Problema 31: Calcule a integral \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx. a) \frac{1}{4} b) \frac{1}{3} c) \frac{5}{12} d) \frac{1}{2}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^3 + 2x^2) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 2x^2 \, dx \] 2. Integrando cada termo: - \(\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}\) - \(\int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}\) 3. Juntando os resultados: \[ \int (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \] 4. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) - 0 \] 5. Encontrar um denominador comum: O denominador comum entre 4 e 3 é 12. \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \] \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{11}{12}\). Como essa resposta não está entre as alternativas, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar as opções novamente?