los siguientes valores:
Ford Toyota Nissan Hyundai Hyundai Ford
Nissan Ford Hyundai Nissan Hyundai Toyota
Hyundai Nissan Toyota Ford Toyota Hyundai
Ford Hyundai
a. Hallar la frecuencia absolutay relacional.
b. Hallar la frecuencia acumulada absoluta y relacional.
c. Realizar un grafico de barras.
d. Dibujar un diagrama circular.
2. Suponga que en estudio socioeconómico se observó, entre otras variables, el
número de trabajadores eventuales que tienen las empresas comerciales de una
región de la ciudad de Trujillo. Mediante una muestra de 30 empresas se
encontraron los siguientes resultados.
4 10 5 8 10 6 10 7 8 6 9 7 9 6 8
8 6 7 10 8 7 8 9 7 5 9 4 7 8 6
Construir el cuadro de distribución de frecuencias .
3. Suponga que se ha llevado a cabo una encuesta a 28 personas elegidas al azar
para analizar su opinión sobre la calidad de una nueva conserva que se desea
introducir en el mercado. Los resultados observados fueron los sigui entes:
Bueno Malo Bueno Excelente Regular Bueno Regular
Regular Regular Excelente Excelente Bueno Excelente Bueno
Bueno Excelente Bueno Malo Bueno Bueno Malo
Bueno Excelente Bueno Bueno Excelente Bueno Excelente
Construir el cuadro de distribución de frecuencias .
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
http://www.vitutor.net/2/11/distribucion_frecuencias.html
41
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Autoevaluación
1. Clasifique las variables referidas a la población de electores del Perú.
Preferencia electoral.
Edad del elector.
Estado socio económico del elector.
Número de integrantes en la familia del elector.
Sexo del elector.
Grado de instrucción del elector.
Ingresos mensuales del elector.
a) 4 Cualitativas y 3 Cuantitativas
b) 3 Cualitativas y 4 Cuantitativas
c) 2 Cualitativas y 5 Cuantitativas
d) 5 Cualitativas y 2 Cuantitativas
e) 1 Cualitativas y 6 Cuantitativas
2. El objetivo principal de la estadística descriptiva es:
a) Describir una población.
b) Hallar las regularidades que se encuentran en los fenómenos de masa.
c) Inferir algo acerca de la población.
d) Calcular un promedio.
e) Hallar el promedio de acuerdo a la cantidad.
3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es cierto respecto a una
muestra?
a) Es parte de una población.
b) Debe contener al menos cinco observaciones.
c) Se refiere a estadística descriptiva.
d) Se refiere a una variable no contable.
e) Contiene dentro a la población.
4. Una variable cualitativa.
a) Siempre se refiere a una cualidad.
b) Es no numérica.
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c) Siempre tiene sólo dos resultados posibles.
d) Todas las anteriores son correctas.
e) Es numérica.
5. Una variable en escala nominal.
a) Casi siempre es el resultado de contar algo.
b) Tiene un punto cero significativo.
c) Puede adquirir valores negativos.
d) No puede tener más de dos categorías.
e) Sólo sirve para nombrar su característica
6. En una empresa, se hizo el estudio sobre las edades de los empleados y se
obtuvo la siguiente tabla:
EDADES Nº DE EMPLEADOS
[20 – 25] 12
[25 – 30] 15
[30 – 35] 23
[35 – 40] 11
[40 - 45] 9
Total: 70
Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años ó más.
B es el porcentaje de empleados entre 40 y 45 años. Señale A - B (aprox.)
a) 65%
b) 60%
c) 63%
d) 64%
e) 62%
7. La tabla muestra la distribución del ingreso familiar correspondiente a 80
familias.
fi: frecuencia absoluta simple
Fi: frecuencia absoluta acumulada
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Marca de
Clase
Frecuencias
Relativas
45 K/50
55 3k/100
65 2k/25
75 3k/50
85 K/100
hi: frecuencia relativa simple en tanto por uno
Intervalo de Ingreso S/. fi Fi hi
[160 - 170] 12 12
[170 – 180] 48 60
[180 – 190] 0,125
[190 – 200] 0,075
[200 – 210]
Determine el número de familias que ganan menos de 200 nuevos soles.
a) 66
b) 70
c) 54
d) 76
e) 50
8. En una prueba de aptitud académica se evaluaron a “n” estudiantes y las
notas obtenidas se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias
como se muestra a continuación.
¿Qué porcentaje de estudiantes
obtuvieron una nota menor que 65
puntos o igual que 85 puntos?
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 60%
e) 70%
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)
9. ¿Cuál de los siguientes diagramas es un histograma?
a) b)
c) d) e
10. ¿Cuál de los siguientes diagramas es una ojiva?
a) b)
c) d)
e)
44
45
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Resumen
UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE II::
La estadística es un auxiliar de muchas ciencias con base matemática referente a la
recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de
la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún
fenómeno, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Se usa para la toma de
decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales.
Variable es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser
medida, adoptando diferentes valores en cada uno de los casos de un estudio.
Clasificación de Variables:
Cualitativos: Arrojan respuestas categóricas, miden cualidades y se les puede
asignar después un valor numérico (codificarlas). Cuantitativos: Producen
respuestas numéricas, miden cantidades y podemos tratar un dato cuantitativo como
cualitativo (categorizando).
Los datos recopilados en la muestra se pueden organizar en Tablas de Frecuencias.
Estas tablas muestran: Frecuencia absoluta (fi): Resulta de contar el número de
observaciones que "entran" en una clase Frecuencia Relativa (hi): Es la proporción
de observaciones que "entran" en una clase Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi): Es
el número de observaciones acumuladas. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): es la
proporción de observaciones acumuladas
Las más importantes gráficas: Sector.- Consiste en dividir un círculo en tantos sectores
como valores de la variable. La amplitud de cada sector debe ser proporcional a la
frecuencia del valor correspondiente. Histograma.- Es un caso particular del diagrama
anterior en el caso de variables continuas. Si los intervalos son correlativos, los
rectángulos aparecen pegados en la representación gráfica. Barras.- Consiste en dos
ejes perpendiculares y una barra o rectángulo para cada valor de la variable. Se suele
colocar en el eje horizontal los valores de la variable.
http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoria
http://es.wikipedia.org/wiki/Condicional
http://es.wikipedia.org/wiki/Negocios
http://es.wikipedia.org/wiki/Gobierno
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46
47
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Introducción
a)aaa
a) Presentación y contextualización
Los temas que se tratan en la presente unidad, tiene por finalidad que el estudiante
comprenda las Medidas De Tendencia Central y Medidas de Dispersión así como
formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
Conocer además las diferentes medidas para datos agrupados y no agrupados; esto
se puede utilizar para organizar datos y resolverlas interrogantes.
b) Competencia
Utiliza las medidas estadísticas adecuadamente para comprender mejor el
comportamiento de los datos agrupados y no agrupados.
c) Capacidades
1 .Explica y compara los resultados obtenidos en base a las Medidas de Tendencia
Central para datos no Agrupados.
2. Describe y analiza las Medidas de Tendencia Central para datos Agrupados.
3. Calcula y grafica la estructura de las Medidas de Dispersión.
4. Define, analiza y grafica las medidas de posición.
d) Actitudes
Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades
asignadas a su vez promueve actividades y toma de decisiones pertinentes.
Cumple con los horarios establecidos, respeta y cumple las normas de
convivencia en el ámbito superior universitario.
Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta
sus trabajos en forma organizada.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:
La Unidad de Aprendizaje 2: Medidas De Tendencia Central y Medidas de
Dispersión, comprende el desarrollo de los siguientes temas:
TEMA 01: Medidas de tendencia central para datos no agrupados.
TEMA 02: Medidas de tendencia central para datos agrupados.
TEMA 03: Medidas de dispersión.
TEMA 04: Medidas de posición.
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Medidas de
Tendencia
Central
TEMA 1
Para Datos
No agrupados
Competencia:
Explicar y comparar los resultados obtenidos
en base a las Medidas de Tendencia Central
para datos no Agrupados.
49
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas
Tema 01: Medidas de Tendencia Central
Para Datos No Agrupados
Las medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia
que valor (o valores) se agrupan los datos.
Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:
La media aritmética
La moda
La mediana
Media aritmética (µ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la
sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es
aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.
Hay que entender que existen dos formas distintas de Hay que entender que existen
dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales:
sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos
sugiere dos formas de representar la media aritmética.
50
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Cabe anotar que en el ejemplo
estamos hablando de una
población correspondiente a
todos los alumnos de la clase.
El promedio de las 10 notas es
de 3,47.
Media Aritmética para Datos No Agrupados
Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y
muestrales:
Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos
(N identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra).
Ejemplo
El profesor de la materia de estadística desea
conocer el promedio de las notas finales de
los 10 alumnos de la clase. Las
notas de los alumnos son:
3,2 3,1 2,4 4,0 3,5
3,0
3,5
3,8
4,2
4,0
¿Cuál es el promedio de notas de los
alumnos de la clase?
Solución
Aplicando la fórmula tenemos:
51
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a.
Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media
aritmétic
En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que
la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos
datos. El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas
entre 3,0 y 4,2.
Mediana (Me):
Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales.
La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.
La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un
segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento AB es el punto C.
Ejemplo: (cantidad de datos impar)
Encontrar la mediana para los siguientes
datos:
4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 5, 3
Solución
PASO 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos el número de datos.
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
Me = 3
52
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SOLUCIÓN
dato. Encontrar la mediana:
de datos.
Ejemplo: (cantidad de datos par)
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5
Solución
PASO 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos el número
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la
mediana será Me =
�+ �
= 2,5.
�
Moda (Mo): indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor
frecuencia.
En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un
conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de
datos multimodal.
Ejemplo: Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30
personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana:
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1
Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1
Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3
Marca 3 Marca 2 Marca 3
53
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SOLUCIÓN
PASO 1: Determinar las frecuencias de cada valor de la variable.
La marca 1 se repite 15 veces
La marca 2 se repite 6 veces
La marca 3 se repite 9 veces
PASO 2: La moda representa el valor que más se se repite. Mo = Marca 1
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54
Medidas
De Tendencia
Central
Para Datos
TEMA 2
Agrupados
Competencia:
Describir, analizar y las Medidas de
Tendencia Central para datos Agrupados.
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55
s
Tema 02: Medidas de Tendencia Central para
Datos Agrupados
Cuando los datos se agrupan en tablas, la media aritmética es igual a la división
de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de
datos.
