Geometria Analítica e Álgebra Linear

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
E ÁLGEBRA 
LINEAR
PROF.a DÉBORA CERVELLINI
SANT ANNA
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof.a Débora Cervellini Sant Anna
GEOMETRIA 
ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR 
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Professor Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
07
16
23
31
40
47
56
65
74
82
90
97
104
112
121
MATRIZES
DETERMINANTE
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E 
SUAS APLICAÇÕES
COORDENADAS NO PLANO CARTESIANO
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E PONTOS 
COLINEARES
EQUAÇÃO DA RETA 
CÔNICAS: ELIPSE E HIPÉRBOLE
CÔNICAS: PARÁBOLA
LUGAR GEOMÉTRICO
VETOR
OPERAÇÕES COM VETORES
ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL
EQUAÇÃO DO PLANO 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES E 
ORTOGONAIS
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INTRODUÇÃO
A Álgebra Linear constitui um fundamento essencial da Matemática, dedicando-se 
ao estudo de estruturas algébricas, transformações lineares e sistemas de equações 
lineares. De maneira semelhante, a Geometria Analítica representa um segmento da 
Matemática que investiga a geometria em suas dimensões plana e espacial através 
de métodos algébricos.
Os propósitos desta disciplina envolvem tanto o aprimoramento de competências 
práticas quanto a introdução, desenvolvimento e compreensão teórica de um conjunto 
de conceitos fundamentais da álgebra linear, os quais servirão como instrumentos 
indispensáveis para o suporte às unidades curriculares mais especializadas da 
engenharia. Entre os objetivos mais relevantes deste curso de álgebra linear e 
geometria analítica, destacam-se: a utilização de ferramentas próprias dessas áreas 
para solucionar problemas práticos e teóricos em diversas disciplinas; o fortalecimento 
do raciocínio lógico e a habilidade de lidar com abstrações matemáticas; além do 
exame das matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares e vetores no plano 
e no espaço com aplicações na geometria analítica, assim como uma introdução aos 
conceitos básicos sobre espaços vetoriais e subespaços.
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CAPÍTULO 1
MATRIZES
Olá, estudantes! Daremos início aos nossos estudos neste curso com o tema das 
matrizes. Este conceito é amplamente aplicado em diversas áreas do conhecimento. Na 
computação, por exemplo, as matrizes desempenham um papel crucial na criptografia e 
no método de Hill, cuja finalidade é aumentar a segurança na transmissão de informações. 
Outro uso interessante das matrizes pode ser observado na área da saúde; especificamente, 
na tomografia computadorizada, onde o tomógrafo envia os sinais captados para um 
computador que os converte em uma matriz composta por zeros e uns, sendo que 
cada matriz corresponde a um pixel da imagem desejada. Dessa forma, podemos 
observar como as matrizes estão integradas ao nosso cotidiano, frequentemente sem 
que percebamos. Ao longo da disciplina, iremos explorar suas aplicações nas ciências 
exatas, bem como suas regras e propriedades. Desejo a todos bons estudos!
1.1 Definição e representação
A matriz é uma tabela com dados numéricos, organizados em linhas e colunas que 
tem por finalidade relacionar esses dados. 
Exemplo: 
Observe a tabela abaixo que relaciona a composição de diferentes produtos e a 
inflação, em porcentagem, de 2022 e a projeção para 2023. 
Tabela 1- Inflação em 2022 e projeção para 2023
FONTE: FGV IBRE.
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Esta tabela pode ser representada pela matriz abaixo , onde possui 7 linhas 
e 2 colunas:
1
Representamos a matriz por , e ela recebe um nome que é uma 
letra maiúscula do nosso alfabeto, veja: 
Os elementos dessa matriz A serão representados por aij, onde i representa a linha 
e j a coluna. Genericamente, representamos a matriz A do tipo mxn por . 
Observe o exemplo abaixo:
Seja a matriz , ela possui 3 linhas e 3 colunas. Seus elementos são:
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Encontre a matriz ,onde 
Resolvendo:
Em primeiro lugar, vamos montar uma matriz genérica que tenha 3 linhas e 2 
colunas.
Usando a lei de formação dada pelo exercício, temos:
Logo, temos: .
1.1.1 Matrizes especiais 
As matrizes recebem nomes de acordo com suas características, vamos ver os 
casos mais importantes:
a) Matriz nula: É a matriz onde todos seus elementos são zero.
b) Matriz linha: É a matriz onde possui apenas uma linha e o número de colunas 
pode variar.
 
c) Matriz coluna: É a matriz que tem apenas uma coluna e o número de linhas 
pode variar.
 
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d) Matriz quadrada: É a matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo 
número de colunas, ou seja, m=n.
 
ANOTE ISSO
A matriz quadrada possui duas diagonais; a diagonal principal e a diagonal 
secundária. 
e) Matriz identidade: É uma matriz quadrada que possui a sua diagonal principal 
com valor de 1 (um) e os outros elementos é zero. Indicamos a matriz identidade 
por I.
Exemplos: 
f) Matriz oposta: É a matriz onde todos os seus elementos têm o seu valor oposto. 
Ela é indicada por um sinal negativo.
Exemplo: 
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g) Matriz transposta: É a matriz que inverte a quantidade de linhas pela quantidade 
de colunas e como consequência inverte os seus elementos também, ou seja, 
dada uma matriz sua transposta será onde para todo 
i e j.
Exemplos:
 
