surpresa da matematica DLT

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a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 b) \(\frac{1}{x} + C\) 
 c) \(-\frac{1}{x^2} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2x^2} + C\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{1}{x} + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(x^{-2}\) é \(-x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\). 
 
8. **Problema 8:** 
 Calcule a derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2x}{x^2}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x)\). 
 
9. **Problema 9:** 
 Determine o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) 2 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada de \(e^x\) em \(x=0\), temos \(\lim_{x \to 
0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1\). 
 
10. **Problema 10:** 
 Calcule a integral: \(\int_0^1 x^3 \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{5}\)** 
 **Explicação:** A integral indefinida é \(\frac{x^4}{4} + C\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}\). 
 
11. **Problema 11:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) 6 
 **Resposta: b) 3** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 3\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\). 
 
12. **Problema 12:** 
 Encontre a derivada de \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 d) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 
2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\). 
 
13. **Problema 13:** 
 Calcule a integral: \(\int e^{2x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 b) \(2e^{2x} + C\) 
 c) \(e^{2x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} e^{x} + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Assim, \(\int e^{2x} \, dx 
= \frac{1}{2} e^{2x} + C\). 
 
14. **Problema 14:** 
 Determine o valor de \(\frac{d^3}{dx^3}(x^5)\). 
 a) \(60x^2\) 
 b) \(20x^2\) 
 c) \(120x^2\) 
 d) \(5x^2\) 
 **Resposta: a) \(60x^2\)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(5x^4\), a segunda é \(20x^3\) e a terceira é 
\(60x^2\). 
 
15. **Problema 15:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 2}\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{2}{x^2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 
 
16. **Problema 16:** 
 Encontre a integral: \(\int \cos(3x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\sin(3x) + C\) 
 b) \(\sin(3x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}\cos(3x) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{3}\sin(3x) + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{3}\sin(3x) + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\cos(kx)\) é \(\frac{1}{k}\sin(kx) + C\). Portanto, \(\int 
\cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C\).