Media Aritmética para Datos Agrupado
La sumatoria parte desde el primer intervalo de
clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi
la clase del intervalo i. Cuando los datos se
agrupan en tablas de frecuencias, el cálculo de
la media varía un poco, ya que existe una
pérdida de información en el momento en que
se trabaja con intervalos de
frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo,
desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos).
Las marcas de clases (Xi) cumple la función de representar los intervalos
de clase.
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56
Ejemplo en Tablas
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de
preguntas de 81 encuestados sobre un test que consta de
solo seis preguntas.Preguntas buenas/ personas.
SOLUCIÓN
PASO 1:
Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia
absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el
valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase:
PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
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En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es el
de 3,41) preguntas buenas.
Ejemplo en Tablas de Frecuencia
Calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:
Ni Intervalos Marca de clase ( Xi) fi
1 40.1 48.1 44.1 3
2 48.1 56.1 52.1 8
3 56.1 64.1 60.1 11
4 64.1 72.1 68.1 32
5 72.1 80.1 76.1 21
6 80.1 88.1 84.1 18
7 88.1 96.1 92.1 14
8 96.1 104.1 100.1 1
Solución
Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo,
suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3
veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo.
Paso 1:
Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su
frecuencia absoluta.
�𝑐
∑ �𝑖 �𝑖 = 44.1 𝑥 3 + 52.1 𝑥 8 + 60.1 𝑥 11 + 68.1 𝑥 32 + 76.1 𝑥 21
��=1
+ 84.1 𝑥 18 + 92.1 𝑥 14 + 100.1𝑥 1
= 7890.6
57
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58
nales):
��=1
Paso 2:
Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
𝑥 =
∑ 8 �𝑖 �𝑖
= �
7890 .
6
108
= 73.1
Ejemplo:
Comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados y datos
agrupados en tablas de frecuencia.
Calcular la media aritmética a los siguientes datos sin agrupar y agrupándolos
en una tabla de frecuencia (suponga que los datos son poblacio
Solución
Calculemos la media para los datos sin agrupar:
𝜇 =
∑ � 𝑖 =
47 . 8+ 18 .6+ 18 .6+ 12 .8+ 33 .6+ 23 .1+ ⋯+ 37 .0
=
832 . 1
= 27.74
𝑁 30 30
Luego construyamos la tabla y calculemos su media aritmética con el fin de comparar
ambos resultados:
Ni Intervalos Marca de clase ( Mc) fi
1 11.0 17.4 14.2
8
2 17.4 23.8 20.6 6
3 23.8 30.2 27.0 2
4 30.2 36.6 33.4 5
5 36.6 43.0 39.8 4
6 43.0 49.4 46.2 5
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59
30
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60
de la
e la me
Paso 1:
Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su
frecuencia absoluta.
�
∑ ��� �𝑖 = 14.2 𝑥 8 + 20.6 𝑥 6 + 27.0 𝑥 2 + 33.4 𝑥 5 + 39.8 𝑥 4 + 46.2 𝑥 5
��=1
= 822.4
Paso 2:
Dividir La Sumatoria Sobre El Número Total De Datos. Si Se Observa El Resultado,
Solo Se Diferencia En Centésimos De La Media Poblacional.
𝑥 =
∑ ��� �𝑖
�
822.4
= 30
= 27.41
Mediana para Datos Agrupados
La mediana para datos agrupados en un cuadro de frecuencia se obtiene utilizando las
frecuencias absolutas o las frecuencias relativas de la siguiente manera:
�
�� = ��� + [ 2
− 𝐹� − 1
] �
�� = ��� +
[
��
50% − �� −
1
] � ℎ�
Donde m = Intervalo que contiene a la mediana
Fm-1 = Frecuencia acumulada absoluta del intervalo anterior a la clase
me (Fm)
Hm-1= Frecuencia acumulada relativa del intervalo anterior a la clase d
(Hm)
fm = Frecuencia absoluta del intervalo de clase m.
hm = Frecuencia relativa del intervalo de clase m.
LIm = Límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana.
c = Longitud del intervalo de clase.
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61
s
Ejemplo:
Calcular la mediana a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
Solución
Paso 1:
Localizar entre que clases se encuentra la mediana. Observe que la mediana se
encuentra en la clase 4 (*) que contiene a los elementos 24 y 25. Como n = 48
(número par), la mediana será la media aritmética de los valores que ocupan las
posiciones 24 y 25.
Paso 2:
La posición 24 corresponde al valor 40.
La posición 25 corresponde al valor 40.
Luego: Me =
40 + 40
=
40
2
Ejemplo: Mediana Para Datos Agrupados En Tabla
Determinar la mediana de la siguiente tabla de frecuencia:
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61
Solución
Paso 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana.
Podemos observar que el punto que divide el 50% de los datos esta en el intervalo de
clase 4, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21 (hasta 45,21 hay
agrupados el 42,50% de los datos, y hasta 53,21 se resume el 60,00% de los datos).
Paso 2:
�� = ��� + [ ℎ�
] � = 45.21 + [
Me = 48.64
] 8
17.50
En el mismo ejemplo ahora vamos a encontrar la mediana, utilizando para ello las
frecuencias absolutas.
Paso 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana.
Podemos observar que el punto que divide en partes iguales a la distribución esta
en el intervalo de clase 4, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21.
N° Intervalos de fi Fi
clase
1 21.21 29.21 5 5
2 29.21 37.21 2 7
3 37.21 45.21 10 17
4 45.21 53.21 7 24
5 53.21 61.21 12 36
6 61.21 69.21 3 39
7 69.21 77.20 1 40
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61
40
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62
Paso 2:
Hallamos m = 45.21 a 53.21 fm = 7
LIm = 45.21 c = 8
Fm-1 = 17
�
Luego: Me = ��� + [
2 ] � = 𝑓�
45.21 + [
20 − 17
] 8 = 48.64
7
Ubicando La Mediana En El Gráfico De Ojiva
En un gráfico de ojiva, la mediana corresponde a la proyección del punto en eje
horizontal que equivale al 50% de los datos. En la el gráfico de ojiva del ejemplo
3.6.1, la mediana estaría ubicada en el sexto intervalo, entre 350 y 400:
Moda Para Datos Agrupados
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la
marca de gaseosa que más consume a la semana:
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63
Marca
Fi
Marca 1
Marca 2
Marca 3
15
6
9
Total
30
Solución
Paso 1:
Construimos la tabla de frecuencias
Paso 2:
La moda representa el valor que
más se repite. En este caso es
la marca 1.
Calculo De La Moda Mediante Fórmula
Algunos autores suelen aplicar una fórmula para determinar la moda para tablas de
frecuencia.
�1
�� = ���� + ( ) � �1 + �2
Donde: Limo = Límite inferior del intervalo donde se ubica la moda
d1 = Diferencia entre el valor de la frecuencia donde se ubica la moda y el
valor del intervalo anterior (fm – fm-1)
d2 = Diferencia entre el valor de la frecuencia donde se ubica la moda y el
valor del intervalo siguiente (fm – fm+1)
c = Longitud del intervalo de clase
Ejemplo: Moda Para Datos Agrupados
Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
N° Intervalos de clase fi
1 21.21 29.21 5
2 29.21 37.21 2
3 37.21 45.21 10
4 45.21 53.21 7
5 53.21 61.21 12
6 61.21 69.21 3
7 69.21 77.20 1
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64
encias
)Solución
Paso 1:
Hemos marcado (*) el intervalo que tiene la frecuencia más alta; allí se
encuentra el valor de la moda.
Paso 2:
Ubicamos el límite inferior del intervalo de clase donde se ubica la moda =
53.21 Así mismo hallamos las diferencias: d1 = 12 – 7 = 5
d2= 12 – 3 = 9
El valor de c = 8
Calculando la moda �� = 53.21 + (
5
8 = 56.08
5+9
Ejemplo 2
Calcular la moda en la siguiente tabla de frecu
N Intervalos Fi
1 4 6 2
2 6 8 4
3 8 10 4
4 10 12 5
5 12 14 5
Solución
Paso 1:
Los intervalos de clase que mas frecuencias tienen son [10- 12) y [12- 14) por
tanto decimos que es un caso donde aparecen dos modas, (bimodal).
Paso 2:
Como hay dos modas, entonces calculando la primera moda
LIm1 = 10; d1 = 5 – 4= 1; d2 = 5 – 5 = 0; c = 2
Mo1 =10 + (
1
) 2 = 12
1+0
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65
Ahora, la segunda moda: LIm2 = 12; d1 = 5 – 5 = 0; d2 = 5 – 0= 5 (Como el 5 está
en el último intervalo entonces la resta siempre es con 0); c = 2
Mo2=12 + (
0
) 2 = 12
0+5
NOTA. Recordar que fuera de la tabla de frecuencias no hay valores por eso
se considera como cero.
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66
Medidas
de
Dispersión
TEMA 3
Competencia:
Calcular y graficar la estructura de las
Medidas de Dispersión.
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67
��=1
��=1
Las Medidas son:
Tema 03: Medidas de Dispersión
1. Rango
2. Desviación Media
3. Varianza
4. Desviación Típica
5. Cuasi varianza
6. Cuasi Desviación típica
7. Coeficiente de Variación
Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero
también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de
estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de
dispersión.
Rango:
El rango o amplitud de un conjunto de datos es la diferencia entre la observación
de mayor valor y la observación de menor valor.
R = Xmax – Xmin
Desviación media o desviación promedio:
Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de todos los
valores en relación con algún punto central, tal como la media o la mediana.
a) Para datos no agrupados: �� =
∑
� | �𝑖 − 𝑥 |
b) Para datos agrupados: �� =
�
∑� |�𝑖 − 𝑥 |𝑓𝑖
�
Varianza:
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribución estadística. Este estadístico tiene el inconveniente de
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion5
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion6
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion7
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion8
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion9
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion10
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68
ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la unidad de la variable, por
ejemplo, si la variable viene dada en cm. la varianza vendrá en cm2.
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69
Ecuaciones de la varianza
𝑁 2
1) Varianza poblacional: a) Datos no agrupados 𝜎 2 =
∑𝑖 = 1( � 𝑖 − 𝜇 )
𝑁
𝑘 2
2) Varianza muestral:
b) Datos agrupados 𝜎 2 =
∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 (� 𝑖 − 𝜇 )
𝑁
� 2
[ ∑ �𝑖 ]
� 2 �
2 − ��=1
a) Datos no agrupados �2 =
∑𝑖 = 1( � 𝑖 − 𝑥 ) =
∑𝑖 =1 �𝑖 �
�−1 �−1
� 2
𝑘 2 � 2 −
[∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 �𝑖 ]
b) Datos agrupados �2 =
∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 (� 𝑖 − 𝑥 ) =
∑𝑖 =1 𝑓 𝑖 �𝑖 �
�−1 �−1
A la varianza muestral con en el denominador n-1 se le llama
cuasivarianza
Desviación estándar o típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota por S. Este estadístico se mide en la
misma unidad que la variable por lo que se puede interpretar mejor.