1.1.1.1 Igualdade de matrizes 
Para que duas matrizes sejam iguais, elas têm que ser do mesmo tipo, e todos os 
elementos da primeira matriz tem que ser iguais aos elementos da segunda matriz.
Exemplos: 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos determinar x e y, de modo que se tenha:
Resolvendo:
Como as duas matrizes são iguais, temos que todos os seus elementos também 
serão iguais, logo: 
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1.1.1..2 Operações com matrizes 
a) Adição
Dadas duas matrizes:
 temos
para todo i e j, ou seja, temos que subtrair cada elemento de uma matriz pelo seu 
correspondente da outra matriz.
 Exemplos: 
b) Subtração
Dadas duas matrizes:
 temos , para todo i e 
j, ou seja, é necessário subtrair cada elemento de uma matriz pelo seu correspondente 
da outra matriz.
ANOTE ISSO
Para o caso da subtração, temos que ficar bastante atentos com as regras de 
sinais:
(+) . (-) = -
(-) . (-) = +
(+) . (+) = +
(-) . (+) = -
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	MATRIZES
	Determinante
	Sistemas de equações lineares
	Classificação de sistemas lineares e suas aplicações
	Coordenadas no plano cartesiano
	DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E PONTOS COLINEARES
	Equação da reta 
	Cônicas: Elipse e hipérbole
	Cônicas: Parábola
	Lugar geométrico
	VETOR
	Operações com vetores
	Espaço e subespaço vetorial
	Equação do plano 
	Transformações lineares e ortogonaisObserve que:
-1 - 3 = - 4, pois estamos somando parcelas negativas, logo dará um negativo.
5 – (-2) = 5 + 2 = 7, pois usamos regra de sinal analisada anteriormente.
c) Multiplicação de um número real por uma matriz
Dada a matriz e um número real k, temos 
, ou seja, iremos multiplicar todos os elementos da matriz por esse número real.
Exemplos:
 
d) Multiplicação de matrizes
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ANOTE ISSO
1. Para fazer a multiplicação das matrizes, é necessário que o número de colunas 
da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda.
2. A matriz resultante terá a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e a 
mesma quantidade de coluna da segunda matriz.
Exemplo 1:
• Dadas as matrizes:
Como a matriz A tem 3 colunas e a matriz B tem 3 linhas, podemos realizar a 
operação, e mais o resultado da multiplicação será 2x1.
1º passo: multiplicaremos os elementos da primeira linha da primeira matriz pelos 
elementos da primeira coluna da segunda matriz.
2º passo: somaremos todos os resultados. 
Veja:
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3º) Passo: vamos repetir o processo para a segunda linha 
Exemplo 2:
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Dadas as matrizes: , calcular -2A 
+B.C
Na primeira etapa, vamos multiplicar a matriz A por -2.
Agora, vamos fazer a multiplicação das matrizes B e C:
E, por fim, faremos -2A +B.C:
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CAPÍTULO 2
DETERMINANTE
Caro aluno, vamos estudar o determinante neste capítulo, sua teoria teve origem em 
meados do século XVII para resolver sistemas lineares de equações, hoje ele é muito 
utilizado para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. Bons estudos!
2.1 Determinante para 
O determinante é um número real oriundo de uma matriz quadrada de elementos 
reais. 
Simbolizamos determinante da matriz A por det A e usamos para representá-lo.
Exemplo: 
1º) Se a matriz quadrada A tem ordem 1, então seu determinante será o único 
elemento de A, ou seja:
Exemplo: 
2º) Se a matriz quadrada A tem ordem 2, seu determinante será a multiplicação da 
diagonal principal subtraída da multiplicação da diagonal secundária.
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Exemplos: 
ANOTE ISSO
Na trigonometria na circunferência temos a relação fundamental da trigonometria:
3º) Se a matriz quadrada tem ordem 3, seu determinante segue os passos a seguir:
Dada a matriz :
1º passo: Repetir as duas primeiras colunas.
2º passo: Multiplicar as três diagonais mantendo o sinal do produto.
3º passo: Multiplicar as três diagonais da volta invertendo o sinal.
4º passo: Somar todos os resultados. Esse processo se chama Regra de Sarrus.
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Exemplos:
a) Calcule o determinante da matriz abaixo:
Vamos seguir os passos da instrução:
1º passo: 
2º passo: 
3º passo:
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4º passo:
det A = 62 + 18 = 80
 
Agora que você já entendeu o processo vamos fazer um pouco mais compacto.
b) Calcule o determinante da matriz abaixo:
Logo det M = 58
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Dada a matriz M de ordem 2, onde , calcule det A.
Resolução:
Como vimos no capítulo anterior, temos que montar a matriz genérica.
Vamos calcular o determinante da matriz M.
2) Dadas as matrizes A, B e C, calcular a matriz D, onde D=A.B – 2C.
1º) calcular A.B 
2º) Calcular 2C.
3º) Calcular D = A.B – 2C
4º) Calcular det D
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2.1.1: Propriedades dos determinantes 
a) Matriz transposta
Se A é uma matriz de ordem n e é sua transposta, então .
Exemplo:
b) Linha ou coluna (fila) nula.
Se os elementos de uma matriz A tiver uma linha ou uma coluna zerada, então 
det A = 0
Exemplo: 
c) Multiplicação de uma fila por uma constante.
Se multiplicarmos uma fila por uma constante K, seu determinante também ficará 
multiplicado por K.
Exemplo: 
Vamos multiplicar a última linha por 3.
d) Trocar filas paralelas.
Seja A uma matriz de ordem . Se trocarmos de posição duas linhas ou duas 
colunas paralelas, teremos uma nova matriz tal que: 
Exemplo: 
e) Filas paralelas iguais.
Se A é uma matriz e se tiver duas linhas ou duas colunas iguais, então det A = 0.
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Exemplos: 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Calcular , sabendo que det M = 12.
Resolução:
Pela propriedade a), temos que det M = = 12.
Calcular o determinante de M sendo:
Resolução:
O valor do determinante de M será zero, pois temos uma coluna toda com valores 
zero. (propriedade b)
Atividade: Uma pesquisa foi realizada com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 
anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o 
peso médio p(x) , em quilogramas , era dado pelo determinante da matriz A, em que :
Então, com base na relação p(x) = det A, qual o peso médio de uma criança de 7 anos? 
Resolução:
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CAPÍTULO 3
SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES LINEARES
Neste capítulo estudaremos como podemos escrever sistemas na forma de matriz 
e ainda métodos para resolver os sistemas de equação linear. Eles são muito usados 
na física, matemática, engenharia entre outras áreas.
3.1Equações lineares
Chamamos de equação linear toda a equação do tipo 
para as incógnitas 
Exemplos: 
ANOTE ISSO
Não são equações lineares:
3.1.1 Sistemas de equações lineares 
Dadas m equações lineares , temos: 
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O sistema S pode ser escrita na forma de matricial:
Exemplos:
• Na sua forma matricial: 
• Na sua forma matricial: 
3.1.1.1 Regra de Cramer
Essa abordagem foi desenvolvida pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752) 
no século XVIII, visando resolver sistemas que apresentavam um número arbitrário de 
incógnitas. A regra de Cramer é um método para a resolução de sistemas de equações 
lineares, que se baseia no cálculo de determinantes.
Assim, seja um sistema de n equações e n incógnitas, temos que: 
Onde é o determinante onde a coluna “n” será trocada pela matriz dos resultados.
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Exemplos: 
Observe que trocamos a coluna do x pela coluna dos resultados. 
Observe que trocamos a coluna do y pela coluna dos resultados.
 
