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a) 5 
 b) 0 
 c) 1 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 5\), então o limite é 5. 
 
14. **Problema 14:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 b) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \frac{x}{2}\), então \(du = \frac{1}{2}dx\), e a 
integral se torna \(\int \frac{1}{4(u^2 + 1)} \, du = \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = \frac{1}{2} 
\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\). 
 
15. **Problema 15:** Calcule a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\). 
 a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 b) \(3x^2 \ln(x) + \frac{x^3}{x}\) 
 c) \(3x^2 \ln(x) + 3x^2\) 
 d) \(3x^2 \ln(x) + x^3\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^3\) e \(v = 
\ln(x)\). Assim, \(u' = 3x^2\) e \(v' = \frac{1}{x}\), resultando em \(f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 
16. **Problema 16:** Calcule a integral \(\int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 b) \(\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 d) \(\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta:** c) \(-\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \(u = \cos(3e^{2x})\) e 
\(dv = e^{2x}dx\). A integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida por partes 
novamente. 
 
17. **Problema 17:** Calcule a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{7}{3}\) 
 b) \(\frac{5}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{4}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{7}{3}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C\). Avaliando de 1 
a 2, temos \((8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5\). 
 
18. **Problema 18:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 - x + 
2}\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{3}{4}\) 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), que é \(x^2\): 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = 
\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 
 
19. **Problema 19:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim, 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
20. **Problema 20:** Determine a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\). 
 a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 b) \(\frac{2x^2}{1 + x^4}\) 
 c) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{1 + x^4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 
\frac{2x}{1 + x^4}\). 
 
21. **Problema 21:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} \ln|x + 1| + C\) 
 d) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(u = x^3 + 1\), 
resultando em \(\frac{1}{3} \ln|u| + C\). 
 
22. **Problema 22:** Determine o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\). 
 a) \(\frac{\pi^3}{6}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi^3}{12}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi^3}{6}\) 
 **Explicação:** Esta série converge para \(\frac{\pi^3}{6}\), um resultado conhecido na 
teoria dos números. 
 
23. **Problema 23:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 
\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1