A la raíz cuadrada de la Cuasi varianza se le llama Cuasi desviación típica.
Coeficiente de Variación:
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada
ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que
presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.
Todas estas medidas de dispersión vienen influidas por la unidad en la que se mide
la variable, esto implica que si cambiamos de unidad de medida, los valores de estos
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70
estadísticos se vean a su vez modificados. Además, no permite comparar por
ejemplo, en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan más dispersión,
pues no es posible comparar unidades de distinto tipo.
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69
∑
−
Ejemplo 1.
Sean los datos siguientes: 32, 54, 21, 33, 45, 49, 36, 42, 57, 28, 52, 61
a) Rango: 61 – 21 = 40
b) Para calcular Varianza muestral, primero se obtiene la suma de las
observaciones y la suma de los cuadrados de las observaciones.
12
��=1 �𝑖 = 32 + 54 + ⋯ + 52 + 61 = 510; 𝑥 =
∑ ���⁄� =
510
12
= 42.5
� 2 2 2 2 2∑��=1 �𝑖 = 32 + 54 + ⋯ + 52 + 61 = 23414
�2 =
23414
(510)2
12 = 158.09 11
c) Desviación típica s = √158.09 = 12.573
d) Coeficiente de variación �𝑉 =
𝑠
��100 =
12 . 57 3
𝑥100 = 29.58 %
Ejemplo 2
𝑥 42.5
Sean los datos presentados en la siguiente tabla
x i f i x i · f i x i 2 · f i |�𝒊 − �̅|�𝒊
[ 1 0 , 2 0 ) 15 1 15 225 2 8 . 3 3
[ 2 0 , 3 0 ) 25 8 200 5000 1 4 6 . 6 4
[ 3 0 , 4 0 ) 35 10 350 1 2 2 5 0 8 3 . 3
[ 4 0 , 5 0 ) 45 9 405 1 8 2 2 5 1 5 . 0 3
[ 5 0 , 6 0 55 8 440 2 4 2 0 0 9 3 . 3 6
[ 6 0 , 7 0 ) 65 4 260 1 6 9 0 0 8 6 . 6 8
[ 7 0 , 8 0 ) 75 2 150 1 1 2 5 0 6 3 . 3 4
S u m a 42 1 8 2 0 8 8 0 5 0 5 1 6 . 6 8
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70
Solución
En este caso se trata de datos agrupados, y para hacer los cálculos usaremos las
ecuaciones de datos agrupados.
a) Media aritmética: 𝑥 = 1820 = 43.33
42
88050−
(1820)2
b) Varianza: �2 =
42 = 223.98
41
c) Desviación estándar: s = √223.98 = 14.96
d) Coeficiente de variación: CV = 14 . 96 𝑥100 = 34.53 %
43.33
e) Desviación Media: Dm = 516 .68 = 12.30
42
Ejemplo 3.
El tiempo que utilizan 6 niños de igual edad para desarrollar una misma tarea fueel
siguiente: 12,13, 15, 11, 17, 16. Calcular la Desviación media.
Proceso:
- Calculando la media aritmética:
x = 12 + 13 + 15 + 11+ 17 + 16 = 84 = 14 minutos
6 6
- Calculando la desviación media
DM = |12–14 | + |13–14 | + |15–14 | + |11-14| + |17 -14| + |16-14|
6
DM = 2 + 1 + 1 + 3 + 3 + 2 = 12 = 2 minutos.
6 6
Interpretación: El tiempo utilizado por los niños para desarrollar la tarea, se
dispersa en promedio 2 minutos con respecto al valor central.
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Ejemplo 4.
Los datos corresponden a las edades de 5 niños de la Comunidad “X” de nuestro ejemplo
inicial: 4, 5, 7, 8, 6. Vamos a calcular las medidas de dispersión para datos no agrupados.
a) Desviación Media ( DM)
Proceso
1. Se obtiene la media aritmética para datos simples o no agrupados
x = Σ Xi = 4 + 5 + 7 + 8 + 6 = 30 = 6 años
n 5 5
2. Construyendo la siguiente tabla:
Edad ( X) X – x | X- x |
4 4 – 6 = -2 2
5
5 – 6 =
-1
1
7
7 – 6 =
1
1
8
8 – 6 =
2
2
6
6 – 6 =
0
0
Σ = 6
3. Calculando la Desviación Media : DM = 6 = 1.2 años
5
Interpretación. La edad de los niños con respecto a su media aritmética tiene
una dispersión de 1.2 años.
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72
b) Cuasi varianza.
Proceso:
1. Se calcula la media aritmética que en este caso es igual a 6 años.
2. Σ X2 = 42 + 52 + 72 + 82 + 62 = 16 + 25 + 49 + 64 + 36 = 190
3. La cuasivarianza será:
S2 = Σ Xi2 - n ( x )2 = 190 – 5(6)2 = 2.5
n -1 4
No tiene interpretación práctica, sólo se calcula para poder determinar la cuasi
desviación estándar.
c) Cuasi desviación Estándar (S):
S = √ S2 = √ 2.5 = 1.58 = 2 años
Interpretación. Las edades de los niños de la Comunidad “X” se dispersan respecto al
valor central en aproximadamente 2 años.
d) Coeficiente de variación ( CV)
CV= s x 100 = 1.58 x 100 = 26.33% = 26%
x 6
Interpretación: Como cv% es menor que el 30% entonces la media es
una medida representativa del conjunto de datos.
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73
Medidas
De
Posición
TEMA 4
Competencia:
Definir, analizar y graficar las medidas de
posición.
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Tema 04: Medidas de Posición
A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas
en estadística, como lo son:
Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales:
primero, segundo y tecer cuartil.
Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno
decil).
Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales:
(primero al noventa y nueve percentil).
Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el
75% restante.
Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.
Donde:
: Posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada
que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia
acumulada.
Li, faa (frec. acumulda anterior), fi, Ic: idéntico a los conceptos vistos para
Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
a. Primer cuartil (Q1):
b. Segundo cuartil (Q2): Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana
(Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una
Serie.
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8758393244520679&pb=c7e33a4c408360b1&fi=cca6ee3b70186ca9&kw=series
http://www.monografias.com/trabajos901/debate-multicultural-etnia-clase-nacion/debate-multicultural-etnia-clase-nacion.shtml
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75
c. Tercer cuartil (Q3): Aquel valor, término o dato que supera al 75% y es
superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.
Donde: Posición de Q3, todo idéntico al cálculo de la Mediana.
Deciles (D1, D2… D9)
Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es
superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes,
supera al 10% y es superado por el 90% restante).
El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.
Como se observa, son fórmulas parecidas a la del cálculo de la Mediana,
cambiando solamente las respectivas posiciones de las medidas.
Percentiles (P1… P50… P99)
Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es
superado por el noventa y nueve por ciento restantes.
Fórmulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en
Clase.
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76
El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es
superado a su vez por el 1% restante. Para determinar estas medidas
se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil será el valor
por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo
el tercer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el
valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil
ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el
cuarto decil el 40° percentil, etc.
Datos No Agrupados:
Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios
mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:
Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3… Xn, se localiza el primer cuartil como el
valor cuando n es par, y cuando n es impar.
Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).
Para los deciles será o siendo A el número del decil y para los
percentiles. o
http://www.monografias.com/trabajos6/etic/etic.shtml
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77
Ejemplo:
Calcular Q1, Q3, d3, y p45
Li-1 Li fi Fi
45
55
6
6
55
65
10
16
65
75
19
35
75
85
11
46
85
95
4
50
Cálculo de Q1: Buscamos en la columna de las frecuencias Acumuladas el valor que
supere al 25% de N=50, corresponde al 2º intervalo.(50/4=12.5)
Análogamente calculemos Q3,
Buscamos ahora en la misma
columna el correspondiente al
75 % de N que en este caso es
el 4º intervalo (3 x 50/4 =37.5)
Veamos ahora el decil 3º.
(Corresponde al 30 % de N, es
decir 3 x 50 / 10 = 15) sería el
2º intervalo.
Por último veamos el percentil 45
(45 x 50/100 = 22.5) Corresponde
al intervalo 3º.
78
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Lecturas Recomendadas
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS
http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/mtcent/mtcent.htm
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS
http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-tendencia-central/medidas-tendencia-central2.shtml
MEDIDAS DE DISPERSIÓN. VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR. COEFICIENTES
DE VARIACIÓN.
http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm
MEDIDAS DE POSICIÓN. CUARTILES, PERCENTILES, DECILES
http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html
Actividades y Ejercicios
Ingresa al link Medidas lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo
por el mismo medio.
Los ingresos en dólares de 30 hombres elegidos al azar (entre un total de 1000)
se muestran a continuación:
a. Calcule la media aritmética para todos los datos sin agruparlos.
b. Calcule la media aritmética empleando la tabla de frecuencias.
c. ¿Cuál cree usted son las razones de las diferencias entre ambas medias?
d. Explique mediante este ejemplo, la diferencia entre media, mediana y moda
e. ¿Qué representa para usted la moda y mediana (en termino de pesos)?
f. ¿Se puede considera que la población de 1000 personas tendrán la misma media que la
muestra de 30 personas?
http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/mtcent/mtcent.htm
http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-tendencia-central/medidas-tendencia-central2.shtml
http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-tendencia-central/medidas-tendencia-central2.shtml
http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm
http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html
79
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Li-1 Li Fi Fi
45 55 6 6
55 65 10 16
65 75 19 35
75 85 11 46
85 95 4 50
Autoevaluaciones
1. Supongamos que los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la
siguiente forma:
Li-1 Li Fi Fi
45
55
6
6
55
65
10
16
65
75
19
35
75
85
11
46
85
95
4
50
Encontrar la mediana.