Logo: 
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3.1.1.1 Escalonamento
Este processo visa resolver o sistema eliminando as incógnitas através de 
combinações lineares até descobrir o valor da primeira incógnita e as outras como 
consequência. Para melhor entendimento do processo iremos fazer um passo a passo 
usando exemplo numérico.
1º passo: Escolher uma equação é uma incógnita
Vamos escolher a 2ª equação e a incógnita x.
 
2º passo: Montar um novo sistema com a equação 1 e 2 e multiplicar a 1ª equação 
por (-1) pois assim conseguiremos eliminar a incógnita x. 
3º passo: Repetir o processo para as equações 2 e 3, porém multiplicando a equação 
3 por (-1).
4º passo: Montar um novo sistema com as equações 4 e 5. Observe que eliminamos 
a incógnita x, que era o nosso objetivo. 
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5º passo: para eliminar a incógnita z vamos multiplicar a equação 4 por (-3).
6º passo: Substituir y = -2 na equação 4 ou 5, aqui usaremos a equação 4.
7º passo: Substituir y = -2 e z= 3 nas equações 1 ou 2 ou 3, usaremos a equação 1.
Exemplo:
Dado o sistema abaixo, resolva usando o processo de escalonamento.
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• 1ª equação com a 2ª, cortando o x.
• 1ª equação com a 3ª, cortando o x.
• 4ª equação com a 5ª, cortando o y.
• Substituindo z=0 na 4ª equação, temos:
• Substituindo z=0 e y=3 na 1ª equação, temos:
Logo 
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ANOTE ISSO
1º passo: temos que escolher uma equação para ser afixa, se você escolher outra 
diferente, o desenvolvimento será diferente, porém o resultado será igual.
2º passo: se você eliminar uma incógnita no 2º passo e outra incógnita diferente no 3º 
passo, não terá escalonado o sistema e, portanto, não terá solução.
3º passo: os sistemas estudados neste capítulo serão sistemas possíveis e 
determinados, têm única solução; no próximo capítulo, estudaremos outros casos.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Suponha que João foi em uma lanchonete para tomar um lanche e observou o 
cartaz que ofertava algumas promoções. Nessa promoção, qual o preço do salgado, 
do refrigerante e do bolo?
Título - lanchonete da Dri
Fonte:elaborada pelo autor (2024)
Resolução:
Transformando o problema em um sistema.
1ª equação e 2ª equação
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1ª equação e 3ª equação 
Agora, montando um novo sistema.
Substituindo na 5ª equação:
Substituindo na 1ª equação;
Logo temos que o preço do salgado é R$ 6,00, do refrigerante é R$5,00 e do bolo é 
R$6,00.
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CAPÍTULO 4
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
LINEARES E SUAS APLICAÇÕES
Prezados(as). No capítulo anterior, compreendemos os métodos de resolução para 
o sistema que tem única solução. Neste, iremos estudar a classificação dos sistemas, 
sua interpretação geométrica, discussão e suas aplicações. 
Bons estudos!
4.1 Classificação dos sistemas
Os sistemas podem se classificar em :
• SPD: sistema possível e determinado
• SPI: sistema possível e indeterminado
• SI: sistema impossível .
Vamos analisar cada um dos casos:
1°) Sistema possível e determinado:
É o sistema que possui uma única solução. 
Observe: 
1Gráfico em 3D
Figura: Gráfico em 3D 
Fonte: elaborada pela autora 
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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Figura: Gráfico em 2D 
Fonte: elaborada pela autora 
O ponto de encontro das três retas é a solução do sistema.
2°) Sistema possível e indeterminado:
Neste caso temos infinitas soluções e sua resposta tem que satisfazer isso. Vamos 
observar no exemplo abaixo:
Gráfico em 3D
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Os pontos de encontro do gráfico é uma reta e a sua solução não é tão trivial assim, 
por isso iremos resolver o sistema pelo método de escalonamento, como estudamos 
no capítulo anterior. 
Equações 1 e 2 cortando o x.
Equações 1 e 3 cortando o x
Observe que as equações 4 e 5 são iguais, mas poderiam ser proporcionais também, 
em qualquer dos dois casos iremos cortar todas as incógnitas e não encontraremos 
valor algum.
Equações 4 e 5:
Esta sentença, 0=0, é verdadeira, porém não nos dá a solução do sistema. Para 
encontrarmos uma solução que satisfaça o sistema iremos chamar o y=k, por exemplo, 
e escrever x e z em função de k.
Pela equação 4 e fazendo y =K, temos:
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Voltando na equação 1, temos:
Portanto:
 
