Questão 3 (3,0 pontos) Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R pondo g(s, t) = f(s2 + 5s + 6 + et2 + t4, s2 + 5s + 6 + t4 + t6) para cada (s, t) ∈ R2. Sabendo que gs(−3,−1) = −7 e gt(−2,−1) = −6e − 52, calcule as duas derivadas parciais de f no ponto P = (e + 1, 2).

Question

Questão 3 (3,0 pontos) Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R pondo g(s, t) = f(s2 + 5s + 6 + et2 + t4, s2 + 5s + 6 + ...

Ed · Answer

Para calcular as derivadas parciais de $ f $ no ponto $ P = (e + 1, 2) $, precisamos usar a regra da cadeia, já que $ g(s, t) $ é uma função composta.

1. **Identifique as variáveis**:
   - $ u = s^2 + 5s + 6 + e^{t^2} + t^4 $
   - $ v = s^2 + 5s + 6 + t^4 + t^6 $

2. **Derivadas parciais de $ g $**:
   - $ g_s = \frac{\partial g}{\partial s} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial s} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial s} $
   - $ g_t = \frac{\partial g}{\partial t} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial t} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial t} $

3. **Cálculo das derivadas**:
   - Para $ u $:
     $$
     \frac{\partial u}{\partial s} = 2s + 5
     $$
     $$
     \frac{\partial u}{\partial t} = 2te^{t^2} + 4t^3
     $$
   - Para $ v $:
     $$
     \frac{\partial v}{\partial s} = 2s + 5
     $$
     $$
     \frac{\partial v}{\partial t} = 4t^3 + 6t^5
     $$

4. **Avalie as derivadas em $ s = -3 $ e $ t = -1 $**:
   - $ g_s(-3, -1) = -7 $
   - $ g_t(-2, -1) = -6e^{-5} $

5. **Substitua os valores**:
   - Para $ s = -3 $:
     $$
     \frac{\partial u}{\partial s} = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1
     $$
   - Para $ t = -1 $:
     $$
     \frac{\partial u}{\partial t} = 2(-1)e^{-1} + 4(-1)^3 = -2e^{-1} - 4
     $$

6. **Sistema de equações**:
   - $ -7 = f_u(-1) + f_v(-1) $
   - $ -6e^{-5} = f_u(-2e^{-1} - 4) + f_v(4(-1)^3 + 6(-1)^5) $

7. **Resolva o sistema** para encontrar $ f_u $ e $ f_v $.

Assim, você encontrará as derivadas parciais de $ f $ no ponto $ P $. Se precisar de mais detalhes sobre a resolução do sistema, é só avisar!

Cálculo

AP3-CIII-2016-1 (Gabarito)

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AP3-CIII-2016-1 (Gabarito)

Questão 1 (2,0 pontos) Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = { x3 + y3 se (x, y) ̸= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0). (a) (1,0 ponto) Determine os pontos nos quais f é cont́ınua; (b) (1,0 ponto) Caso existam, calcule ∂f/∂x(0, 0) e ∂f/∂y(0, 0).

Questão 2 (2,0 pontos) Calcule ou mostre que não existem os seguintes limites: (a) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) (x2 + y2) cos(1/x2 + y3); (b) (1,0 ponto) lim (x,y)→(0,0) x2 + y4 / 2x3 + y5.

Questão 4 (3,0 pontos) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine os valores extremos da função f(x, y) = x2 + y2 sobre a elipse 2x2 + 3y2 = 1.

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