a) 65
b) 66
c) 68
d) 69.74
e) 68.2
2. Encontrar la moda en (aproximar a 3 decimales):
a) 70
b) 70.29
c) 72
d) 73
e) 71
80
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Li-1 Li fi Fi
45 55 6 6
55 65 10 16
65 75 19 35
75 85 11 46
85 95 4 50
3. Calcular Q1 en :
Li-1 Li fi Fi
45 55 6 6
55 65 10 16
65 75 19 35
75 85 11 46
85 95 4 50
a) 61.5
b) 62.5
c) 63
d) 65
e) 62
4. Calcular la cuasi varianza en la siguiente tabla
a) 121
b) 120.78
c) 124.12
d) 123.76
e) 122.27
81
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5. Calcular P45 en :
Li-1 Li fi Fi
45 55 6 6
55 65 10 16
65 75 19 35
75 85 11 46
85 95 4 50
a) 68.5
b) 68.421
c) 63.2
d) 60.4
e) 61.2
6. La empresa Merrill Lynch Global Fund se especializa en obligaciones a largo
plazo de países extranjeros. Deseamos saber la tasa de interés de estas
obligaciones. Una muestra aleatoria de seis bonos reveló lo siguiente:
ARTÍCULO TASA DE INTERÉS
Bonos del Gobierno de Australia
9.50%
Bonos del Gobierno de Bélgica
7.25%
Bonos del Gobierno de Canadá 6.50%
Bonos del Gobierno de Francia 4.75%
Bonos del Gobierno de Italia 12%
Bonos del Gobierno de España 8.30%
¿Cuál es la media de las tasas de interés en esta muestra de obligaciones a
largo plazo?
a) 7.5%
b) 8.5%
c) 9%
d) 10%
e) 8.05%
82
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7. La constructora Carter paga a sus empleados 6,50; 7,50 o bien 8,50 dólares
por hora. Hay 26 empleados contratados por hora; 14 reciben la tarifa de
$6,50; 10 reciben la de $7,50 y 2 la de $8,50. ¿Cuál es la media de la tarifa por
hora que se paga a los 26 trabajadores?
a) 7.038%
b) 8.038%
c) 9.038%
d) 10.038%
e) 9.056%
8. Se inspeccionan 15 radios antes de enviarlos para su venta. El número de
defectos por radio es : 1 ; 0 ; 3 ; 4 ; 2 ; 1 ; 0 ; 3 ; 1 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 Encontrar
la moda:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
9. Calcule la varianza de esta muestra: 2, 4, 6, 8, 10.
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 28
10. Determine la desviación estándar de esta muestra: 20, 5, 10, 15, 25.
a) 7.5
b) 7.91
c) 7.8
d) 7.15
e) 7.80
Resumen
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UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIII
Las medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia
que valor (o valores) se agrupan los datos. Entre ellas tenemos:
Media aritmética.- Es el cálculo del promedio de un conjunto de datos.
Moda.- indica el valor o la clase que posee mayor frecuencia.
Mediana.- Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos.
Cuando los datos se agrupan en tablas, la media aritmética es igual a la división
de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de
datos. Media aritmética para datos agrupados
La mediana para datos agrupados en un cuadro de frecuencia se obtiene utilizando
las frecuencias absolutas o las frecuencias relativas.
Las medidas de dispersión son: Rango, Desviación, Varianza, Desviación Típica,
Cuasi varianza, Cuasi Desviación típica, Coeficiente de Variación.
Las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:
Cuartil.- son 3 valores que ordenadan de forma creciente o decreciente, en cuatro
tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
𝒊 � �
𝑳𝒊 + �
− � 𝒊 − �
� �� �𝒊 − �𝒊 − �
Decil.- son 3 valores que ordenadan de forma creciente o decreciente, en cuatro
tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
𝒊 � �
𝑳𝒊 + ��
− � 𝒊 − �
� �� �𝒊 − �𝒊 − � Percentil.- son 3 valores que ordenadan de forma creciente o decreciente, en cuatro
tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
𝒊 � �
𝑳𝒊 + ���
− � 𝒊 − �
� �� �𝒊 − �𝒊 − �
83
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion6
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion7
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion8
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion8
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt152.html#seccion10
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
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Introducción
84
Introducción
85
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a. Presentación y contextualización
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el
estudiante comprenda El Análisis De Regresión Y Correlación Lineal, así como
formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados, rectas
y diferentes tipos de coeficientes que se pueden dar a lo largo de la recta. Esto no
solo hará más hábil al estudiante sino que aumentara su raciocinio con problemas
numéricos.
b. Competencia
Determina, analiza y estructura la recta de regresión y correlación lineal.
c. Capacidades
1. Comprende, relaciona y estructura debidamente la recta de regresión y su
ecuación.
2. Define, ejemplifica y aplica el coeficiente de correlación.
3. Aplica, explica y analiza el coeficiente de determinación.4. Describe, analiza y grafica el diagrama de dispersión.
d. Actitudes
Cumple con los horarios establecidos, respeta y cumple las normas de
convivencia en el ámbito superior universitario.
Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta
sus trabajos en forma organizada.
Muestra constancia a través del cumplimiento de los trabajos asignados, valora
y disfruta con la perspectiva creativa de la Estadística.
e. Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:
La Unidad de Aprendizaje 03: Análisis De Regresión Y Correlación Lineal
comprende el desarrollo de los siguientes temas:
TEMA 01: La Recta De Regresión Lineal Simple Por El Método De Mínimos
Cuadrados.
TEMA 02: El Coeficiente De Correlación.
TEMA 03: El Coeficiente De Determinación.
TEMA 04: Diagrama De Dispersión.
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86
La Recta
de Regresión
Lineal Simple
TEMA 1
Por el Metodo
Mínimos Cuadrados
Competencia:
Comprender, relacionar y estructurar
debidamente la recta de regresión y su
ecuación.
87
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En el Modelo de Regresión es muy importante
identificar cuál es la variable dependiente y
cuál es la variable independiente.
Desarrollo de los Temas
Tema 01: La Recta de Regresión Lineal Simple por el
Método de Mínimos Cuadrados
La Regresión es una técnica estadística que se puede utilizar para solucionar
problemas comunes en los negocios.
Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible
identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o
más variables, donde una variable depende de la otra variable.
Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos
variables cualquiera en un modelo de Regresión Simple.
"Y es una función de X"
Y = f(X)
Como Y depende de X,
Y es la variable dependiente, y
X es la variable independiente.
En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una
variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión
Bivariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y
se representa así:
Y = f (X)
"Y está regresando por X"
http://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml
http://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml
http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT
http://www.monografias.com/trabajos15/plan-negocio/plan-negocio.shtml
http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES
http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml
http://www.monografias.com/trabajos27/regresion-simple/regresion-simple.shtml
88
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La variable dependiente es la
variable que se desea explicar,
predecir. También se le llama
REGRESANDO ó VARIABLE DE
RESPUESTA.
La variable Independiente X se
le denomina VARIABLE
EXPLICATIVA ó REGRESOR y
se le utiliza para EXPLICAR Y.
RECTA DE REGRESIÓN LINEAL
Y= a + b X
Ejemplo:
Un trabajo estadístico asignado a un grupo de estudio
consiste en obtener un modelo de regresión lineal a nivel
descriptivo para predecir las ventas semanales de un
producto específico en función de la publicidad del producto por
la radio. Para esto, han recopilado al azar los tiempos de
duración en minutos de la publicidad e 10 semanas y el
respectivo número de unidades vendidas del producto. Los datos se dan en la tabla
que sigue.
Semana
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Publicidad
X
20 30 30 40 50 60 60 60 70 80
Ventas Y
50 73 69 87 108 128 135 132 148 140
a) Obtenga la recta de regresión lineal simple por el método de mínimos cuadrados.
Solución
n = 10
∑ � = ��� ∑ � = ����
∑ �� = �� ���
∑ �� = �� ��� ∑ �� = ��� ���
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�
�̅ =
∑ �
=
���
= �� �̅ =
∑ �
=
����
= ���
� �� � ��
Hallando La Varianza (���� ) :
��� � =
∑ �
− �̅� =
�� ���
− ���� = 340
� ��
Covarianza De X E Y:
Cov xy =
∑ ��
− �̅ . �̅ =
�� ���
− (��)(���) = 590
� ��
Hallando b:
b =
�� 𝒗 ��
𝑺��
Hallando a:
b =
���
= �, ����
���
a = �̅ − �
a = 107 – 1, 7353x50 = 20,235
La recta de regresión de la muestra es:
Y= a + b X
Y = 20,235 + 1,7353X
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90
El
Coeficiente
de
Correlación
TEMA 2
Competencia:
Definir, ejemplificar y aplicar el coeficiente
de correlación.
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Tema 02: El Coeficiente de Correlación
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre
las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,
determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la
otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que
hay correlación entre ellas.
El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.
Propiedades
1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de
medición.
Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el
coeficiente de correlación no varía.
2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que
el de la covarianza.
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.
Si la covarianza es nula, no existe correlación.
3. El coeficiente es un número real entre menos −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la
correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se
aproxime r a −1.
5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1
la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se
aproxime r a 1.
91
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92
810
065
340
280
791
7563
414
703
i
6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la
correlación es débil.
7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o
decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.
Eje mplo
Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:
Estatura
(X)
186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
Calcular el coeficiente de correlación.
xi yi x 2 yi2 xi ·yi
186 85 34 596 7 225 15
189 85 35 721 7 225 16
190 86 36 100 7 396 16
192 90 36 864 8 100 17
193 87 37 249 7 569 16
193 91 37 249 8 281 1
198 93 39 2048 649 18
201 103 40 401 10 609 20
203 100 41 209 10 000 20 300
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93
Obtener e interpretar
el coeficiente de
correlación lineal
xi
yi
fi
xi · fi
2
yi · fi
2
xi · yi · fi
100
14
1
100
10 000
14
196
1 400
100
18
2
200
20 000
36
648
3 600
205 101 42 025 10 201 20 705
1 950 921
380
618
85 255 179 971
Correlación positiva muy fuerte.
Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:
Y/X 100 50 25
14 1 1 0
18 2 3 0
22 0 1 2
Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple.
xi · fi yi · fi
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94
50
14
1
50
2 500
14
196
700
50
18
3
150
7 500
54
972
2 700
50
22
1
50
2 500
22
484
1 100
25
22
2
50
1 250
44
968
1 100
10
600
43 750
184
3 464
10 600
Es una correlación negativa débil.
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95
El
Coeficiente
de
TEMA 3
Determinación
Competencia:
Aplicar, explicar y analizar el coeficiente de
determinación.
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96
s
s
Tema 03: El Coeficiente de Determinación
Una nube de puntos que se agrupa en torno a
una recta imaginaria nos justifica el estudio de la
regresión lineal entre las variables. Normalmente,
la variable explicativa no explica (valga la
redundancia) al 100% los resultados que se
observan en la variable explicada.
El único caso en el que una variable explica al 100% a la otra variable es aquel
donde los puntos de la nube formen una recta. En ese caso, cada valor de X nos da
el valor exacto de Y. Pero ese no es el caso general. Vamos a cuantificar la calidad
de la explicación de Y por X mediante el Coeficiente De Determinación. Los datos
de ambas variables tienen una varianza. No nos vamos a interesar por la varianza
de la X (independiente), pero sí por la de Y, por estar influenciada por la otra
variable.