ANOTE ISSO
Vamos entender esta solução. Já sabemos que neste caso temos infinitas 
soluções e a solução encontrada é satisfeita para todos os valores de 
E assim por diante, logo temos infinitas soluções.
3°) Sistema impossível:
Pelo próprio nome nos diz, este sistema não tem solução, ou seja, não existe ponto 
de encontro das três equações.
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Fonte: Gráfico em 3D
elaborada pela autora 
Vamos resolver por escalonamento.
Equação 1 e 2, eliminando o x.
Equação 1 e 3, eliminando o x.
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Equação 4 e 5, eliminando o y.
Portanto:
Esta é uma sentença falsa, logo impossível. 
ANOTE ISSO
Um conjunto vazio pode ser simbolizado por , mas não pode ser escrito 
, pois esta simbologia significa que o conjunto tem um elemento dentro que é o 
vazio.
4.1.1 Discussão do sistema 
Neste momento em que você já está familiarizado com as soluções viáveis para 
um sistema, procederemos à sua análise e o debate de suas potencialidades; para 
tal análise, aplicamos a regra de Cramer.
Exemplo:
Discutir o sistema abaixo em função do parâmetro K.
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Logo se K=1 então o sistema será impossível.
Vamos continuar a análise para descobrir se o sistema é SPD ou SPI.
Para qualquer valor de k diferente de 1, temos que o sistema será SPD. 
Observe:
Portanto temos: 
4.1.1.1 Aplicação dos sistemas 
Vamos estudar um caso muito comum de aplicação usada na física, os circuitos 
elétricos. 
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Aplicando a lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff, temos: 
Equações 1 e 2 
Equações 1 e 3
Equações 4 e 5 (multiplicada por -2)
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Substituindo na equação 5, temos:
 
Substituindo na equação 1, temos: 
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CAPÍTULO 5
COORDENADAS NO 
PLANO CARTESIANO
Olá, estudantes! Neste capítulo, daremos início a geometria analítica, e é muito 
importante entender as noções básicas do plano cartesiano e todas as nomenclaturas 
envolvidas para que o estudo da geometria seja satisfatório. 
Bons estudos!
5.1 Noções básicas
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano 
Fonte: Própria autora
Nessas condições temos:
a) Abscissa é o eixo x.
b) Ordenada é o eixo y.
c) A origem do sistema é o ponto O.
d) O plano cartesiano é o plano 
e) O ponto A é composto pelas coordenadas x e y e é indicado pelo par ordenado 
(x,y). 
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Exemplo:
Vamos localizar os pontos A (5,0); B (0,-4); C (1,5); D (-4,3); E (0,5;0,5)
Notamos que os pares (5,1) e (1,5) não são iguais. Eles se diferenciam pela ordem 
de seus termos.
De maneira geral mais geral, se a e b são números reais diferentes, então:
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5.1.1 Posições de um ponto em relação ao sistema
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes.
Exemplo: 
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• O ponto E pertence ao eixo das abcissas, logo pertence a dois quadrantes, 1º 
e 4º, e é representado pelo par ordenado (E,0).
• O ponto F pertence ao eixo das ordenadas, logo pertence a dois quadrantes, 1º 
e 2º, e érepresentado pelo par ordenado (0,F).
5.1.1.1 Bissetriz
A bissetriz é um segmento de reta que divide um ângulo ao meio, no caso do plano 
cartesiano temos 2 bissetrizes, a dos quadrantes pares e dos quadrantes ímpares.
a) Bissetriz dos quadrantes ímpares 
Observe que para todos os pontos pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares 
temos x=y.
a) Bissetriz dos quadrantes ímpares 
Observe que para todos os pontos pertencentes a bissetriz dos quadrantes pares 
temos x = -y.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Dados os pontos: 
• Indique quais são pertencentes:
a) ao 1º quadrante e) ao eixo das abcissas
b) ao 2º quadrante f) ao eixo das ordenadas
c) ao 3º quadrante g) a bissetriz dos quadrantes pares
d) ao 4º quadrante h) a bissetriz dos quadrantes ímpares 
Resolução:
a) A, F, I, J, L, E e) E, F, H
b) A, E, H, I f) E, G, I 
c) B, E, G, H g) A, B, E, L
d) C, E, F, G, K h) C, D, E, K
• Se A(m + 2n, m -4) e B(2 – m, 2n) representam o mesmo ponto no plano 
cartesiano, calcule m + n.
Resolução:
Como A e B são o mesmo ponto temos:
Logo temos m + n = 2 – 1 = 1
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• Se A (x+3, 2x-5) pertence a bissetriz dos quadrantes pare, quais são as 
coordenadas do ponto A?
Resolução:
Como a bissetriz dos quadrantes pares, temos .
5.1.1.1 Ponto médio 
O ponto médio constitui um conceito essencial na geometria analítica, uma vez 
que possibilita a identificação do ponto preciso que segmenta uma reta em duas 
partes equivalentes. Essa noção é particularmente importante em diversas aplicações 
matemáticas, em áreas como geometria, física, computação gráfica, entre outras.
Seja o ponto médio do segmento onde temos:
 
Exemplo:
Obter o ponto médio do segmento quando A=(7,-1) e B= (-3,11).
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Resolução : 
então C= (2,5)
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CAPÍTULO 6
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
E PONTOS COLINEARES
Prezado aluno, neste capítulo abordaremos o cálculo da distância entre dois pontos e 
a colinearidade, ambos de significativa relevância na geometria e em outras disciplinas. 
O cálculo da distância entre dois pontos proporciona medidas precisas, permitindo 
analisar a disposição de objetos no espaço e estabelecer a proximidade entre eles, 
aspecto fundamental em aplicações como navegação, planejamento urbano e redes 
de comunicação. 
A compreensão da colinearidade é crucial para várias aplicações práticas e teóricas, 
incluindo áreas como geometria, física, geografia, cartografia, ciência da computação, 
estatística e análise de dados. Este capítulo será essencial para o prosseguimento 
dos estudos em geometria analítica. 
Desejo uma excelente jornada de aprendizado!
6.1 Distância entre dois pontos
Dados 2 pontos , vamos calcular a distância d entre eles para 
cada caso:
• 
1
Observe os símbolos: 
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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Exemplo: 
 
Exemplo:
 
