Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a definição de sistemas de equações lineares, as 
operações elementares com as linhas de uma matriz e o método de Gauss. Além disso, 
conheceremos algumas das aplicações desse sistema em problemas do dia a dia. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir sistemas de equações lineares.•
Identificar um sistema de equações lineares homogêneo.•
Executar o método de eliminação de Gauss na resolução de um sistema de equações lineares.•
Infográfico
Veja no Infográfico o que são equações lineares e de que formas elas podem se apresentar.
 
 
Conteúdo do livro
Na leitura a seguir, você conhecerá o conceito de sistema de equação linear e as operações 
elementares com linhas. Poderá entender como funciona o método de Gauss e os sistemas de 
equações lineares homogêneos.
Para isso, acompanhe o trecho do livro Álgebra Linear, de Keith Nicholson, base teórica desta 
Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura!
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Álgebra Linearapresenta um
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1
2a Edição
ISBN 85-86804-92-4
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou distribuída de qualquer forma ou por qualquer meio, ou
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Tradução do original em inglês Elementary Linear Algebra
Copyright © 2004, 2001 de McGraw-Hill Ryerson Limited, uma subsidiária da The McGraw-Hill Companies, Inc.
ISBN da obra original: 0-07-091142-8
Diretor-geral: Adilson Pereira
Editora de Desenvolvimento: Ada Santos Seles
Preparação de Texto: Jorge Avelino
Imagem de Capa: © Hideki Kuwajima/Photonica
Editoração Eletrônica: Printfit Soluções
Se você tem dúvidas, críticas ou sugestões, entre em contato pelo endereço eletrônico: sac@grupoa.com.br
LinearAlgebra_FM_Portugues.qxd 29.08.56 10:16 AM Page ii
N624a Nicholson, W. Keith.
 Álgebra linear [recurso eletrônico] / W. Keith Nicholson ; 
tradução técnica: Célia Mendes Carvalho Lopes, Leila Maria 
Vasconcellos Figueiredo, Martha Salerno Monteiro. – 2. ed. – 
Porto Alegre : AMGH, 2014.
Editado como livro impresso em 2006.
ISBN 978-85-8055-477-9
1. Álgebra linear. I. Título.
CDU 517.986.3
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
1.2 Equações Lineares 11
Um conjunto finito de equações lineares é chamado sistema de equações lineares, ou
simplesmente sistema linear. Uma solução que satisfaz todas as equações do sistema é
chamada solução do sistema.
A essência da álgebra linear é um procedimento rotineiro de encontrar todas as soluções
de qualquer sistema de equações lineares. Primeiro vejamos alguns exemplos.
No Exemplo 1, o sistema de duas equações lineares
x + y = 480 000
10
100 x +
11
100 y = 50 000
tem solução X =
[
x
y
]
=
[
280 000
200 000
]
.
Observe que esse sistema tem uma única solução.
Um sistema de equações pode não ter solução. Por exemplo, o sistema
x + y = 1
x − z = 2
y + z = 1
não tem solução. Na verdade, a soma das últimas duas equações dá x + y = 3, contrariando a
primeira equação.
Um sistema de equações lineares é chamado inconsistente* se ele não tiver nenhuma
solução, e o sistema é chamado consistente quando ele admitir uma ou mais soluções.
Verifique que X = [1 + t − s 2 + t + s s t]T é uma solução para o sistema
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0
para todos os valores dos números s e t, nesse contexto chamados parâmetros.
Simplesmente substitua x1 = 1 + t − s, x2 = 2 + t + s, x3 = s e x4 = t em cada equação:
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = (1 + t − s) − 2(2 + t + s) + 3s + t = −3
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 2(1 + t − s) − (2 + t + s) + 3s − t = 0
Como ambas as equações são satisfeitas, X é solução para todo s e todo t. Observe que esse
sistema tem infinitas soluções, pois há infinitas escolhas para os parâmetros s e t.
