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b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = x^4 - 2x^3 + 2x + C\). Avaliando 
de 0 a 1, temos \((1 - 2 + 2) - 0 = 1\). 
 
35. **Problema 35:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 + 4}\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) 1 
 c) 0 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), que é \(x^3\): 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3}\). 
 
36. **Problema 36:** Calcule a integral \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 b) \(-e^{-x} \sin(x) + C\) 
 c) \(-e^{-x} \cos(x) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{2} e^{-x} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-x} \cos(x) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. A primeira parte resulta em 
\(e^{-x} \sin(x)\) e a segunda parte resolve para \(e^{-x} \cos(x)\). 
 
37. **Problema 37:** Determine a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\). 
 a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 b) \(4x^3 \ln(x) + 4x^3\) 
 c) \(4x^3 \ln(x) + 3x^3\) 
 d) \(4x^3 \ln(x) + x^4\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^4\) e \(v = 
\ln(x)\). Assim, \(u' = 4x^3\) e \(v' = \frac{1}{x}\). 
 
38. **Problema 38:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right) - 0 = \frac{5}{3}\). 
 
39. **Problema 39:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Infinito 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 2\), então o limite é 2. 
 
40. **Problema 40:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \ln|x - 2| + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{4} \ln(x^2 - 4) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando frações parciais, resultando em 
\(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\). 
 
41. **Problema 41:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{8}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{8}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\). Assim, a 
integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
42. **Problema 42:** Determine a derivada de \(f(x) = x^2 e^{x^2}\). 
 a) \(2xe^{x^2} + 2x^3 e^{x^2}\) 
 b) \(2xe^{x^2} + e^{x^2}\) 
 c) \(2xe^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\) 
 d) \(2xe^{x^2} + x^2 e^{x^2}\) 
 **Resposta:** c) \(2xe^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^2\) e \(v = 
e^{x^2}\). Assim, \(u' = 2x\) e \(v' = 2xe^{x^2}\). 
 
43. **Problema 43:** Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^4 - 4x^3 + 2) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (2x^4 - 4x^3 + 2) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - x^4 + 2x + C\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{2}{5} - 1 + 2\right) - 0 = \frac{1}{3}\). 
 
44. **Problema 44:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 5}{2x^2 + 3}\). 
 a) \(\frac{7}{2}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) \(\frac{7}{2}\)