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Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx\).

a) \(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\)
b) \(\frac{1}{2} \ln|x - 2| + C\)
c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\)
d) \(\frac{1}{4} \ln(x^2 - 4) + C\)
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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx\), podemos usar a técnica de frações parciais, já que \(x^2 - 4\) pode ser fatorado como \((x - 2)(x + 2)\). A integral pode ser reescrita como: \[ \int \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} \, dx \] Usando frações parciais, podemos escrever: \[ \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \] Multiplicando ambos os lados por \((x - 2)(x + 2)\) e resolvendo para \(A\) e \(B\), encontramos que \(A = \frac{1}{4}\) e \(B = -\frac{1}{4}\). Assim, a integral se torna: \[ \int \left( \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \right) \, dx = \frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\)

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