La varianza de Y está generada, de una parte, por los
datos de X (es decir, por la varianza), y de otra parte
por causas desconocidas (a no ser que los datos
formen una línea recta).
El coeficiente de determinación va a ser el % de varianza de Y que se puede explicar
p
n
n
d
or X, y se le suele llamar CALIDAD DEL AJUSTE, porque valora lo cerca que está la
ube de puntos de la recta de regresión (o dicho de otro modo, lo ajustada que está la
ube de puntos a la recta de regresión). Como yi = y*i + ei, desarrollando la expresión
e la varianza de Y se puede llegar a que:
2
2 xy
y
s 2 x
var .ex pl .porX
s 2 e
var .no ex plic.
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97
s
s
Y por tanto, el % de varianza de Y explicada por X es:
2
xy
s 2 x 100
2
y
Que resulta ser
s 2 xy
100
s 2 s 2
, elevado al cuadrado y multiplicado por 100.
x y
Es por ello que al coeficiente de determinación se le llama R2,
es decir
s 2
R 2
xy
100
s 2 s 2 x y
Ejemplo:
98
s).
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El coeficiente de determinación lineal para obtener una medida descriptiva del grado
de asociación lineal que existe entre las variables. La expresión del coeficiente de
determinación es:
Donde Sxy representa la covarianza de las variables X e Y. Cuya expresión
simplificada es:
Donde Sxy representa la covarianza de las variables X e Y. Cuya expresión
simplificada es:
Para clarificar la forma de cálculo construimos la siguiente tabla:
(variable X= Gastos de publicidad y variable Y= Volumen de vent
X= 49.333; Y=21.5; sx=20.870; sxy=158
Substituyendo obtenemos que �� vale 0.956
99
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3
Series De Tiempo
Se denomina series de tiempo a un conjunto de observaciones obtenidas durante
un periodo de tiempo. El objeto de analizar tales datos es determinar si se presentan
ciertos Patrones o pautas no aleatorias que se puedan utilizar para predecir o hacer
proyecciones futuras.
Por ejemplo los pronósticos de venta, los
pronósticos de matrícula, pronósticos de producción,
etc.
Elección Del Origen O Codificación Del Tiempo
Debido a que el tiempo (años, meses, semanas y días) es una variable cualitativa, es
necesario codificarlo para poder realizar el análisis ya se de regresión o de correlación.
Para ello se tiene:
a) Cuando se tiene series cronológicas con datos impares, de períodos, se
elige el origen en la mitad del período medio.
Ejemplo. Se tiene la siguiente de 7 años.
Años 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
X(valor codificado) -3 -2 -1 0 1 2
b) Cuando se tiene series cronológicas con datos par, de
períodos, se elige el origen entre los dos períodos medios,
ya no aparece el cero y los códigos son alternados.
Ejemplo
Años 2005 2006 2007 2008 2009 2010
X(valor codificado) -5 -3 -1 1 3 5
10
0
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−
−1.7
Ejemplo 1. Los siguientes datos representan los registros de la matrícula en
INTUR PERU (en cientos de personas). Hallar la ecuación lineal y
luego hacer un pronóstico para el año 2013.
Años 2006 2007 2008 2009 2010
Matrícula 2.5 2.8 2.4 1.9 2.1
Solución. Se construye la tabla asignando los códigos del tiempo. En este caso n
es impar
Años X Y X2 XY
2006
2007
2008
2009
2010
-2
-1
0
1
2
2.5
2.8
2.4
1.9
2.1
4
1
0
1
4
-5
-2.8
0
1.9
4.2
Suma 0 13.7 10 -1.7
Hallando la ecuación de regresión ( Y= a + bX), se tiene: � = �̅ ; � =
∑ ��−
(∑ �) (∑ �
)
�
∑ �2−
(∑ � )2
�
Luego a = 2.74 y � =
(0)(13.7)
5 =
− 1 .7
= −0.17
10−
(0) 2 10
5
La ecuación será: Y = 2.74 – 0.17X
Para hallar el número de matriculados en el año 2013, se asigna el código de
tiempo
que sigue, así:
2011 = 3; 2012 = 4; 2013 = 5
Este valor reemplazamos en la ecuación obtenida: Y = 2.74 – 0.17(5) = 1.89.
Esto quiere decir que en el año 2013 se matricularan aproximadamente 189
alumnos.
10
1
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Ejemplo 2. Una constructora en 4 años ha terminado de reconstruir la siguiente
cantidad de casas en Pisco. Predecir para el año 2012.
Años
2007 2008 2009 2010
Casas reconstruidas
12 11 17 20
Solución. Se construye la tabla asignando los códigos del tiempo. En este caso n es
par
Años
X
Y
X2
XY
2007
2008
2009
2010
-3
-1
1
3
12
11
17
20
91
1
9
-36
-11
17
60
Suma 0 60 20 30
Luego se sigue el mismo procedimiento del ejemplo 1, obteniéndose la siguiente
ecuación de regresión: Y = 15 + 1.5X
Para realizar el pronóstico de número de casas que serán reconstruidas en el año
2013, se asigna el código de tiempo que sigue así:
2010 = 3; 2011 = 5; 2012 = 7
Este valor reemplazamos en la ecuación: Y = 15 + (1.5)(7) = 25.5 = 26
Es decir en el año 2012 se reconstruirán aproximadamente 26 casas.
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102
Diagrama
de
Dispersión
TEMA 4
Competencia:
Describir, analizar y graficar el diagrama
de dispersión.
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103
X Y
10 8.04
8 6.95
13 7.58
9 8.81
11 8.33
14 9.963
6 7.24
4 4.26
12 10.84
7 4.82
5 5.68
¿Cómo están relacionada X e Y?
Para construir el diagrama de dispersión, en un sistema de referencia rectangular,
dibujamos los puntos correspondientes a las puntuaciones de los sujetos en las
variables X e Y. En el eje de abscisas hemos representado a la variable X y en el
eje de ordenadas a la variable Y.
Tema 04: Diagrama de Dispersión
Un diagrama de dispersión es un tipo de diagrama matemático que utiliza
las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un
conjunto de datos.
Los datos se muestran como un conjunto de puntos,
cada uno con el valor de una variable que determina la
posición en el eje horizontal y el valor de la otra
variable determinado por la posición en el eje
vertical. Un diagrama de dispersión se llama
también gráfico de dispersión.
Ejemplo 1
La tabla siguiente recoge las puntuaciones de 11 sujetos (N=11) en dos variables
X e Y.
Construir el diagrama de dispersión de Y en función de X. En base al diagrama
construido.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
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104
1
0,84
8,81
8,33
9,96
7,24
6,95
8,04
7,58
4,26
5,68
4,82
El gráfico resultante es:
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
12
10
Y 8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X
Ejemplo 2.-
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Publicidad
X
20 30 30 40 50 60 60 60 70 80
Ventas Y
50 73 69 87 108 128 135 132 148 140
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105
Grafique los datos y describa su tendencia
Hay una relación lineal positiva entre el número de artículos vendidos y el
tiempo de publicidad por la radio semanalmente.
106
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Lecturas Recomendadas
LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS
CUADRADOS
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-13-est.htm
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
http://www.pucp.edu.pe/departamento/economia/images/documentos/DDD218.pdf
EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2007315/lecciones_html/capitulo_6/lec
cion1/Rcuadrado.html
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
http://www.fundibeq.org/opencms/export/sites/default/PWF/downloads/gallery/metho
dology/tools/diagrama_de_dispersion.pdf
Actividades y Ejercicios
Ingresa al link regresión, lee atentamente las indicaciones,
desarróllalo y envíalo por el mismo medio.
1. Proyectar la Oferta de un cierto producto tomando en
cuenta los datos obtenidos en el estudio de mercado,
hallar la ecuación de regresión.
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-13-est.htm
http://www.pucp.edu.pe/departamento/economia/images/documentos/DDD218.pdf
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2007315/lecciones_html/capitulo_6/lec
http://www.fundibeq.org/opencms/export/sites/default/PWF/downloads/gallery/methodology/tools/diagrama_de_dispersion.pdf
http://www.fundibeq.org/opencms/export/sites/default/PWF/downloads/gallery/methodology/tools/diagrama_de_dispersion.pdf
107
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Ingresa al link correlación, lee atentamente las indicaciones,
desarróllalo y envíalo por el mismo medio.
2. La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa
de inflación en 1987 fue:
Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de
inflación.
108
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Autoevaluación
1. En una zona de una ciudad se ha tomado una muestra para estudiar el número
de habitaciones dispuestas en un piso y el de personas que viven en él,
obteniéndose estos datos:
Calcula e interpreta el coeficiente de determinación.
a) 0.2025
b) 0.5929
c) 0.7723
d) 0.9801
e)
2. De una
0.1521
determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al
volumen de ventas (en millones de pesetas) y al gasto en publicidad (en miles
de pesetas) de los últimos 6 años.
Volumen de ventas
(mill. soles)
Gastos Publicidad (miles
soles)
10 16
15 32
20 48
22 56
30 64
32 80
Obtener las rectas de regresión mínimo cuadrático.
¿Qué volumen de ventas de la empresa se podría esperar en un año que se
gaste de publicidad 60000 soles? ¿Y para un gasto en publicidad de 200000
soles?