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Usando o teorema de Pitágoras, temos: 
Exemplo:
Calcular a distância entre os pontos A (-2,5) e B (4,-3):
Observe que, se mudarmos a ordem da subtração, não irá alterar o resultado:
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Prática 1: Sendo A (3,1), B (4,-4) e C (-2,2) vértices de um triângulo, classifique-o 
quanto aos seus lados e ângulos.
Resolução: 
Vamos calcular as distâncias AB, BC e CA:
 Classificando o triângulo quanto aos lados:
• Se 3 lados forem iguais, o triângulo é equilátero.
• Se 2 lados forem iguais, o triângulo é isósceles.
• Se 3 lados forem diferentes o triângulo é escaleno.
Logo, o triângulo ABC é isósceles.
Usando a lei do cosseno, temos: 
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Considerando o maior lado:
Portanto, o triângulo é isósceles e obtusângulo.
Prática 2: Dado A (x 0) um ponto pertencente ao eixo das abcissas, e B 
(2x,3) cuja distância AB é 5, calcule x e os pontos A e B:
 
Se x= 4, temos: A (4,0) e B (8,3) Se x= -4, temos: A (-4,0) e B (-8,3)
6.1.1 Alinhamento de 3 pontos ou pontos colineares 
Teorema: Três pontos são colineares se, e 
somente se, suas coordenadas verificarem a igualdade:
 
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ANOTE ISSO
1) Colineares são pontos que estão na mesma reta e no mesmo plano. 
2) A condição de alinhamento de 3 pontos pode ser expressa de outra forma mais 
simples. 
Vejamos:
 
Adicionando e subtraindo na igualdade:
Exemplos 1:
Verificar se B (-1,1); C (1,3) e D (7,9) são colineares.
Portanto, são colineares.
Exemplo 2:
Dados os pontos A (x, x), B (3,1) e C (7,-3), qual valor de x satisfaz a condição de 
que os pontos A, B e C sejam colineares?
 
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
• Se A (0, c), B (c, -4) e C (1,2), para que valores de c existe um triângulo CDF? 
• Nota-se que, para um triângulo existir, não podemos ter os três pontos 
alinhados. 
Logo: 
O que resulta em uma equação de 2º grau. Podemos resolvê-la de duas formas: 
Bhaskara ou soma e produto.
• Soma e produto
Logo, temos:
 
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• Fórmula de Bhaskara
 
• Portanto, temos:
Agora, dados os pontos A (-3,4), B (2,9), C (2,7) e D (4,5), queremos obter a 
intersecção das retas AB e CD.
Vamos entender geometricamente o problema:
Teremos um ponto P (x, y), que é a intersecção das retas e que ABP e CDP são 
colineares.
• ABP colineares
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• CDP colineares
• Resolvendo o sistema com as equações 1 e 2, temos:
 Portanto, temos: P (1,8).
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CAPÍTULO 7
EQUAÇÃO DA RETA 
Olá, estudantes. Neste capítulo, iremos nos aprofundar um pouco mais no universo 
da geometria analítica, sendo a reta um dos elementos geométricos de maior 
relevância. Analisaremos as formas de representar uma equação da reta, bem como 
seus coeficientes e inclinações, sempre fazendo uso dos conceitos abordados nos 
capítulos anteriores.
Bons estudos!
7.1 Equação da reta 
Teorema: “A toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação 
da forma ax + by + c= 0 em que a,b,c são números reais com 
representa um ponto genérico de r ”
Fonte:elaborada pela autora 
Os pontos A, B e P são colineares, então:
Exemplo:
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (4,3) e B (0,7).
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
• Vamos determinar a equação das retas suportes dos lados do triângulo, cujos 
vértices são A (0,0), B (1,3) e C (4,0): 
elaborada pela autora 
· Reta AB
· Reta BC 
· Reta CA
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7.1.1 Maneiras de escrever a equação da reta.
• Equação geral da reta .
Como vimos no início do capítulo, podemos escrever a equação da reta r como:
Esta equação é denominada equação geral da reta.
• Fórmula reduzida.
Dada a equação geral ax + by + c = 0 com , temos: 
Onde temos:
• m = coeficiente angular da reta.
• n = coeficiente linear da reta.
Exemplos:
1 
elaborada pela autora 
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2 
3 4 
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• Equação segmentária
Considere a reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos A (0,a) e B ( b,0), 
temos:
Dividindo ambos os lados da equação por ab, temos: 
Denominada equação segmentária da reta.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Dadas os pontos A (2,0) e B (0,-3) encontre:
a) a equação geral da reta AB
b) a equação reduzida da reta AB
c) a equação segmentária da reta AB
Resolução:
a) 
b) 
c) 
d) 
7.1.1.1 Cálculo do coeficiente angular.
Só é possível calcular o coeficiente angular de uma reta quando se conhece:
• Dois pontos distintos ou
• a equação da reta ou
• a direção ou inclinação da reta.
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Vamos estudar cada caso: 
• Dados dois pontos distintos.
Exemplo:
Dados os pontos A (-5,4) e B (1,10), calcule o coeficiente angular da reta AB. 
Se invertermos a ordem da subtração, o resultado será o mesmo, observe:
• A equação da reta.
Dada a equação geral da reta ax + by + c = 0 isolamos o y e obtemos:
Exemplo:
Dada a equação da reta s: 5x – 4y – 3 = 0, calcule o coeficiente angular da reta. 
• Dada a direção ou inclinação
Exemplo:
Uma reta f, cujo ângulo formado com o eixo x é 30º , calcule o coeficiente angular 
da reta f. 
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7.1.1.2 Retas paralelas e perpendiculares 
• Retas paralelas
Teorema: “Duas retas r e s, não verticais, são paralelas entre si, se e somente se, 
seus coeficientes angulares são iguais.”
Exemplo:
Dadas as retas r e t, podemos afirmar que elas são paralelas?
Vamos encontrar os coeficientes angulares de cada uma das retas. 
Como logo as retas r e t são paralelas.
 