De fato, toda solução do sistema no Exemplo 5 é da forma mostrada, para alguma
escolha de parâmetros s e t. Para entender por que isso acontece, e para ver como se chega
a conjuntos de soluções como aqueles do Exemplo 5, desenvolvemos um procedimento geral
para encontrar soluções dessa forma. Para simplificar os cálculos, introduzimos a notação
matricial para descrever sistemas de equações lineares. Dado o sistema
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0
de duas equações e quatro incógnitas, os coeficientes das incógnitas formam uma
matriz 2 × 4
[
1 −2 3 1
2 −1 3 −1
]
chamada matriz dos coeficientes do sistema. A matriz 2 × 5
[
1 −2 3 1 −3
2 −1 3 −1 0
]
S O L U Ç Ã O
Exemplo 5
Exemplo 4
Exemplo 3
1.2.2 Sistemas de Equações Lineares
* NTT: Os termos impossível e incompatível também são usados para denominar um sistema de equações lineares inconsistente,
assim como os termos possível ou compatível são também empregados para designar um sistema de equações consistente.
480.000
450.000
280.000
200.000
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 11
é chamada matriz completa ou também matriz aumentada do sistema (é a matriz dos
coeficientes acrescida da coluna formada pelos termos constantes). É evidente que o sistema
fica totalmente descrito pela matriz completa,7 portanto, não é surpresa que possamos
encontrar todas as soluções do sistema com a manipulação dessa matriz.
Para ver como isso é feito, convém chamar dois sistemas de equivalentes se eles
possuírem as mesmas soluções. Começando com um dado sistema de equações lineares,
nós o resolvemos escrevendo uma série de sistemas, um depois do outro, cada um deles
equivalente ao anterior. Como todos os sistemas têm as mesmas soluções, a finalidade é
encontrar um que seja fácil de resolver. Existe um método simples e rotineiro de realizar isso.
O exemplo a seguir proporciona uma ilustração.
Encontre todas as soluções para o sistema do Exemplo 5:
⎧
⎨
⎩
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0
O sistema está escrito a seguir junto com sua matriz completa;
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0
[
1 −2 3 1 −3
2 −1 3 −1 0
]
Primeiro eliminamos x1 da equação 2 por meio da subtração de duas vezes a primeira
equação da segunda. O resultado é o seguinte sistema (acompanhado de sua matriz
completa).
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
3x2 − 3x3 − 3x4 = 6
[
1 −2 3 1 −3
0 3 −3 −3 6
]
Esse novo sistema é equivalente ao original (ver Teorema 1 a seguir). Observe que a nova
matriz completa pode ser obtida diretamente da original se subtrairmos duas vezes a
primeira linha da segunda.
Agora multiplicamos a segunda equação por 13 para obter outro sistema equivalente
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = −3
x2 − x3 − x4 = 2
[
1 −2 3 1 −3
0 1 −1 −1 2
]
Mais uma vez, a nova matriz completa é resultado da multiplicação da segunda linha por 13 .
Finalmente, eliminamos x2 da equação 1 pela adição de duas vezesa segunda equação à
primeira. O resultado é o sistema (equivalente)
x1 + x3 − x4 = 1
x2 − x3 − x4 = 2
[
1 0 1 −1 1
0 1 −1 −1 2
]
Esse sistema é fácil de resolver. De fato, escolhendo-se arbitrariamente números x3 e x4, então
x1 e x2 podem ser encontrados de maneira que as equações sejam satisfeitas. Mais
precisamente, se estabelecermos que x3 = s e que x4 = t onde s e t são parâmetros
arbitrários, as equações passam a ser x1 + s − t = 1 e x2 − s − t = 2, portanto,
x1 = 1 + t − s e x2 = 2 + t + s
Isso nos dá a solução exibida no Exemplo 5 e, como todos os sistemas na série são
equivalentes (como será provado no Teorema 1), obtivemos todas as soluções para o
problema original.
Observe que, a cada estágio do procedimento acima, uma certa operação é executada no
sistema (e, portanto, na matriz completa) para produzir um sistema equivalente.
As operações a seguir, chamadas operações elementares, podem ser efetuadas
rotineiramente em sistemas para produzir sistemas equivalentes:
I Trocar a ordem das equações.
II Multiplicar uma equação por um número diferente de zero.
III Somar um múltiplo de uma equação com outra equação.