109
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
a) Y = 3.604+0.363x ; 25.369; 10.859
b) Y = 3.704+0.363x; 25.500; 10.678
c) Y = 3.604+0.383x; 24.369; 11.246
d) Y = 3.904+0.363x; 24.768; 11.238
e) Y = 4.604+0.368x; 25.125; 10.756
3. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32,
42 y 44 kilos. Hallar la covarianza.
a) 3 6 . 8
b) 3 1 . 6
c) 3 3 . 5
d) 3 0 . 8
e) 3 0 . 6
4. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de
horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de
las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:
N º d e h o r a s d o r m i d a s ( X )
6
7
8
9
10
N º d e h o r a s d e t e l e v i s i ó n ( Y )
4
3
3
2
1
F r e c u e n c i a s a b s o l u t a s ( f i )
3
16
20
10
1
Calcular la covarianza
a) -0.436
b)
-0.453
c)
-0.235
d)
-0.356
e)
-0.358
110
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5. Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:
E s t a t u r a ( X )
186
189
190
192
193
193
198
201
203
205
P e s o s ( Y )
85
85
86
90
87
91
93
103
100
101
Calcular el coeficiente de correlación.
a) 0.92
b) 0.93
c) 0.94
d) 0.95
e) 0.98
6. L o s v a l o r e s d e d o s v a r i a b l e s X e Y s e d i s t r i b u y e n s e g ú n l a
t a b l a si g u i e n t e :
Y / X
100
50
25
14
1
1
0
18
2
3
0
22
0
1
2
Obtener el coeficiente de correlación lineal.
a) -0.52
b) -0.54
c) -0.56
d) -0.57
e) -0.59
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111
7. De una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al
volumen de ventas ( en millones de pesetas) y al gasto en publicidad ( en
miles de pesetas) de los últimos 6 años:
¿Cuál de los siguientes gráficos representa es su diagrama de dispersión?
a) b)
100
80
60
40
20
0
0 10 20 30 40
100
80
60
40
20
0
0 10 20 30 40
c) 120
100
80
60
40
20
0
0 10 20 30 40
d) 100
80
60
40
20
0
0 10 20 30 40
100
80
e ) 60
40
20
0
0 10 20 30 40
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112
8. Se dan los datos de demanda total y las ventas efectuadas por la empresa
en los últimos 11 años:
¿Cuál de los siguientes
gráficos representa es su
diagrama de dispersión?
a)
10
8
6
4
2
0
0 200 400 600
b)
20
15
10
5
0
0 200 400 600
c)
20
15
d)
40
30
10 20
5 10
0
0 200 400 600
0
0 200 400 600
15
e)
10
5
0
0 200 400 600
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113
9. Se tienen los siguientes datos. Halla el coeficiente de determinación.
Se observa un comportamiento exponencial
Se usara la regresión con la ecuación Y = Anti log (a + b(X) )
a) �2 = 0.838 b)
�2 = 0.576 c) �2
= 0.972 d) �2 =
0.362 e) �2 =
0.442
10. Hallar el coeficiente de determinación:
Altura
17
5
18
0
16
2
15
7
18
0
17
3
17
1
16
8
16
5
16
5
Peso 80 82 57 63 78 65 66 67 62 58
a) R
2
(0,8282)
2
100 68'59%
b) R
2
(0,8456)
2
100 71,51%
c) R
2
(0,5252)
2
100 38,59%
d) R
2
(0,9292)
2
100 78,59%
e) R
2
(0,6969)
2
100 54,59%
114
Resumen
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIIIII::
Regresión Lineal Simple:
Es el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable
X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada
dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:
Y = a + b X
Donde:
“a” es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y.
“b” es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta).
Determina la relación o dependencia que existe entre las dos variables que
intervienen en una distribución bidimensional.
Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de
la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que
hay correlación entre ellas.
Una importante medida estadística igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Se
utiliza a menudo como medida de la eficacia de la cobertura en cuyo caso se mide el
porcentaje de la variación en el precio de una posición al contado explicada por la
variación en el precio del instrumento de cobertura. Se puede obtener como R2 a partir
de una regresión lineal sencilla.
La representación gráfica más útil para describir el comportamiento conjunto de dos
variables es el diagrama de dispersión o nube de puntos, donde cada caso aparece
representado como un punto en el plano definido por las variables X1 y X2 o X y Y.
http://www.economia48.com/spa/d/estadistica/estadistica.htm
http://www.economia48.com/spa/d/coeficiente-de-correlacion/coeficiente-de-correlacion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/eficacia/eficacia.htm
http://www.economia48.com/spa/d/cobertura/cobertura.htm
http://www.economia48.com/spa/d/porcentaje/porcentaje.htm
http://www.economia48.com/spa/d/porcentaje/porcentaje.htm
http://www.economia48.com/spa/d/variacion/variacion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/precio/precio.htm
http://www.economia48.com/spa/d/posicion/posicion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/posicion/posicion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/variacion/variacion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/variacion/variacion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/precio/precio.htm
http://www.economia48.com/spa/d/cobertura/cobertura.htm
http://www.economia48.com/spa/d/regresion/regresion.htm
http://www.economia48.com/spa/d/regresion/regresion.htm
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
115
Introducción
116
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
a) Presentación y contextualización
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el
estudiante comprenda la teoría de las probabilidades, así como formular
apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados. Estas
propiedades y formulas nos serán útiles no solo en los problemas o ejercicios, ya
que si le damos el enfoque adecuado también puede servir para ayudar a resolver
nuestros problemas.
b) Competencia
Comprende el significado de los teoremas y axiomas de probabilidad para
obtener la solución adecuada.
c) Capacidades
1. Define y aplica el concepto de experimento aleatorio, espacio muestral y
suceso.
2. Define y analiza la probabilidad con sus tipos de eventos.
3. Explica la probabilidad condicional en diferentes hechos de la vida cotidiana.
4. Comprende el significado del teorema de probabilidad total, el teorema de
Bayes y explica los diferentes métodos de conteo para obtener una solución
adecuada.
d) Actitudes
Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades asignadas
a su vez promueve actividades y toma de decisiones pertinentes.
Cumple con los horarios establecidos, respeta y cumple las normas de
convivencia en el ámbito superior universitario.
Planifica y cumple oportunamente sus tareas o actividades diarias y presenta
sus trabajos en forma organizada.
e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad.
La Unidad de Aprendizaje 4: Probabilidades, comprende el desarrollo de los
siguientes temas:
Tema 01: Experimento aleatorio, espacio muestral y suceso.
Tema 02: Definición De Probabilidad, Valor, Eventos Mutuamente Excluyentes
Y Eventos No Excluyentes
Tema 03: Probabilidad Condicional.
Tema 04: Probabilidad Total, Teorema de Bayes y Técnicas de Conteo.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP117
Experimento
Aleatorio
TEMA 1
Espacio Muestral
Y Suceso
Competencia:
Definir y aplicar el concepto de experimento
aleatorio, espacio muestral y suceso.
118
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Desarrollo de los Temas
Tema 01: Experimento Aleatorio, Espacio Muestral y
Suceso
La teoría de la probabilidad proporciona la base para la
inferencia estadística. El primer matemático que calculó
-49c+orrectamente una probabilidad teórica fue el italiano
Girolamo Cardano, quien vivió desde 1501 hasta 1576.
Los objetivos de esta unidad son ayudar al estudiante a
adquirir cierta habilidad matemática en el área de la
probabilidad y ayudarle a comprender los conceptos más
importantes
Experimento Aleatorio
Es un proceso de observación, donde se verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las
mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado
que se va a obtener.
Ejemplos
Tirar al aire una moneda
Resultado: Existe duda en el resultado exacto, porque es
posible que aparezca cara o sello
Predecir la duración de un discurso.
Resultado: Antes de que se escuche el discurso no se sabe cuánto tiempo durará.
Evaluación de los docentes
Resultado: Antes de la evaluación no se conoce con exactitud si el docente
aprobará o desaprobará la evaluación.
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
119
1. Sea el experimento de lanzar dos monedas. Hallar su espacio muestral.
Solución
Sea M1 la primera moneda, entonces M1 = {c, s}
Sea M2 la segunda moneda, entonces M2 = {c, s}
Para construir el espacio muestral, se tiene varias formas:
a) Por el producto de M1 x M2, obteniéndose el siguiente resultado:
Evaluar el estado nutricional de un niño menor de 5 años de una Comunidad,
elegido al azar. Resultado: Antes de la evaluación no se conoce cuál es el estado
nutricional del niño.
Los trabajos de investigación son experimentos aleatorios, puesto que antes
de ejecutarlos no se sabe si la hipótesis que se ha planteado seran
aceptadas o rechazadas
Espacio Muestral (e)
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se le conoce
como espacio muestral y suele representarse con la letra E. Los elementos del
espacio muestral se denominan sucesos elementales
e1, e2 ε E => e1, e2 son sucesos elementales
Si el espacio muestral tiene un número finito de
elementos, Podemos enumerar los elementos en la
notación usual de conjuntos; por ejemplo, el espacio
muestral de los posibles resultados de tirar una
moneda se puede escribir como:
E = { c, s } donde c y s representan cara y sello
Los espacios muestrales con un número de elementos grande, o infinito, se
describen mejor con un enunciado o una regla; por ejemplo, si los posibles
resultados de un experimento son el conjunto de automóviles equipados con
radios de banda ancha, el espacio muestral se puede escribir:
E = {x/x es un automóvil con radio de BA}
Ejemplo
E = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
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120
b) Un cuadro de doble entrada
M1 M2
c
s
c cc cs
s sc Ss
c) El diagrama del árbol
M1 M2
c
c
s
.
c
s s E= { (c,c), (c, s), (s, c), (s, s)}
Suceso o Evento Aleatorio
Cuando hablamos de una parte del conjunto de resultados posibles, nos estamos
refiriendo a un evento o suceso. Cualquier subconjunto de E será denominado
suceso o evento aleatorio, y se denotará normalmente con las letras A, B,...
A, B E => A, B son sucesos o eventos aleatorios
Los sucesos aleatorios son más generales que los
elementales, ya que son conjuntos que pueden
contener no a uno sólo, sino a una infinidad de
sucesos elementales, así como también pueden no
contener ninguno.
Sucesos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de
probabilidades son los siguientes es:
Suceso Seguro. Es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio,
es decir, el mismo E.
A E => suceso seguro
121
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Suc
Suceso Imposible. Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento
aleatorio. Como debe ser un subconjunto de S, la única posibilidad es que el suceso
imposible sea el conjunto vacío.
Ø E => Ø es un suceso imposible
Suceso Contrario A Un Suceso A. También se denomina complementario de A y es
el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.
Se acostumbra a denotar con el símbolo o A’
A E A’ = {e E : e E }
Suceso contrario a A
Ejemplos
1. Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:
Sucesos elementales → 1, 2, 3, 4, 5, 6
Espacio muestral → E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ø suceso imposible
E suceso seguro
esos aleatorio → {1} suceso unitario
{1, 2, 3} suceso compuesto
{2, 4, 6} = {1, 3, 5} ´ suceso contrario
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122
Definición de
Probabilidad
Valor, Eventos
Mutuamente
Excluyentes
TEMA 2
y Eventos No Excluyentes
Competencia:
Definir y analizar la probabilidad con sus
tipos de eventos.
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Tema 02: Definición de Probabilidad Valor,
Eventos Mutuamente Excluyentes y Eventos No
Excluyentes
Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas
que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse,
fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la
teoría. El objetivo de esta práctica es realizar varios
experimentos de probabilidad, anotar los resultados y
posteriormente compararlos con los resultados teóricos.
Definición de Laplace.
En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean
equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el
número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el
número de resultados posibles del experimento.