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• Retas perpendiculares.
Teorema: “Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si, se e somente 
se, o produto de seus coeficientes angulares é -1.”
Exemplo:
Dada a equação r: 5x + 8y – 2 = 0 e o ponto P (3,-1) encontre:
a) O coeficiente da reta r
b) uma reta s que seja paralela a reta r
c) uma reta t que seja perpendicular a reta r
 
a) 
b) Como r é paralela à s temos e P(3,-1) 
c) Como r é perpendicular à s, temos logo (inverso 
e oposto)
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CAPÍTULO 8
CÔNICAS: ELIPSE E HIPÉRBOLE
As cônicas elipse – parábola – hipérbole, possuem uma relevância significativa tanto 
na matemática como em diversas áreas das ciências e da engenharia. Essas curvas 
emergem da interseção de um plano com um cone, apresentando várias aplicações 
teóricas e práticas. Na matemática pura, são empregadas na geometria analítica para 
descrever formas e propriedades geométricas; na álgebra linear, relacionam matrizes e 
autovalores, tópicos que serão abordados nos capítulos subsequentes. Adicionalmente, 
sua importância se manifesta na astronomia, em que são descritas órbitas elípticas 
ao redor do sol e órbitas de diversos cometas. Neste capítulo, será objeto de estudo 
a elipse e a hipérbole. 
Bons estudos!
8.1 Elipse
Dados dois pontos F1 e F2, pertencentes a um plano , seja 2c a distância entre eles. 
A Elipse é o conjunto de pontos de cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 
2a (sendo ).
 1
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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• elementos principais.
 
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ANOTE ISSO
Temos um triângulo retângulo e podemos usar o Teorema de Pitágoras.
• Equação reduzida 
 
elaborada pela autora 
Exemplo 1:
Dada uma elipse com eixo maior 10, distância focal 6 e 
encontre sua equação.
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Usando o teorema de Pitágoras no triângulo abaixo, temos:
 
 
elaborada pela autora 
Exemplo:
Dada uma elipse com eixo maior 10, eixo menor 8 e 
, encontre a equação da elipse.
Temos que a= 5 e b= 4.
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elaborada pela autora 
• Se a elipse não tem o centro em temos:
Exemplo 3:
Dada uma elipse de centro (7,8) e semieixo maior a=5 e semi eixo menor b=4, 
encontre as equações possíveis.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Qual é a distância focal entre os focos da elipse de equação 
Resolução:
Vamos dividir ambos os lados da equação por 36.
Temos: , a elipse tem o 
centro (0,0) e o eixo maior é p vertical.
 
elaborada pela autora 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo acima, temos:
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8.1.1 Hipérbole
Dados dois pontos F1 e F2 , pertencentes a um plano , seja 2c a distância entre eles. 
Hipérbole é o conjunto dos pontos de cuja diferença (em módulo) das distâncias 
F1 e F2 é constante 2a , 
elaborada pela autora 
• Elementos:
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• Equações reduzidas 
I) 
II) 
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III) Se uma hipérbole tem centro em temos: 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Quais são os focos da hipérbole cuja equação é ?
Ela tem (0,0) e a =1 e b = 1, logo: 
 
2) Qual a cônica representada pela equação ?
Resolução:
Portanto temos uma hipérbole com eixo real vertical de centro é (4,4) e a=2 
e b= 1.
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CAPÍTULO 9
CÔNICAS: PARÁBOLA
As cônicas elipse – parábola – hipérbole, possuem uma relevância significativa tanto 
na matemática como em diversas áreas das ciências e da engenharia. Essas curvas 
emergem da interseção de um plano com um cone, apresentando várias aplicações 
teóricas e práticas. Na matemática pura, são empregadas na geometria analítica para 
descrever formas e propriedades geométricas; na álgebra linear, relacionam matrizes e 
autovalores, tópicos que serão abordados nos capítulos subsequentes. Adicionalmente, 
sua importância se manifesta na astronomia, em que são descritas órbitas elípticas ao 
redor do sol e órbitas de diversos cometas. Neste capítulo, vamos estudar a parábola. 
Bons estudos!
9.1 Parábola 
Dados um ponto F e uma reta d, pertencente a um plano , com , seja d a 
distância entre F e d. A Parábola é o conjunto dos pontos de que estão à mesma 
distância de F e de d.
• Elementos principais 
 
1
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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• Equação reduzida da parábola
i) Se o vértice estiver no(0,0) e o eixo da abscissa passa pelo foco.
 
elaborada pela autora 
Exemplos:
Se p= 2, vértice na origem e foco no eixo x, temos:
 
 
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ii) Se o vértice tem origem e foco no eixo das ordenadas.
 
Exemplo:
Dada uma parábola com parâmetro p=2, vértice na origem e foco no eixo y, temos 
as seguintes situações: 
 
 
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iii) 
 
elaborada pela autora 
iv) 
elaborada pela autora 
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Exemplo:
Com uma parábola de V (7,8) e parâmetro 3, temos:
elaborada pela autora 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Determine as coordenadas do vértice da parábola cujo a equação é 2x2 + 4x + 
3y – 4 =0
Logo V= (-1,2)
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ANOTE ISSO
A resolução por completar quadrados pode ser complicada, então se 
manipularmos a equação abaixo teremos: 
No eixo horizontal:
No eixo vertical:
Veja como a resolução ficou mais fácil.
 
 
Logo V= (-1,2)
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Agora, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola cuja equação é:
Temos: 
 