S O L U Ç Ã O
Exemplo 6
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes12
7 Quando um sistema é resolvido por um computador, é utilizada a matriz completa.
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 12
1.2 Equações Lineares 13
Valemo-nos apenas dos procedimentos II e III para o cálculo no Exemplo 6, mas a operação
do tipo I às vezes também tem sua utilidade. O teorema a seguir é crucial para o método que
estamos desenvolvendo.
Se uma operação elementar é executada em um sistema linear de equações, o sistema
resultante é equivalente ao original.
Demonstraremos o teorema para operações do tipo III; argumentos semelhantes funcionam
para operações dos tipos I e II.
Suponha que modificamos o sistema original mediante a substituição da equação p por
uma nova equação, formada pela adição de um múltiplo de outra equação q à equação p.
Então qualquer solução do sistema original irá satisfazer a nova equação (pois satisfaz ambas
as equações p e q) e, portanto, será a solução do novo sistema. Em contrapartida, o novo
sistema contém a equação q (porque p e q são equações diferentes). Isso significa que o novo
sistema pode ser transformado de volta ao sistema original mediante a subtração da nova
equação pelo mesmo múltiplo da equação q. Logo, o mesmo argumento mostra que toda
solução para o novo sistema é uma solução do sistema original. Conseqüentemente, os dois
sistemas têm o mesmo conjunto de soluções; portanto, operações do tipo III produzem
sistemas equivalentes.
O Teorema 1 tem conseqüências profundas na álgebra linear. Particularmente, ele
possibilita o uso do procedimento do Exemplo 6 em qualquer sistema de equações lineares.
A idéia é aplicar ao sistema uma série de operações elementares com o objetivo de encontrar
um sistema de fácil resolução. Como todos os sistemas criados dessa maneira são
equivalentes (pelo Teorema 1), as soluções do sistema fácil de resolver são também as
soluções do sistema original.
Como no Exemplo 6, as operações elementares efetuadas em um sistema de equações
lineares produzem manipulações correspondentes nas linhas da matriz completa (vistas
como matrizes-linha). Em cálculos feitos a mão (e em programas de computador) linhas são
mais fáceis de manipular do que equações. Por esse motivo, reenunciamos as três operações
elementares para as linhas:
I Trocar a ordem das linhas.
II Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
III Somar um múltiplo de uma linha com outra linha.
Essas são as chamadas operações elementares com as linhas. Temos aqui outro exemplo do
nosso método no qual todo o cálculo é efetuado por meio da manipulação da matriz completa.
Encontre todas as soluções para o seguinte sistema de equações lineares:
x1 + x2 − 3x3 = 3
−2x1 − x2 = −4
4x1 + 2x2 + 3x3 = 7
A matriz completa do sistema original é
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 −3 3
−2 −1 0 −4
4 2 3 7
⎤
⎥
⎥
⎦
.
Começamos utilizando o 1 no canto superior esquerdo para “limpar” a coluna 1; ou seja,
para obter zeros nas outras posições (isso corresponde a eliminar x1 das equações 2 e 3).
Mais precisamente, adicionamos duas vezes a linha 1 à linha 2 e subtraímos quatro vezes a
linha 3 da linha 1. O resultado é
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 −3 3
0 1 −6 2
0 −2 15 −5
⎤
⎥
⎥
⎦
.
Isso completa o trabalho na coluna 1.
S O L U Ç Ã O
Exemplo 7
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 1
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C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes14
Agora, usamos o 1 na segunda posição da linha 2 para limpar a coluna 2; isto é, para
obter zeros nas posições acima e abaixo (isso corresponde a eliminar x2 das equações 1 e 3).
Conseguimos isso subtraindo a linha 1 da 2, e adicionando duas vezes a linha 2 à linha 3.
Assim, temos
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 3 1
0 1 −6 2
0 0 3 −1
⎤
⎥
⎥
⎦
.
Observe que essas duas operações não afetaram a coluna 1 porque o primeiro elemento da
linha 2 é zero.
A seguir, dividimos a linha 3 por 3 para obter o número 1 na terceira posição:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 3 1
0 1 −6 2
0 0 1 − 13
⎤
⎥
⎥
⎦
.
Finalmente, limpamos a coluna 3 por meio da subtração da linha 1 por três vezes a linha 3, e
pela adição de seis vezes a linha 3 à linha 2:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 − 13
⎤
⎥
⎥
⎦
.