Si : E x1 , x2 , x3 , ...xk P( x1 ) P( x2 )... P( xK ),
P( A)
Número de casos favorables del evento A
Número de casos posibles
Ejemplo:
Consideremos el experimento "lanzar un dado y anotar el resultado".
El espacio muestral es E = {1, X, 2}.
Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:
P(Ø) = 0
P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3
P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3
P({1,X,2}) = P(E) = 1
123
http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml
http://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtml
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
124
El Valor De La Probabilidad
El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento
es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que
indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la
probabilidad de ocurrencia de un evento A y P (A´) la probabilidad de no
ocurrencia de A, tenemos que:
0 ≤ 𝑷(�) ≤ �
Propiedades
1. P( ) = 1 - P( A )2. P( Ø ) = 0
3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( )
4. Si A B P( A ) P( B )
5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:
P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( )
7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es
A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:
P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )
Ejemplo
Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6.
Se pide:
a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara
superior sea múltiplo de tres.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad
mayor de dos?
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125
uyentes
Solución:
El espacio muestral del experimento es:
E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1);...; (6,6)} y está formado por 36
sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles
del experimento.
Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos
piden:
a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables
al suceso A son:
A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
Por tanto, P(A) = 12/36 = 1/3
b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una
cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:
B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.
Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3
Eventos Mutuamente Excluyentes Y Eventos No Excl
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es
decir, la ocurrencia de un evento impide
automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga
cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir
que estos eventos son excluyentes. Dos o más eventos
son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible
que ocurran ambos.
http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml
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126
Ejemplo:
Si consideramos en un juego de dominó sacar al menos un blanco y un seis, estos
eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Regla De La Adición
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de
ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P (B) = P(A) + P(B) si A y B son
mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B) si A y B son no
excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
http://www.monografias.com/trabajos15/metodos-creativos/metodos-creativos.shtml
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127
Probabilidad
Condicional
TEMA 3
Competencia:
Explicar la probabilidad condicional en
diferentes hechos de la vida cotidiana.
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128
Tema 03: Probabilidad Condicional
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de
un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o
eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población
donde se obtuvo.
Es decir; decimos que dos sucesos A y B son
independientes entre sí si la ocurrencia de uno de
ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:
P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )
Ejemplo:
Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado
del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o
sello, en el segundo lanzamiento.
Eventos Dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno
de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Decimos que dos
sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la
probabilidad del otro, es decir, si:
P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )
http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml
http://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtml
http://www.monografias.com/trabajos/aire/aire.shtml
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129
Probabilidad Condicional
Cuando tenemos eventos dependientes este caso, empleamos entonces, el
concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento
relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A
sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama
probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la
probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir,
la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.
De esta igualdad se deduce: P (B A) = P (B/A) · P(A)
Reglas de Multiplicación
Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más
eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los
valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los
eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A).P (B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A).P (B|A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P (B).P (A|B) si A y B son dependientes
Ejemplo:
Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la
probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos los
sucesos A="sacar 3" y B= {1, 3, 5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que
ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al
suceso A sólo 1.
130
L
ín
el
fá
o
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Ejemplo:
Se lanzan dos dados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de
los dados haya salido un tres?
Solución:
Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha
salido un tres".
a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso
A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A
)=6/36=1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7.
Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto,
P( B/A )=2/6=1/3
Tablas De Contingencia Y Diagramas De Árbol.
re
e
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada,
sulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o n
un diagrama de árbol.
as tablas de contingencia y los diagramas de árbol están
timamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir
otro. Unas veces, los datos del problema permiten construircilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el
tro, que nos ayudará en la resolución del problema.
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131
A
TOTAL
B P(A B ) P( B) P(B)
P(A ) P( )
P( )
TOTAL P(A) P( ) 1
Conversión De Una Tabla En Diagrama De Árbol
Las tablas de contingencia están referidas a
dos características que presentan cada una
dos o más sucesos. En el caso de los sucesos A,
, B y , expresados en frecuencias
absolutas, relativas o probabilidades la tabla,
adopta la forma adjunta. Dicha tabla adopta la
forma del diagrama de árbol del dibujo. En
éste, a cada uno de los sucesos A y se les
ha asociado los sucesos B y .
Sobre las ramas del diagrama de árbol
se han anotado las probabilidades
condicionadas correspondientes,
deducidas de las relaciones análogas a:
Conversión De Un Diagrama En Tabla De Contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de
contingencia equivalente sin más que utilizar la expresión.
P( B A ) = P( B/A ) · P( A ), para calcular las probabilidades de las
intersecciones de sucesos que forman la tabla.
Ejemplo:
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con
problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y
por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con
problemas de chapa.
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132
ELÉC. MEC. CHAPA TOTAL
MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70
TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30
TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00
a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
Solución:
En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes,
respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado.
ELÉC. MEC. CHAPA TOTAL
MAÑANA 3 8 3 14
TARDE 2 3 1 6
TOTAL 5 11 4 20
Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. Así, se
obtiene:
a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde.
b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%.
c. La probabilidad buscada es:
P (acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6
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133
Probabilidad
Total
TEMA 4
Teorema de Bayes
y Técnicas de
Conteo
Competencia:
Comprender el significado del teorema de
probabilidad total, el teorema de Bayes y
explica los diferentes métodos de conteo
para obtener una solución adecuada.
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134
Tema 04: Probabilidad Total, Teorema De
Bayes Y Técnicas De Conteo
Sea A1, A2,..., An; una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso
cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (B | Ai), entonces
la probabilidad total se define:
Ejercicio 1
Una compañía dedicada al transporte público explota tres
líneas de una ciudad, de forma que el 50 % de los autobuses
cubre el servicio de la primera línea, el 20% cubre la segunda y
el 30% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la
probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del
3%, 2% y 5%, respectivamente para cada línea.
Solución
a) Determine la probabilidad de que, en un día, un
autobús sufra una avería.
Sean los eventos:
A1: cubre el servicio de la primera
línea
A2: cubre el servicio de la segunda
línea
A3: cubre el servicio de la tercera
línea
B1: sufre una avería
B2: no sufre una avería
Datos:
P (A1) = 0.5 ; P (A2) = 0.2 P(A3= 0.3
P (B1/A1) =0.03
P (B1/A2) =0.02
P (B1/A3) =0.05
Además: P (B2/A1) = 1- P (B1/A1)
P (B2/A1) = 1- P (B1/A1) = 1 – 0.03 = 0.97
P (B2/A2) = 1- P (B1/A2) = 1 – 0.02 = 0.98
P (B2/A3) = 1- P (B1/A3) = 1 – 0.05 = 0.95
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral
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135
a) Empleando la fórmula de la probabilidad total :
𝑷(��) = 𝑷(��). 𝑷(��/��) + 𝑷(��). 𝑷(��/��) + 𝑷(��). 𝑷(��/��)
𝑷(��) = �. � ∗ �. ��� + �. � ∗ �. ��� + �. � ∗ �. �� = �. ���
Ejercicio 2
Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una
urna( I)que contiene, 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una
bola de una urna (II), que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces,
se extrae una bola de una urna (III), que contiene 3 bolas blancas y 2 negras.
¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y
sacar la bola?
Solución:
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades
correspondientes a la elección de la urna y, después, a la
extracción de la bola La probabilidad total de sacar bola
blanca la calculamos caminando por todas las ramas que
terminan en sacar bola blanca.
P (B)
= P (B/UI)·P(UI)+P(B/UII)·P(UII)+P(B/UIII)·P(UIII)
= 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4
= 13/20
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136
Ejemplo 3
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la
urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite
tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola.
¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra?
Solución:
Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama
de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urnas, después del
lanzamiento de las monedas y las urnas finales, así como las probabilidades para
cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y
según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:
P (BN)
= P (BN BBN)+P (BN BNN)
= P (BBN) ·P (BN/BBN)+P (BNN) ·P (BN/BBN)
= 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4
= 1/2
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137
este
as
ma
ta las
nto,
0.014 + 0.004
Ejemplo 4
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías:
F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es
del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado
incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la
empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente
envasado?
Solución:
Llamando M = "el producto está
defectuosamente envasado", se tiene que
producto puede proceder de cada una de l
cuatro factorías y, por tanto, según el teore
de la probabilidad total y teniendo en cuen
probabilidades del diagrama de árbol adju
tenemos:
P (M)
= P (F1) · P (M/F1) + P (F2) · P (M/F2) + P (F3) · P (M/F3) + P (F4) · P (M/F4)
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04
= 0.004 + 0.006 +
= 0.028
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138
Teorema de bayes y técnicas de conteo
EL TEOREMA DE BAYES
Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos, tales quela probabilidad de ca
uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen
probabilidades condicionales P (B/Ai). Entonces la probabilidad P (Ai/B) viene dada
por la expresión:
�𝒊
𝑷 ( �
𝑷(�𝒊) ∗ 𝑷(
�
)
) = �𝒊 𝑷(�)
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la
probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de
Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla
de contingencia o un diagrama de árbol.
Ejemplo
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total
de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa
de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea
defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad
de haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber
producido la citada pieza defectuosa?
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139
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información
del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la
propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya
calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza
defectuosa es A.
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140
𝑘
�
𝑃
3
Técnicas De Conteo
Fórmula de la Combinación
Si el orden en los objetos seleccionados no es importante, a cualquier selección se le
llama una combinación. La fórmula para contar el número de combinaciones de k
objetos de un conjunto de n objetos es: � � =
� !
��!(�−��)!
Ejemplo:
Un inversionista desea seleccionar tres inversiones de un total de 10 inversiones ¿De
cuántas maneras diferentes puede invertir el inversionista?
10! 10 = = 120 3 3! (10 − 3)!
Fórmula de la Permutación
Un arreglo o disposición de k objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos
posibles. Se utiliza para determinar el número posible de arreglos cuando sólo hay un
grupo de objetos.
�
� !
𝑘 = (� − ��)!
Ejemplo:
Un inversionista tiene la intención de invertir $ 5 000 en un proyecto, $10 000 en un
segundo proyecto, y $ 20 000 en un tercer proyecto. Si existen en total 10
posibilidades de inversión. ¿De cuántas maneras puede invertir?
n= 10
k=3
��10
10 !
=
(10 − 3)!
= ��� �������
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141
Además existen otras formas de permutación, así tenemos:
Permutación circular:
Son agrupaciones donde no hay
primero ni último elemento, por
hallarse todos en una línea cerrada.
Para hallar el número de permutaciones
Circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un
conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1
restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! formas diferentes
tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer
punto.
El número de permutaciones circulares será: P(n, r) = (n-1)!
Ejemplos:
1. ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de
una mesa circular un padre y sus 5 hijos?
