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Problema 29: Calcule a integral \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx. a) \tan^{-1}(x) + C b) \sec^{-1}(x) + C c) \ln(x) + C d) \sin^{-1}(x) + C

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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Assim, a integral é: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Correta. b) \(\sec^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \(\ln(x) + C\) - Incorreta. d) \(\sin^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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b) \frac{1}{3} \cos(3x) + C
c) -\cos(3x) + C
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