O sistema de equações lineares correspondente é
x1 = 2
x2 = 0
x3 = − 13
e a solução (única) X =
[
2 0 − 13
]T
está aparente. Como esse sistema de equações é
equivalente ao sistema original, essa é a solução para o sistema original.
Nos cálculos dos Exemplos 6 e 7, operações elementares com as linhas (na matriz completa)
conduziram a matrizes da forma
[
1 0 ∗ ∗ ∗
0 1 ∗ ∗ ∗
]
and
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 0 ∗
0 1 0 ∗
0 0 1 ∗
⎤
⎥
⎥
⎦
respectivamente, onde cada ∗ indica um número. Em ambos os casos, a solução foi facilmente
obtida pelos sistemas de equações correspondentes. As matrizes que aparecem são geralmente
descritas da maneira a seguir.
Dizemos que uma matriz está na forma escalonada por linha (e será chamada matriz
escalonada por linhas*) se as seguintes condições forem satisfeitas:
1. Todas as linhas nulas estão abaixo de todas as linhas não nulas.
2. O primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é igual a 1 e é chamado pivô.**
3. Cada pivô se localiza à direita de todos os pivôs das linhas acima dele.
Uma matriz está na forma escalonada reduzida se, além disso, satisfizer
4. Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna.
1.2.3 Método de Eliminação de Gauss8 
e
18 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele realizou descobertas fundamentais
em todos os tópicos da matemática, e fez importantes contribuições à astronomia e à física.
** NTT: Ou simplesmente denominada matriz escalonada.
** NTT: Alguns autores chamam-no 1-líder.
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Assim, as matrizes escalonadas possuem uma forma de “escada” como indicado a seguir
(novamente, os asteriscos indicam números arbitrários):
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 1 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Os pivôs se localizam à direita e abaixo uns dos outros, ao longo da matriz, e todo elemento
à esquerda e abaixo de um pivô é nulo. Em uma matriz escalonada reduzida, a condição
adicional é que todos os elementos acima de cada pivô também sejam nulos. Qualquer
matriz escalonada pode ser colocada na forma reduzida por meio de mais algumas
operações elementares por linhas (zerando um por um os elementos acima dos pivôs).
A primeira matriz abaixo está na forma escalonada, e a segunda, na forma escalonada
reduzida, para qual pode ser transformada por meio de operações por linhas:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 1 ∗ ∗
0 0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 ∗ 0 ∗ 0
0 0 1 ∗ 0
0 0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦
Em geral usamos uma seta → para indicar que foram efetuadas operações com as linhas.
Aqui temos um procedimento pelo qual qualquer matriz pode ser levada à formaescalonada (e depois, à forma escalonada reduzida, se desejado) utilizando nada além de
operações elementares de linhas.
Qualquer matriz pode ser levada à forma escalonada pelo método a seguir:
Passo 1. Se a matriz consiste inteiramente de zeros, pare: ela já se encontra na forma
escalonada.
Passo 2. Caso contrário, encontre a primeira coluna, vindo da esquerda, que contém um
elemento k não nulo, e mova a linha contendo esse elemento ao topo da matriz.
Passo 3. Multiplique a linha no topo por 1k para obter o primeiro pivô.
Passo 4. Anule cada elemento abaixo do pivô, subtraindo múltiplos de suas linhas das linhas
inferiores.
Isso completa a primeira linha; todas as demais operações por linha são efetuadas nas
demais linhas.
Passo 5. Repita os passos 1–4 na matriz formada pelas linhas remanescentes.
Observe que o algoritmo de Gauss* é recursivo no seguinte sentido: depois de se obter o
primeiro pivô, todo o processo é repetido nas demais linhas. Isso torna fácil de se usar o
método no computador. Observe ainda que, no passo 4, podemos também anular cada
elemento acima do pivô. Nesse caso, o algoritmo leva a matriz à forma escalonada reduzida
(como nos exemplos 6 e 7). A razão para a distinção entre as duas formas de escalonamento
será discutida posteriormente.
O algoritmo de Gauss certamente demonstra o teorema a seguir.
Toda matriz pode ser colocada na forma escalonada (reduzida, se desejado) mediante uma
seqüência de operações elementares por linhas.