Solución P(n,r) = (6 – 1)! = 5! = 5 x 4 3 x 2 x 1 = 120 maneras
Solución: Se trata de una permutación circular.
Permutaciones sin repetición
Las permutaciones sin repetición son un caso particular
de las variaciones que se pueden dar en un conjunto de
n elementos tomados de n en n maneras. También son
lineales con participación de todos los elementos.
Se denota Pn = n!
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142
Ejemplo
1. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila 6 personas para una foto de grupo?
Solución:
Ordenando a las personas se tiene n = 6, se tiene: P6 = 6! = 720
2. De cuántas maneras se pueden colocar en un estante 9 libros?
Solución:
Formamos permutaciones ordinarias de tal manera que n = 9, entonces
P9 = 9! = 362880
Permutaciones con repetición
Es cuando cada objeto vuelve a intervenir todas las veces
que se realice una selección. Se calcula así:
P(n, r) = nr
Ejemplos.
1. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
Solución.
Se tiene los datos n = 6; r = 3. Como es con repetición, porque todas las cifras,
la primera, la segunda y la tercera, siempre tienen 6 posibilidades; reemplazando
en la fórmula se tiene:
P(6,3) = 63 = 216 formas
2. Al tirar una moneda tres veces consecutivas, ¿cuántos resultados diferentes
pueden salir?
Solución:
La moneda tiene dos partes, entonces n = 2 y como el número de tiradas es 3 se
tiene r = 3. Finalmente P
2
23 = 8
3
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143
8
Permutaciones con elementos repetidos
El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos
tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos
iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un
segundo tipo y así sucesivamente hasta n objetos iguales entre
si de un último tipo, entonces:
Ejemplo. En un rally intervienen 8 carros: 3 son italianos, 2 franceses, 2 argentinos
y 1 peruano. ¿Cuál es el número de clasificaciones posibles por nacionalidades?
Solución:
Como la nacionalidad de los carros se repite, es una permutación con elementos
repetidos, es decir n = 8; carros italianos r1 = 3; carros franceses r2 = 2; carros
argentinos r3 = 2; carros peruanos r4 = 1
Luego P3,2,2,1
= 8! = 1680
3! 2! 2! 1!
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Lecturas Recomendadas
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD, EL VALOR DE LA PROBABILIDAD, EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS NO EXCLUYENTES.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
PROBABILIDAD CONDICIONAL
http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/cap311.htm
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
http://www.vitutor.com/pro/2/a_16.html
TEOREMA DE BAYES Y TÉCNICAS DE CONTEO
http://www.slideshare.net/estadistica_a/probabilidades-parte-iii-teorema-de-bayes
Actividades y Ejercicios
Ingresa al link probabilidades, lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y
envíalo a través del mismo medio.
Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso
del enunciado para aplicar la regla de Laplace. Los casos posibles son las distintas
formas de extraer 3 bolas entre 90. El orden no debe tenerse en cuenta. El espacio
muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01,
02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11,..., 98, 99. Para cada suceso del enunciado calcular
sus casos favorables. El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres
líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las
probabilidades del diagrama de árbol adjunto, Hallar la probabilidad de
que sufra una avería.
144
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.htmlhttp://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/cap311.htm
http://www.vitutor.com/pro/2/a_16.html
http://www.slideshare.net/estadistica_a/probabilidades-parte-iii-teorema-de-bayes
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Autoevaluación
1. Señale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes
enunciados. Los experimentos aleatorios pueden predecir con precisión sus
resultados antes de efectuar la observación.
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados del
experimento aleatorio.
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral.
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando su intersección es
diferente del vacío.
a) VVVV
b) FVVF
c) FFVV
d) VFFV
e) FFFF
2. Relaciona cada palabra con su respectivo concepto
1. Espacio muestral ( ) Razón entre el número de elementos de un evento y
del espacio muestral.
2. Evento ( ) Conjunto de todos los resultados posibles de un ex
perimento.
3. Probabilidad ( ) Subconjunto del espacio muestral.
a) 123
b) 321
c) 231
d) 312
e) 213
3. De una sala de 20 pacientes 5 de ellos tienen enfermedad leve. Si se toma un
paciente al azar. ¿Cuál es la probabilidad que sea un paciente con
enfermedad leve?
a) 5/20
b) 6/20
c) 4/20
d) 3/20
e) 7/20
146
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
4. En la TELESUP el 40% de estudiantes son costeños, el 10% estudian
ingeniería industrial, el 2% estudian Ingeniería Industrial y son costeños. Se
selecciona al azar un estudiante de esta universidad. ¿Cuál es la probabilidad
de que sea costeño o pertenezca a Ingeniería Industrial?
a) 0.45
b) 0.46
c) 0.49
d) 0.48
e) 0.47
5. En una baraja de naipes de 52 cartas, se extrae una carta al azar y resulta ser
mayor o igual que 10. ¿Cuál es la probabilidad que sea una reina?
a) 2/5
b) 3/5
c) 1/5
d) 4/5
e) 0
6. En una lavandería se tiene 40 camisas blancas nuevas y 60 usadas, también
se tiene 30 camisas rojas nuevas y 50 usadas. Se extrae una camisa al azar.
Hallar la probabilidad que sea blanca dado que es nueva
a) 1/7
b) 2/7
c) 5/7
d) 6/7
e) 4/7
7. Tres máquinas producen un mismo artículo; las máquinas A, B y C fabrican el
35%, 25% y 40% de la producción total respectivamente. De lo que producen,
el 5%, 4% y 2% son defectuosos respectivamente. Se escoge un artículo al
azar. Calcular la probabilidad de que sea defectuoso.
a) 0.0352
b) 0.0425
c) 0.0355
d) 0.0432
e) 0.0358
8. En un bioterio existen tres razas de ratones A, B, C en las proporciones 25%,
30% y 45% respectivamente. Sabemos que cierta enfermedad ataca al 5% de
la raza A, al 10% de la raza B y al 15% de la raza C. Se elige un ratón al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que esté afectado de la enfermedad?
147
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
a) 0.11
b) 0.13
c) 0.15
d) 0.09
e) 0.10
9. Un grupo de 7 personas debe participar en una serie de charlas que se llevará
a cabo en dos días sucesivos. En el primer día deben participar 3 personas y en
el segundo día las 4 personas restantes. ¿De cuántas maneras diferentes se
puede elegir a las personas que deben participar el primer día?
a) 32
b) 34
c) 37
d) 36
e) 35
10. Suponga que tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30%
y 20% del número total de artículos producidos por una empresa y que los
porcentajes de unidades defectuosas producidas por estas máquinas son
3%, 4% y 5%, respectivamente. Si se elige un artículo al azar y es defectuoso,
hallar la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A.
a) 0.4054
b) 0.4060
c) 0.4080
d) 0.4050
e) 0.4059
Resumen
148
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIVV::
Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar
si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas
o la teoría.
El objetivo de esta práctica es realizar varios experimentos de probabilidad, anotar los
resultados y posteriormente compararlos con los resultados teóricos.
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro
evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad de A
dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede
preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar
B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales
son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un
papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Sea A1, A2,..., An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquier
del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai), entonces la probabilidad
del suceso B viene dada por la expresión:
Sea {A1, A2,..., An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y
tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso
cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B | Ai). Entonces, la
probabilidad P (Ai | B) viene dada por la expresión:
http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml
http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml
http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml
http://www.monografias.com/trabajos10/cuasi/cuasi.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral
149
Glosario
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Probabilidad.-
Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y
tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala
de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 y uno que
ocurra con certeza es de 1.
Al Azar o Aleatorio.-
Son todos aquellos eventos fortuitos o productos de la suerte.
Aleatoriamente.-
Actividades o métodos producidos o llevados a cabo simulando un
comportamiento al azar.
Validez.-
Importancia predictiva para los propósitos que se persiguen.
Diagrama de Árbol.-
Figura para definir el espacio muestral de experimentos aleatorios de pasos
múltiples.
Espacio Muestral.-
Lista de todos los resultados básicos de un experimento aleatorio.
Factorial.-
Producto de una serie de números enteros positivos que desciende de un número
n, hasta 1.
Permutaciones.-
Arreglos ordenados distinguibles de artículos, todos los cuales se han sacado de
un grupo dado de artículos.
Combinaciones.-
Selecciones diferentes de artículos tales que las secuencias alternativas posibles
entre los componentes de cualquier selección se consideran inmateriales.
http://www.cortland.edu/FLTEACH/STATS/glos-sp.html#Aleatorio
Fuentes de Información
150
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
BIBLIOGRÁFICAS:
Manuel Córdova Zamora: Estadística Descriptiva e Inferencial
Quinta Edición - 2008 – Editorial MOSHERA
Carlos Veliz Capuñay: Estadística Aplicaciones Editorial SCG
William J. Stevenson: Estadística Para Administración y Economía
Editorial HARLA
Jorge Díaz Portocarrero: Estadística Aplicada, Editorial MEGABYTE - 2006
Lind – Marchal – Mason: Estadística Para Administración y Economía,
11ª Edición - Editorial ALFAOMEGA – 2008
Máximo Mitacc: Tópicos de Estadísticas Descriptiva y Probabilidad Editorial
San Marcos.ELECTRÓNICAS:
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: CONTENIDOS BASICOS
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptiva
http://tarwi.lamolina.edu.pe/~arrubio/Parte%202.pdf
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/01/texto2.html
VIDEOS
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BASICA EN EXCEL
http://www.youtube.com/watch?v=q3LR_CfGvS4
GRÁFICAS EN EXCEL 2007
http://www.youtube.com/watch?v=8FnlqDxCtuM&feature=related
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA I - GRAFICOS ESTADÍSTICOS
http://www.youtube.com/watch?v=j120LUI4k7g
MEDIA , MEDIANA Y MODA
http://www.youtube.com/watch?v=M16y6jUKnAU&feature=related
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http://www.youtube.com/watch?v=M16y6jUKnAU&feature=related
151
Solucionario
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
UNIDAD DE
APRENDIZAJE 1
1) b
2) a
3) a
4) d
5) c
6) b
7) d
8) b
9) b
10) a
UNIDAD DE
APRENDIZAJE 2:
1. d
2. b
3. a
4. c
5. b
6. e
7. a
8. b
9. a
10. b
UNIDAD DE
APRENDIZAJE 3:
1. c
2. a
3. c
4. a
5. c
6. c
7. a
8. e
9. a
10. b
UNIDAD DE
APRENDIZAJE 4:
1. b
2. d
3. a
4. d
5. c
6. e
7. c
8. a
9. e
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