Calcule \( \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx \). a) \( \frac{1}{20} \) b) \( \frac{1}{30} \) c) \( \frac{1}{40} \) d) \( \frac{1}{50} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx \), podemos usar a fórmula da integral beta ou fazer a substituição direta. A integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral beta: \[ \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \, dx = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \] Neste caso, temos \( m = 3 \) e \( n = 4 \) (porque \( x^2 \) é \( x^{3-1} \) e \( (1-x)^3 \) é \( (1-x)^{4-1} \)). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx = \frac{\Gamma(3) \Gamma(4)}{\Gamma(7)} \] Calculando os valores: - \( \Gamma(3) = 2! = 2 \) - \( \Gamma(4) = 3! = 6 \) - \( \Gamma(7) = 6! = 720 \) Substituindo na fórmula: \[ \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx = \frac{2 \cdot 6}{720} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} \] No entanto, essa resposta não está entre as opções. Vamos calcular a integral diretamente: Usando a substituição \( u = 1 - x \), temos \( du = -dx \) e os limites de integração mudam de \( x = 0 \) para \( u = 1 \) e de \( x = 1 \) para \( u = 0 \): \[ \int_0^1 x^2 (1 - x)^{3} \, dx = \int_1^0 (1 - u)^2 u^3 (-du) = \int_0^1 (1 - u)^2 u^3 \, du \] Expandindo \( (1 - u)^2 = 1 - 2u + u^2 \): \[ \int_0^1 (1 - 2u + u^2) u^3 \, du = \int_0^1 (u^3 - 2u^4 + u^5) \, du \] Calculando cada parte: \[ \int_0^1 u^3 \, du = \frac{1}{4}, \quad \int_0^1 u^4 \, du = \frac{1}{5}, \quad \int_0^1 u^5 \, du = \frac{1}{6} \] Portanto: \[ \int_0^1 (u^3 - 2u^4 + u^5) \, du = \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \] Calculando: \[ = \frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{15}{60} - \frac{24}{60} + \frac{10}{60} = \frac{1}{60} \] Parece que houve um erro na análise das opções. A resposta correta não está entre as opções fornecidas. Porém, se considerarmos a integral original, a resposta correta é \( \frac{1}{60} \), que não está listada. Portanto, você deve verificar as opções ou o enunciado da questão.