TEOREMA 2
ALGORITMO DE GAUSS 9
Exemplo 8
1.2 Equações Lineares 15
* NTT: Também conhecido como escalonamento da matriz.
9 Embora Gauss tenha de fato usado esse procedimento, o método é atribuído aos chineses, que o utilizaram vários séculos antes.
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 15
Encontre todas as soluções do seguinte sistema de equações lineares:
x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 1
2x1 − 4x2 + x3 = 5
x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 4
A matriz completa é dada a seguir. Como o primeiro pivô está no lugar, passamos a anular
os demais elementos da coluna 1:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 −1 3 1
2 −4 1 0 5
1 −2 2 −3 4
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 −1 3 1
0 0 3 −6 3
0 0 3 −6 3
⎤
⎥
⎥
⎦
Agora subtraímos a segunda linha da terceira e então10 multiplicamos a segunda linha por 13 ,
para conseguir a matriz abaixo (agora na forma escalonada por linhas):
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 −1 3 1
0 0 1 −2 1
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Agora use o segundo pivô (na coluna 3) para anular os demais elementos da coluna 3 e,
portanto, conseguir a forma escalonada:
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 0 1 2
0 0 1 −2 1
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Essa forma é até onde o algoritmo de Gauss pode nos levar. O sistema de equações
correspondente é
x1 − 2x2 + x4 = 2
x3 − 2x4 = 1
0 = 0
Os pivôs estão nas colunas 1 e 3 e as incógnitas correspondentes, x1 e x3, são chamadas
variáveis dependentes. Para resolver o sistema, atribuímos valores arbitrários às variáveis
independentes* (chamados parâmetros), e então as duas equações são usadas para
determinar as variáveis dependentes em termos dos parâmetros. Mais precisamente,
escrevemos x2 = s, e x4 = t onde s e t são parâmetros arbitrários, de modo que as equações se
tornam x1 − 2s + t = 2 e x3 − 2t = 1. Resolvendo, obtemos x1 = 2 + 2s − t e x3 = 1 + 2t.
Logo, as soluções são dadas por
X = [2 + 2s − t s 1 + 2t t]T =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 + 2s − t
s
1 + 2t
t
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
A solução X = [2 + 2s − t s 1 + 2t t]T no Exemplo 9 é chamada solução geral do sistema
porque toda solução tem essa forma para alguma escolha de valores para os parâmetros s e t.
Quando a matriz completa de um sistema linear é transformada na forma escalonada
reduzida, as variáveis correspondentes aos pivôs são chamadas variáveis dependentes.
Assim, o método de resolução no Exemplo 9 fornece uma maneira de escrever as soluções de
qualquer sistema linear (desde que existam soluções).
Assuma que um sistema de equações lineares tem pelo menos uma solução. Então a solução
geral pode ser encontrada na forma paramétrica da seguinte maneira:
Passo 1. Reduza a matriz completa do sistema à forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 2. Atribua parâmetros às variáveis livres.
Método de Eliminação
de Gauss
S O L U Ç Ã O
Exemplo 9
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes16
10 Esses passos não estão na ordem especificada pelo algoritmo. Entretanto, o objetivo é levar a matriz à forma escalonada usando
alguma seqüência de operações por linhas. A seqüência estabelecida no algoritmo sempre irá funcionar, mas pode não ser a mais
eficiente.
1* NTT: Também chamadas variáveis livres.
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Passo 3. Use as equações correspondentes à forma escalonada reduzida para escrever as
variáveis dependentes em termos dos parâmetros.
Esse procedimento resolve qualquer sistema de equações que tem uma solução. O exemplo a
seguir mostra como o método revela que um sistema não tem solução.
No Exemplo 4 foi mostrado diretamente que o sistema
x + y = 1
x − z = 2
y + z = 1
não tem solução. A redução da matriz completa à forma escalonada é a seguinte:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 0 1
1 0 −1 2
0 1 1 1
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 0 1
0 −1 −1 1
0 1 1 1
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 0 1
0 1 1 −1
0 0 0 2
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 1 0 1
0 1 1 −1
0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦
Esta última matriz corresponde a um sistema no qual a última equação é
0x + 0y + 0z = 1.
