LN matematica com amor

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b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( \ln(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação**: A integral é resolvida por substituição \( u = \ln(x) \), resultando em \( 
\ln(u) + C \). 
 
29. **Problema 29**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( 2 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \), onde \( k 
= 2 \). 
 
30. **Problema 30**: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, obtemos \( \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x \). 
 
31. **Problema 31**: Calcule a integral \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 b) \( \sin(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) para facilitar 
a integração. 
 
32. **Problema 32**: Encontre o valor de \( \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = x - \frac{x^3}{3} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 1 - 
\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). 
 
33. **Problema 33**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 1} \). 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 3 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta**: a) \( 2 \) 
 **Explicação**: Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), obtemos \( 2 + 
\frac{3}{x} \) que se aproxima de \( 2 \). 
 
34. **Problema 34**: Determine a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{x^2} + C \) 
 **Resposta**: b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( x^{-3} \) é \( -\frac{1}{2}x^{-2} + C \). 
 
35. **Problema 35**: Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e integramos. 
 
36. **Problema 36**: Encontre a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). 
 a) \( \ln(x) + 1 \) 
 b) \( \ln(x) \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( 1 - \ln(x) \) 
 **Resposta**: a) \( \ln(x) + 1 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto: \( f'(x) = \ln(x) + 1 \). 
 
37. **Problema 37**: Calcule o valor de \( \int_{1}^{2} (3x^2 - 5) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta**: d) \( -1 \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = x^3 - 5x \). Avaliando de 1 a 2, temos \( (8 - 10) - (1 - 
5) = -1 \). 
 
38. **Problema 38**: Calcule a integral \( \int x^2 e^x \, dx \). 
 a) \( (x^2 - 2)e^x + C \) 
 b) \( e^x(x^2 - 2x + 2) + C \) 
 c) \( e^x(x^2 + 2) + C \) 
 d) \( e^x(x^2 + 2x) + C \) 
 **Resposta**: b) \( e^x(x^2 - 2x + 2) + C \) 
 **Explicação**: Usamos integração por partes duas vezes. 
 
39. **Problema 39**: Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 0 \)