Roteiro da Semana 9

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Roteiro de Estudos - Semana 9
O material da Semana 9 (Teorema do Valor Médio, Crescimento de Funções e Otimização)
do Moodle de Cálculo 1 está organizado abaixo na melhor ordem didática para compreensão
dos conteúdos. Siga este roteiro para evitar atropelos ou desencontros.
1. Teorema do Valor Médio: Apresentamos o Teorema do Valor Médio, juntamente
com as suas interpretações geométrica e dinâmica. Como consequência, estabelecemos
a relação entre o sinal da derivada de uma função com os seus intervalos de crescimento
e decrescimento. Como aplicação, determinamos o instante de concentração máxima
de um medicamento no sangue de um paciente.
i) Assista ao Vı́deo: Teorema do Valor Médio - parte 1.
Dê uma interpretação f́ısica do Teorema do Valor Médio.
X No Texto: O Teorema do Valor Médio, você encontra o conteúdo escrito do
que foi visto no v́ıdeo i).
Resolva a Tarefa da página 5 do texto.
2. Crescimento de Funções: Apresentamos alguns exemplos em que o estudo do sinal
da derivada nos permite decidir sobre a monotonicidade da função em intervalos.
i) Assista ao Vı́deo: Crescimento e decrescimento.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x4−2x2.
X No Texto: Aplicações do Teorema do Valor Médio, você encontra mais
exemplos da relação entre o sinal da derivada e o caráter de crescimento ou de-
crescimento de uma função, conforme foi visto no v́ıdeo i).
Resolva a Tarefa da página 3 do texto.
3. Otimização: Apresentamos dois exemplos de otimização. No primeiro, estudamos o
comportamento do lucro de uma empresa ao longo de 6 anos. No segundo, determina-
mos as dimensões de uma lata ciĺındrica de volume fixado que minimizam a sua área
total.
Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: Otimização - caso geral
ii) Vı́deo: Um Problema de Mı́nimo
Assim como o v́ıdeo i), o v́ıdeo ii) aborda o problema de minimização da área
total de uma lata ciĺındrica sujeita ao v́ınculo de um volume constante.
1
https://www.youtube.com/watch?v=b26gY0tMwwM&feature=youtu.be
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo2/Semana3/tvm.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=_H93ZwzRB8k&feature=youtu.be
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo2/Semana3/tvm-aplica.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=yUgSlZNxhXw&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=xt9782dA0Tg&feature=youtu.be
4. Máximos e mı́nimos locais: Definimos o conceito de máximo e mı́nimo local. Em
seguida, apresentamos o Teste da Derivada Primeira para classificar a natureza de um
ponto cŕıtico a partir do sinal da derivada.
Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: Máximos e mı́nimos locais
Verifique que x = −3 e x = 0 são pontos cŕıticos da função
f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 8
e utilize o Teste da Derivada Primeira para classificá-los em pontos de máximo
ou de mı́nimo locais.
ii) Vı́deo: Comparação entre Números
Mostre que a função f(x) =
ln(x)
x
, definida para x > 0, possui um máximo global
em x = e. Considerando que f(e) > f(π) e que a função g(x) = ex é crescente,
conclua que eπ > πe.
5. Algumas consequências adicionais do Teorema do Valor Médio: Mostramos
que se uma função tem derivada nula em um intervalo, então ela tem que ser constante
neste intervalo. Como aplicação, verificamos que o logaritmo transforma produtos
em somas e quocientes em diferenças. Em seguida, apresentamos a demonstração do
Teorema do Valor Médio.
Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: Teorema do Valor Médio - parte 2
É correto afirmar que se a derivada de uma função f(x) é nula em seu domı́nio,
então f(x) é necessariamente constante neste domı́nio? Por quê?
ii) Vı́deo: Propriedades do Logaritmo
Verifique que as funções f(x) = ln(xr), com r ∈ R, e g(x) = r ln(x), definida
para x > 0, têm a mesma derivada. Usando uma consequência do Teorema do
Valor Médio, conclua que f(x) = g(x), isto é, o logaritmo transforma potências
em produtos.
X No Texto: Consequências do Teorema do Valor Médio, você encontra o
conteúdo escrito do que foi visto nos v́ıdeos i) e ii).
Resolva a Tarefa da página 5 do texto.
6. Listas de Exerćıcios: Para fixar seus conhecimentos, resolva a Lista de Exerćıcios
e a Lista de Aplicações da Semana 9.
2
https://www.youtube.com/watch?v=06Pzmxu4SJ4&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=Br8jAefG1xw&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=nZ_cEIwN2rU&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=ORlvMel6em4&feature=youtu.be
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo2/Semana3/tvm-consequencias.pdf
https://mat.unb.br/calculo1m/Exercicios/Modulo2/semana_09ex.pdf
https://mat.unb.br/calculo1m/Aplicacao/Modulo2/semana_09ap.pdf