É claro que nenhuma escolha de x, y e z irá satisfazer essa equação, logo esse último sistema
(e, portanto, o sistema original) não tem solução. Tipicamente é isso o que acontece quando
o sistema não tem solução.
Quando se usa o método de eliminação de Gauss para resolver um sistema grande é mais
eficiente reduzir a matriz completa apenas até a forma escalonada,11 atribuir parâmetros às
variáveis livres, e então calcular as variáveis dependentes fazendo substituição de trás para
frente. Use a última equação para encontrar a última variável dependente em termos dos
parâmetros, substitua esse valor na penúltima equação para calcular a penúltima variável
dependente e assim por diante. Esse método é mais eficiente do que transformar a matriz até
a forma escalonada reduzida, como pode ser confirmado por uma contagem do número de
operações envolvidas (ver na maioria dos livros de análise numérica).
Será demonstrado na Seção 1.6 (Teorema 4) que:
A forma escalonada reduzida de uma matriz A é unicamente determinada por A.
Isto é, independentemente de qual série de operações por linha é usada para levar A à
matriz na forma escalonada reduzida, o resultado será sempre o mesmo. Entretanto, a
mesma matriz pode ser levada a diferentes matrizes na forma escalonada. Por exemplo,
se A =
[
1 3 4
2 7 9
]
, então
A →
[
1 3 4
0 1 1
]
and A →
[
1 3 4
0 1 1
]
→
[
1 2 3
0 1 1
]
.
Portanto A pode ser levada a duas matrizes escalonadas diferentes
[
1 3 4
0 1 1
]
and 
[
1 2 3
0 1 1
]
.
Entretanto mostraremos na Seção 4.4 que:
O número de pivôs deve ser o mesmo, independentemente de como é feito o
escalonamento de A.
Esse número de pivôs é chamado posto da matriz A e é denotado por posto(A).
1.2.4 Posto de uma Matriz
Exemplo 10
1.2 Equações Lineares 17
e A
e
11 Isso é com freqüência conhecido como algoritmo de Gauss, particularmente em análise numérica.
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 17
Calcule o posto de A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 −1 3
2 1 1 5
−1 4 −5 −1
⎤
⎥
⎥
⎦
.
A matriz A é levada à forma escalonada da seguinte maneira:
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 −1 3
2 1 1 5
−1 4 −5 −1
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 −1 3
0 −3 3 −1
0 6 −6 2
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 −1 3
0 1 −1 13
0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Como há dois pivôs, temos que posto (A) = 2.
A relação entre posto e sistemas de equações lineares é dada no seguinte teorema.
Suponha que um sistema de m equações em n indeterminadas tem pelo menos uma solução.
Se o posto da matriz completa é r, o conjunto de soluções tem exatamente (n − r) parâmetros.
Reduza a matriz completa do sistema a uma forma escalonada R. Então R tem r pivôs (já que
o posto é r),logo há exatamente r variáveis dependentes. Conseqüentemente, há (n − r)
variáveis livres e a cada uma delas associamos um parâmetro.
O Teorema 3 tem um número surpreendente de conseqüências e será usado várias vezes
no que segue. Vimos exemplos de sistemas sem solução, com uma solução, ou com infinitas
soluções; a primeira aplicação do Teorema 3 é mostrar que essas são as únicas possibilidades.
Para qualquer sistema de equações lineares há exatamente três possibilidades:
(1) Não há solução.
(2) Há uma única solução.
(3) Há infinitas soluções.
Se existir uma solução, então ou toda variável é uma variável dependente (solução única) ou
há pelo menos uma variável livre (infinitas soluções porque há um parâmetro envolvido).
Como salientado anteriormente, um sistema de equações lineares é chamado consistente
se ele tem pelo menos uma solução. O sistema é dito inconsistente se ele não tiver nenhuma
solução. Assim, um sistema consistente tem ou uma única solução ou infinitas soluções.
Ele não pode ter, digamos, exatamente duas soluções.
A veracidade do Teorema 4 pode ser vista graficamente para um sistema de duas equações
em duas incógnitas x e y. Lembre-se que o gráfico de uma equação da forma ax + by = c é
uma reta, se a e b forem não ambos nulos, e que
[
s
t
]
é uma solução da equação exatamente
quando o ponto P(s, t) com coordenadas (s, t) está sobre a reta.
Considere agora um sistema
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
(∗∗)
Os gráficos dessas equações são duas retas, L1 e L2 desde que a1 e b1 sejam não ambos nulos,
e que a2 e b2 sejam não ambos nulos. Geometricamente, aqui estão três possibilidades para
essas duas retas (ilustradas na Figura 1.1):
(1) As retas são paralelas e distintas O sistema (∗∗) não tem solução porque não há ponto
comum às duas retas
(2) As retas não são paralelas O sistema (∗∗) tem uma única solução que
corresponde ao ponto de intersecção das retas
(3) As retas são coincidentes O sistema (∗∗) tem infinitas soluções, uma para
cada ponto sobre a reta comum.
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 4
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 3
S O L U Ç Ã O
Exemplo 11
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes18
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 18
1.2 Equações Lineares 19
Claramente essas três possibilidades correspondem àquelas no Teorema 4.
Figura 1.1
O gráfico de uma equação ax + by + cz = d é um plano no espaço se a, b e c forem não
todos nulos (isso será discutido com detalhes na Seção 3.3). Logo, um sistema com 2
equações e 3 incógnitas pode ou não ter soluções (os planos são paralelos) ou ter infinitas
soluções (os planos coincidem ou se interceptam em uma reta). Uma solução única não é
possível nesse caso. Isso ilustra o Teorema 3 já que há n = 3 indeterminadas e a matriz
completa tem posto r ≤ 2 (porque há duas equações), logo n − r ≥ 3 − 2 = 1, que
corresponde ao número de parâmetros.
Um argumento gráfico similar pode ser dado para ver que um sistema com três equações
em três indeterminadas tem que ter ou nenhuma, ou uma, ou infinitas soluções, como no
Teorema 4. Entretanto, o argumento geométrico falha para sistemas com mais que três
incógnitas, e temos que confiar no Teorema 4.
Y
X0
L1 = L2
Infinitas
Soluções
(3)
Y
X0
L1 L2
Uma Única
Solução
(2)
Y
X0
L1
L2
Sem 
Solução
(1)
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 19
1.3 Sistemas Homogêneos 21
Nesta seção, vamos nos concentrar em uma classe particular de sistemas de equações
lineares, a saber, os sistemas em que o termo constante de cada equação é igual a 0.
Um sistema de equações lineares é denominado homogêneo se todos os termos
constantes forem nulos. Assim, uma equação linear homogênea típica, em n indeterminadas
x1, x2, · · · , xn tem a forma
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0.
Como os termos constantes são todos nulos, qualquer sistema homogêneo admite sempre a
solução trivial
x1 = 0, x2 = 0, · · · , xn = 0
em que toda variável é igual a zero. Muitos problemas práticos se resumem em descobrir se
um sistema homogêneo tem alguma solução não-trivial, ou seja, uma solução em que pelo
menos uma das variáveis é diferente de zero. O teorema a seguir apresenta uma situação
importante em que isso certamente ocorre.
Se um sistema de equações lineares homogêneo tem mais incógnitas que equações, então ele
admite uma solução não-trivial.
Suponha que existam m equações em n incógnitas, de forma que nossa hipótese é que
n > m. Se r é o posto da matriz completa, então r ≤ m porque o número r de pivôs não
pode exceder o número m de equações. Portanto, r ≤ m < n, donde r < n. Pelo Teorema 3
da Seção 1.2, isso significa que o número n − r de parâmetros é não-nulo. Então existem
(infinitas) soluções não-triviais.
A existência de uma solução não-trivial é freqüentemente o resultado desejado para um
sistema homogêneo. O exemplo a seguir fornece uma ilustração de como o Teorema 1 pode
ser usado em geometria.
O gráfico de uma equação ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 é chamada cônica se a, b e c
forem não todos nulos. (Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas são exemplos de
cônicas.) Mostre que há pelo menos uma cônica que passa por quaisquer cinco pontos
fixados no plano que não estejam alinhados.
Suponha que as coordenadas dos cinco pontos sejam (p1, q1), (p2, q2), (p3, q3), (p4, q4),e
(p5, q5). O gráfico da equação ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 passa pelo ponto (pi, qi) se 
ap2i + bpiqi + cq
2
i + dpi + eqi + f = 0
Como há cinco pontos, temos cinco equações lineares homogêneas nas seis incógnitas 
a, b, c, d, e e f. Conseqüentemente, há uma solução não-trivial, pelo Teorema 1. Se nessa
solução ocorrer a = b = c = 0, então todos os cinco pontos estão sobre a reta de equação
dx + ey + f = 0, contrário às nossas suposições. Por essa razão, a, b ou c é não-nulo e temos
uma cônica.
S O L U Ç Ã O
Exemplo 1
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 1
1.3.1 Sistemas Homogêneos
1.3 SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 21
Claramente, o método de eliminação de Gauss também funciona para sistemas homogêneos.
Na verdade, ele fornece um modo de escrever as soluções de modo conveniente, que será
necessário mais adiante.
Resolva o seguinte sistema homogêneo:
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0
−x1 + 2x2 + x4 = 0
2x1 − 4x2 + x3 = 0
e expresse as soluções como somas de múltiplos escalares de soluções específicas.
A matriz completa é reduzida da seguinte maneira:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 1 1 0
−1 2 0 1 0
2 −4 1 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 1 1 0
0 0 1 2 0
0 0 −1 −2 0
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 0 −1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Por essa razão, as variáveis dependentes são x1 e x3, e as variáveis livres x2 e x4 tornam-se
parâmetros: x2 = s e x4 = t. Assim, as equações no sistema final determinam as variáveis
dependentes em termos dos parâmetros:
x1 = 2s + t and x3 = −2t
Isso significa que a solução geral é X = [2s + t s − 2t t]T. A nova idéia agora é separar
esse resultado em parcelas, de modo que em cada uma apareça apenas um dos parâmetros
s ou t:
X =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2s + t
s
−2t
t
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2s
s
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
t
0
−2t
t
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= s
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ t
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
−2
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Assim, X1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e X2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
−2
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
são soluções particulares, e a solução geral X tem
a forma X = sX1 + tX2.
As soluções particulares X1 e X2 no Exemplo 2 são chamadas soluções básicas do sistema
homogêneo. Elas têm a propriedade que toda solução X é da forma
X = sX1 + tX2 onde s e t são números arbitrários.
Esse fato acontece em todo sistema homogêneo.
Para descrever a situação geral, a seguinte terminologia será útil: se X1, X2, · · · , Xk são
colunas, uma expressão da forma 
s1X1 + s2X2 + . . . + skXk onde s1, s2, · · · , sk são números arbitários 
é chamada combinação linear das colunas X1, X2, · · · , Xk. Dado qualquer sistema de
equações lineares homogêneo,um cálculo como o feito no Exemplo 2 resulta na expressão
de toda solução do sistema como uma combinação linear de certas soluções particulares.
Essas soluções particulares são chamadas soluções básicas produzidas pelo algoritmo de
Gauss. (É claro que o sistema pode ter apenas a solução trivial; nesse caso, dizemos que o
sistema não tem soluções básicas.)
S O L U Ç Ã O
Exemplo 2
1.3.2 Soluções Básicas
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes22
e
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 22
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do professor
Um sistema linear pode ser chamado de inconsistente, se não tiver nenhuma solução, e de 
consistente se tiver uma ou mais soluções. O sistema que tem mais de uma solução é chamado 
indeterminado, pois tem infinitas soluções. Esses e outros conceitos são apresentados no vídeo da 
Dica do Professor a seguir para auxiliá-lo em seus estudos e na resolução dos exercícios desta 
Unidade de Aprendizagem.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/b1c9bf9566d41330649ac70dec40b028
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
O vídeo a seguir reforça os conceitos aprendidos sobre Sistemas 
Lineares utilizando a resolução de exercícios como exemplo.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Acesse no link a seguir, o livro de Matemática Volume 3 da 
coleção Explorando o Ensino do MEC, que trata de Álgebra 
Linear.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Além do livro-base do curso, os sistemas de equações lineares 
também podem ser explorados no livro: ANTON, H. BUSBY, R. C. 
Álgebra Linear Contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
https://www.youtube.com/embed/7csw_j35F5A?rel=0
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12583%3Aensino-medio&Itemid=1152