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UERJ-FFP
Análise I - Prova
Professor Márcio Telles
20/07/2023
Nome:
As questões somam 110 pontos, portanto você não precisa resolver todas elas para
obter a pontuação integral de 100 pontos.
Você pode entregar suas soluções, em qualquer formato, hoje até as 23:59, via o email
marcio.telles@uerj.br, com assunto seguindo o exemplo: “análise 1 prova fulano de tal".
Boa sorte!
1. [25 pontos] Mostre que f : A → B é sobrejetiva se, e somente se,
∀X ⊆ A, f(f−1(X)) = X.
2. [25 pontos] Mostre que, se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn),
então existe uma subsequência de (xn) que converge para um limite b ̸= a.
3. [10 pontos] Seja X ⊆ N subconjunto infinito. Prove que existe uma única bijeção
crescente f : N → X .
4. [20 pontos] Prove que o conjunto das sequências crescentes {n1 < n2 < n3 . . .} de
números naturais não é enumerável.
5. [20 pontos] SejamA,B conjuntos de números reais positivos. Definamos o conjunto
A · B = {xy | x ∈ A, y ∈ B}. Prove que se A e B forem limitados, então A · B é
limitado, sendo sup(A ·B) = sup(A) · sup(B) e inf(A ·B) = inf(A) · inf(B).
6. [10 pontos] Seja a ̸= 0. Prove que, se limn→∞ yna = 1, então limn→∞ yn = a.
Elaborado por Márcio Telles
mailto:marcio.telles_rj@uerj.br