9.1.1 Tangência entre reta e cônicas 
A tangência entre uma reta e uma cônica é uma situação geométrica que ocorre 
quando uma reta toca uma cônica em exatamente um ponto, chamado ponto de 
tangência. Esse problema é fundamental em geometria analítica, pois envolve conceitos 
de alinhamento e derivadas, além de ser amplamente aplicado em áreas como óptica, 
astronomia e engenharia.
Uma reta 𝑟 é tangente a uma cônica 𝐶 se, ao resolvermos o sistema de equações 
formado pela reta e pela cônica, o discriminante da equação resultante for zero. Isso 
garante que o sistema tenha uma única solução, indicando que a reta intersecta a 
cônica em apenas um ponto.
Temos dois problemas clássicos de tangência entre cônica e reta.
• Determinar as tangentes a uma cônica que satisfaçam uma condição específica 
(por exemplo, serem paralelas ou passarem por um ponto dado).
• Verificar se uma reta dada é tangente a uma cônica específica.
Esses problemas envolvem cálculos algébricos e geométricos que dependem das 
equações da reta e da cônica, que vamos visualizar na prática a seguir.
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elaborada pela autora elaborada pela autora 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Obtenha as tangentes à elipse 2x2 + 3y2 =6 que são paralelas à reta ( r) y =x.
Temos:
2º) Vamos resolver o sistema da elipse e a reta (t)
Substituindo (2) em (1)
3º) Se t tangencia a 
Portanto: 
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CAPÍTULO 10
LUGAR GEOMÉTRICO
Um lugar geométrico diz respeito ao conjunto de todos os pontos que atendem 
a uma condição ou propriedade específica. Na geometria plana, existem diversos 
lugares geométricos, como circunferência, mediatriz, bissetriz e parábola. Esses lugares 
geométricos são amplamente empregados em diversas áreas da matemática e das 
ciências, constituindo ferramentas fundamentais para a resolução de problemas 
geométricos e a modelagem de fenômenos no espaço. Neste capítulo, iremos explorar 
alguns desses lugares geométricos.
Bons estudos!
10.1 Circunferência
Seja a um ponto pertencente a um plano uma distância. O lugar geométrico 
dos pontos que está a distância r de A é a circunferência de centro A e raio r.
 1
• Equação reduzida da circunferência
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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Em que:
• (a,b) é o centro da circunferência
• r é o raio da circunferência
Exemplos:
1) Dada uma circunferência de raio 3 cm e centro (5,-3) encontre a equação reduzida 
da circunferência.
2) Dada a equação da circunferência , encontre o centro 
e raio.
Logo temos: 
Portanto C (-1,-2) e r= 3
• Equação geral da circunferência.
 Dada a equação reduzida da circunferência, iremos desenvolvê-la.
 
Exemplos:
1) Dada a equação da circunferência de centro (5,-3) e raio 3, encontre a equação 
geral.
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2) Dada a equação da circunferência abaixo, encontre o centro e o raio.
Comparando a equação dada com a equação geral, temos:
Logo C (2,-2) e r=3
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
• Qual o lugar geométrico dos pontos que distam 1 cm do ponto A (3,2)?
• Este lugar geométrico é uma circunferência.
Logo temos:
10.1.1 Mediatriz 
Sejam A e B dois pontos distintos de um plano . 
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O lugar geométrico de que está na mesma distância dos pontos A e B é a 
mediatriz do segmento AB.
ANOTE ISSO
A mediatriz divide o segmento AB ao meio formando ângulo de 90º.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Encontre o lugar geométrico que é equidistante ao segmento AB.
 
elaborada pela autora 
Note que M é o ponto médio de AB.
Porém ele não é o único ponto que fica a mesma distância de A e B, esse lugar 
geométrico é a mediatriz. Para encontrá-la seguiremos os passos:
• Encontre o ponto médio de AB, M= (3,3)
• Encontre o coeficiente angular da reta AB 
Como AB é perpendicular a LG, temos , logo 
• Encontrar a equação da reta que passa por M e é perpendicular a AB.
Esse é o lugar geométrico, ou seja, a mediatriz do segmento AB.
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2) Determine a reta s, simétrica a (r) x – y + 1 =0 onde o lugar geométrico é 
a reta (t) 2x + y + 4 = 0.
• Vamos fazer uma interpretação geométrica. 
elaborada pela autora 
O lugar geométrico é uma mediatriz.
a) Resolver o sistema com as retas r e s
 → 
Seja , (r) y = x + 1 e yp = xP + 1.
Fazendo xP = 0 temos yp = 0 + 1 yp = 1, logo P (0,1).
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b) Encontrar a equação de u passando por P (0,1) sendo 
Como temos , logo .
c) Resolvendo sistema das retas u e t, para encontrar o ponto M.
Então, M= ( -2 0)
• Como Q é simétrico de P e M é seu ponto médio, temos:
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d) Encontrar a reta s ou RQ
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CAPÍTULO 11
VETOR
Olá, caro aluno. Neste capítulo, abordaremos os vetores e suas características 
tanto no plano quanto no espaço. Para isso, é imprescindível que compreendamos o 
que se define como grandeza. Grandezas matemáticas são quantidades suscetíveis 
de medição, comparação ou cálculo em um contexto matemático específico. Elas 
são categorizadas segundo suas propriedades e seu comportamento em relação 
a operações matemáticas. A compreensão dessas grandezas é essencial para a 
assimilação de conceitos em disciplinas como álgebra, geometria, física e estatística. 
Existem 2 tipos de grandezas: escalares e vetoriais.
• Grandezas escalares: São aquelas grandezas que ficam completamente definidas. 
Exemplos: comprimento, área, volume, temperatura etc.
• Grandezas vetoriais: São aquelas grandezas que não ficam definidas apenas peloseu módulo, mas precisam de suas características: módulo, direção e sentido. 
Exemplos: força, velocidade, aceleração etc.
Neste capítulo, estudaremos as grandezas vetoriais. Bons estudos!
11.1 características 
O vetor é definido por:
 1
• Módulo: O tamanho ou a magnitude do vetor. Representa a intensidade da 
grandeza associada.
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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ANOTE ISSO
Exemplo: 
11.1.1 casos particulares de vetores
• Dois vetores são paralelos e será indicado por . 
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• Dois vetores são iguais, então e terão o mesmo módulo, a mesma 
direção e o mesmo sentido. 
• Um vetor unitário terá ou seja módulo vale 1.
• vetor nulo: , como não tem direção e sentido, considera-se paralelo a 
qualquer vetor.
• vetores opostos: São vetores que possuem o mesmo módulo, mesma direção 
e sentido oposto.
 
