21TQ7 algoritmo da math

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**Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 3 \, dx} = e^{3x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{3x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
40. **Problema 40:** 
 Calcule \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{9} \) 
 b) \( -\frac{1}{4} \) 
 c) \( -\frac{1}{3} \) 
 d) \( -\frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{9} \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 dx \). O 
resultado final é \( -\frac{1}{9} \). 
 
41. **Problema 41:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 5 \). 
 
42. **Problema 42:** 
 Calcule a integral \( \int x e^{3x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{9} e^{3x} + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} x e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{9} x e^{3x} + C \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{3} x e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^{3x} dx \). O 
resultado final é \( \frac{1}{3} x e^{3x} + C \). 
 
43. **Problema 43:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4} \). 
 
44. **Problema 44:** 
 Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \). 
 
45. **Problema 45:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' - y = e^{-x} \). 
 a) \( y = Ce^{x} + 1 \) 
 b) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
 c) \( y = Ce^{x} + 2 \) 
 d) \( y = Ce^{-x} + 2 \) 
 **Resposta:** b) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int -1 \, dx} = e^{-x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{-x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
46. **Problema 46:** 
 Calcule \( \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{20} \) 
 b) \( \frac{1}{30} \) 
 c) \( \frac{1}{40} \) 
 d) \( \frac{1}{50} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{20} \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula da beta, temos \( \int_0^1 x^m (1 - x)^n \, dx = 
\frac{m! n!}{(m+n+1)!} \). Para \( m=2 \) e \( n=3 \), obtemos \( \frac{2! 3!}{(2+3+1)!} = \frac{2 
\cdot 6}{6!} = \frac{1}{20} \). 
 
47. **Problema 47:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\ln(1 + kx)}{x} = k \), onde \( k = 2 \). 
 
48. **Problema 48:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{2}{3}} \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{5} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{5} \) 
 d) \( \frac{4}{5} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{5} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = 1 - x^3 \), a integral se transforma em uma 
forma que pode ser resolvida. 
 
49. **Problema 49:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' - 2y = 3x \). 
 a) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \)