Encontre a solução da equação diferencial \( y' - 2y = 3x \). a) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \)

Para resolver a equação diferencial \( y' - 2y = 3x \), vamos usar o método do fator integrante. 1. Identificar a equação: A equação está na forma padrão \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = -2 \) e \( Q(x) = 3x \). 2. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x} \] 3. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = 3xe^{-2x} \] 4. Reescrever o lado esquerdo como uma derivada: \[ \frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = 3xe^{-2x} \] 5. Integrar ambos os lados: \[ \int \frac{d}{dx}(e^{-2x}y) \, dx = \int 3xe^{-2x} \, dx \] Para resolver a integral do lado direito, podemos usar a integração por partes. Vamos definir: - \( u = 3x \) e \( dv = e^{-2x}dx \) - Então, \( du = 3dx \) e \( v = -\frac{1}{2}e^{-2x} \) Aplicando a integração por partes: \[ \int 3xe^{-2x} \, dx = -\frac{3}{2}xe^{-2x} - \int -\frac{3}{2}e^{-2x} \, dx \] \[ = -\frac{3}{2}xe^{-2x} + \frac{3}{4}e^{-2x} + C \] 6. Substituir de volta: \[ e^{-2x}y = -\frac{3}{2}xe^{-2x} + \frac{3}{4}e^{-2x} + C \] 7. Multiplicar por \( e^{2x} \) para isolar \( y \): \[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{4} + Ce^{2x} \] 8. Reorganizar: \[ y = Ce^{2x} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{4} \] A solução geral da equação diferencial é: \[ y = Ce^{2x} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{4} \] Portanto, a alternativa a) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \) não está correta. A solução correta é: \[ y = Ce^{2x} - \frac{3}{2}x + \frac{3}{4} \]