Prova Números e Funções UERJ-FFP

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UERJ-FFP
Números e Funções (ProfMat) - Prova
Professor Márcio Telles
20/07/2023
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As questões somam 125 pontos, portanto você não precisa resolver todas as questões
para obter a pontuação integral de 100 pontos. A prova tem duração de 4 horas e meia.
Você pode entregar suas soluções, em qualquer formato, hoje até as 18:00, via o email
marcio.telles@uerj.br, com assunto seguindo o exemplo: “profmat prova fulano de tal".
Boa sorte!
1. [25 pontos] Mostre que f : A → B é injetiva se, e somente se,
∀X ⊆ A, f(A \X) = f(A) \ f(X).
2. [25 pontos] Dada uma família de conjuntos (Aλ)λ∈L, sejaX umconjunto satisfazendo
as seguintes propriedades:
1. Para todo λ ∈ L, tem-se X ⊆ Aλ,
2. se Y ⊆ Aλ para todo λ ∈ L, então Y ⊆ X .
Prove que X =
⋂
λ∈L Aλ.
3. [25 pontos] Seja X ⊆ N subconjunto infinito. Prove que existe uma única bijeção
crescente f : N → X .
4. [25 pontos] Prove que o conjunto das sequências crescentes {n1 < n2 < n3 . . .} de
números naturais não é enumerável.
5. [25 pontos] SejamA,B conjuntos de números reais positivos. Definamos o conjunto
A · B = {xy | x ∈ A, y ∈ B}. Prove que se A e B forem limitados, então A · B é
limitado, sendo sup(A ·B) = sup(A) · sup(B) e inf(A ·B) = inf(A) · inf(B).
Elaborado por Márcio Telles
mailto:marcio.telles_rj@uerj.br