fisicamatematicaetc 9zao3

Prévia do material em texto

- b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 - c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 - d) \(\ln(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), resultando na integral \(\int 
\frac{1}{u} du\). 
 
25. **Problema 25**: Calcule a derivada de \(f(x) = x^2 e^x\). 
 - a) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 - b) \(e^x (x^2 + 2x)\) 
 - c) \(2x e^x\) 
 - d) \(x^2 e^x - 2x e^x\) 
 **Resposta**: b) \(e^x (x^2 + 2x)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\). 
 
26. **Problema 26**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 3x + 1}{x^3 + 5}\). 
 - a) 2 
 - b) \(\frac{2}{1}\) 
 - c) \(\infty\) 
 - d) 0 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Os termos de maior grau dominam, então simplificamos para 
\(\frac{2x^3}{x^3} = 2\). 
 
27. **Problema 27**: Determine a integral \(\int (3x^2 - 4) \, dx\). 
 - a) \(x^3 - 4x + C\) 
 - b) \(3x^3 - 4x + C\) 
 - c) \(3x^3 - 4 + C\) 
 - d) \(x^3 - 4 + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^3 - 4x + C\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\frac{3}{3}x^3 - 4x + C = x^3 - 4x + C\). 
 
28. **Problema 28**: Qual é a derivada de \(f(x) = \sin^2(x)\)? 
 - a) \(2\sin(x)\cos(x)\) 
 - b) \(\sin(2x)\) 
 - c) \(2\cos^2(x)\) 
 - d) \(-2\sin(x)\cos(x)\) 
 **Resposta**: a) \(2\sin(x)\cos(x)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(\frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x)\). 
 
29. **Problema 29**: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 - a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 - b) \(\sec^{-1}(x) + C\) 
 - c) \(\ln(x) + C\) 
 - d) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma integral básica que resulta na 
função arco-tangente. 
 
30. **Problema 30**: Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)? 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 3 
 - d) 6 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\). 
 
31. **Problema 31**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\). 
 - a) \(\frac{1}{4}\) 
 - b) \(\frac{1}{3}\) 
 - c) \(\frac{5}{12}\) 
 - d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{4} + 
\frac{2}{3} = \frac{5}{12}\). 
 
32. **Problema 32**: Determine o valor de \(\frac{d}{dx}(\cos(x^2))\). 
 - a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 - b) \(2x \sin(x^2)\) 
 - c) \(-\sin(x^2)\) 
 - d) \(\sin(x^2)\) 
 **Resposta**: a) \(-2x \sin(x^2)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot 
\frac{du}{dx}\). 
 
33. **Problema 33**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) 2 
 - d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: Usamos o fatoramento: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\), avaliando em 
\(x=1\) obtemos 2. 
 
34. **Problema 34**: Qual é a integral \(\int \sin(3x) \, dx\)? 
 - a) \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\) 
 - b) \(\frac{1}{3} \cos(3x) + C\) 
 - c) \(-\cos(3x) + C\) 
 - d) \(\sin(3x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(\sin(kx)\) é \(-\frac{1}{k} \cos(kx) + C\). 
 
35. **Problema 35**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\). 
 - a) 0 
 - b) 1