Apostila Calculo1 com Exercicios_pag35

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<p>31</p><p>+</p><p>n+ (n− 1) + (n− 2) + ...+ (n− i+ 1) + (n− i) + ...+ 1 = S</p><p>=</p><p>(n+1)+(n−1+2)+(n−2+3)+...+(n−i−1+i)+(n−i+i+1)+...+(n+1) = 2S</p><p>n(n+ 1) = 2S</p><p>S =</p><p>n(n+ 1)</p><p>2</p><p>A partir disso, temos que:</p><p>lim</p><p>n→+∞</p><p>1 + 2 + 3 + ...+ n</p><p>n2</p><p>= lim</p><p>n→+∞</p><p>n(n+ 1)</p><p>2n2</p><p>= lim</p><p>n→+∞</p><p>1 + n−2</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>�</p><p>(b) Assim como a maioria das questões na matemática, existem diferentes maneiras</p><p>de demonstrar a fórmula dada. Vamos utilizar a de indução, por dois motivos</p><p>principais:</p><p>� É um conceito importante e muito útil, que nem sempre é ensinado no</p><p>ensino médio.</p><p>� Para questões em que pedem para você demonstrar uma fórmula dada que</p><p>vale para números inteiros, frequentemente é mais simples usá-la.</p><p>Mas então, no que consiste essa técnica chamada de indução?</p><p>Suponha que você queira provar que uma determinada formula ou igualdade</p><p>f(i) é válida para todo i ∈ N.Um dos caminhos para você fazer isso é:</p><p>� Provar que ela vale para i = 1</p><p>� Provar que, se ela vale para determinado k, ela também vale para k′ = k+1</p><p>Isso porquê, se ela vale para 1, obrigatoriamente vale para 2 por causa do que</p><p>provamos no item acima. Analogamente valerá para 3,4,5,6,7... e assim em</p><p>diante para todo n ∈ N</p><p>Ao usar essa técnica, você precisa seguinte os sequintes passos:</p><p>i. Informar que irá usar o método de indução �nita.</p><p>ii. Provar que f(1) é válida.</p><p>iii. Supor que f(k), com k ∈ N, é válida.</p><p>iv. Provar que f(k + 1) é válida.</p><p>Assim, retornando à nossa resolução: Queremos provar que:</p><p>1 + 22 + 32 + 42 + ...+ i2 + (i+ 1)2 + ...+ n2 = S2(n)</p>