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Calcule a integral \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx.

a) \frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C
b) \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C
c) \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C
d) \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + C
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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\), podemos usar a fatoração do denominador. O polinômio \(x^3 + 1\) pode ser fatorado como \((x + 1)(x^2 - x + 1)\). A integral pode ser resolvida utilizando a decomposição em frações parciais. Assim, podemos escrever: \[ \frac{1}{x^3 + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1} \] Após encontrar os valores de \(A\), \(B\) e \(C\), podemos integrar cada parte separadamente. A integral resultante será: \[ \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\)

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