• Vetores ortogonais: dois vetores são ditos ortogonais se formarem um 
ângulo reto (90º) entre eles. Indicamos por .
• Vetores coplanares: Dois ou mais vetores são ditos coplanares se existir algum 
plano onde estes vetores estão representados.
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
A figura representa um paralelepípedo. Classifique as afirmações como verdadeiras 
ou falsas.
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Resolução:
a) verdadeiro, pois num paralelepípedo a altura tem a mesma medida.
b) falso, pois os dois vetores estão no mesmo sentido.
c) falso, pois os vetores não se encontram.
d) falso, pois o ângulo entre os vetores não é 90º.
e) verdadeiro, pois a diagonal dos retângulos das bases tem a mesma medida.
f) verdadeiro, pois as diagonais do paralelepípedo têm a mesma medida.
g) falso, pois os vetores não são paralelos.
h) falso, pois os três vetores não estão no mesmo plano.
11.1.1.1 Os vetores no plano
Dados os vetores unitários e ortogonais , podemos representá-los.
 
elaborada pela autora 
O vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
Exemplos:
• Igualdade de vetores.
Dois vetores são iguais se e somente se 
 escrevendo-se .
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Exemplo:
O vetor é igual ao vetor . Calcule x e y.
 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Considerando que Adriano e sua esposa não tinham nenhuma informação sobre 
o endereço desejado. Para tentar encontrar o endereço mais rápido eles decidem 
se separar. Adriano andou 3 quadras para a Leste e mais uma para o Norte, 
chegando no ponto B. Débora, sua esposa, anda 5 para Oeste e 7 quadras para 
Norte, chegando no ponto C. Nesse momento Débora resolve ligar para seu marido 
e pergunta onde ele está. Como ambos não estão familiarizados com a cidade, 
vamos auxiliá-los a calcular a distância direta entre eles.
Então, qual a distância entre Adriano e Débora?
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Temos que h= 8 quarteirões e g =6 quarteirões. 
Portanto:
11.1.1.1.2 Os vetores no espaço
Um vetor no espaço é um segmento de reta que tem a mesma direção, mesmo 
sentido e mesma intensidade. O vetor de origem é (0,0,0) e a extremidade é o terno 
ordenado (a,b,c) do espaço R3, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).
elaborada pela autora
Se a origem do vetor não for a origem (0,0,0) , realizamos a diferença entre a 
extremidade e a origem do vetor.
Por exemplo, se um vetor tem origem no ponto (1,2,3) e extremidade no ponto 
(7,12,15), então:
v= (7,12,15) −(1,2,3) = (6,10,12)
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CAPÍTULO 12
OPERAÇÕES COM VETORES
Olá, alunos! Neste capítulo, iremos continuar nossos estudos sobre vetores, 
aprendendo sobre suas propriedades, operações e posições no plano. 
Bons estudos!
12.1 Operações
a) Adição e subtração 
Dados 2 vetores, , temos :
 1
b) Multiplicação de um escalar por um vetor. 
Seja um vetor , temos :
Exemplos:
1) Dados os vetores , calcular .
Resolução:
2) Determinar o vetor na igualdade , sendo 
.
Resolução:
1 Todas as figuras do capítulo como exemplos foram elaboradas pela Autora (2024).
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Calcular os valores de a e b tais que : sendo 
.
Resolução:
Portanto a= 2 , b= -4 e 
c) Produto escalar 
Seja temos :
Exemplo:
1) Dados calcular 
Resolução:
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ANOTE ISSO
O resultado do produto entre dois vetores, chamado produto escalar, é uma 
grandeza escalar e não vetorial. 
2) Sejam , calcular :
Resolução: 
12.1.1 Módulo de um vetor (distância)
a) Se o vetor tiver seu início (0,0) 
elaborada pela autora 
Exemplo: 
Calcular o módulo do vetor .
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b) Se o início do vetor não for em (0,0)
elaborada pela autora 
Exemplo
Dados os pontos A(2,-1) e B(-1,4) calcular , temos:
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Calcular os valores de a para que o vetor tenha módulo 4.
Resolução:
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12.1.1.1 ângulo entre vetores 
 
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ANOTE ISSO
• Se , logo 
• Se , logo 
 
• Se , logo 
Exemplo
Seja 
Primeiro, vamos calcular 
Depois, calcular 
O terceiro passo é calcular o cosseno .
Por fim, consultar a tabela de trigonometria dos ângulos notáveis 
Temos .
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Sendo , calcular .
Resolução : 
2) Dados A(4,0) ,B(2,-2) e C(1,3) e os vetores . Obtenha X, 
tal que : 
Resolução : 
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CAPÍTULO 13
ESPAÇO E SUBESPAÇO 
VETORIAL
O conceito de espaço vetorial é fundamental em várias áreas da matemática, como 
álgebra linear, e tem aplicações em disciplinas como física, engenharia, economia e 
ciência da computação. Já o subespaço vetorial é uma extensão do conceito de espaço 
vetorial, sendo um subconjunto que mantém as propriedades do espaço maior. Neste 
capítulo iremos estudar esses conceitos e saber identificar através das definições e 
suas propriedades. Bons estudos! 
13.1 Título : Espaço vetorial 
Um espaço vetorial é uma estrutura formada por:
• Conjunto não vazio, Q, de elementos .
• Uma operação de adição de elementos em Q.
• Uma operação de multiplicação de elementos em Q por escalar de um corpo K 
Deverá satisfazer as propriedades: 
a) Quaisquer que sejam 
b) Existe tal que para todo , temos .
c) Para todo existe .
d) Quaisquer que sejam , segue : .
e) Para qualquer escalar e quaisquer , temos : 
f) Para quaisquer k, e quaisquer , temos : 
g) Para quaisquer e para qualquer , temos : 
h) Para qualquer , tem-se que : 
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Exemplos de espaços vetoriais 
1) coms as operações de adição e multiplicação por 
um escalar definido como : 
2) Os conjuntos com operações de adição e multiplicação por escalar 
usuais. 
3) O conjunto de matrizes m x n com as operações de adição e multiplicação por 
escalar usuais
4) O conjunto de polinômios com coeficientesreais de grau menor ou igual a n, 
mais o polinômio nulo, em relação às operações usuais de adição e multiplicação 
por escalar . 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Vamos verificar se é um espaço 
vetorial para essas operações.
Resolução:
• Adição 
Dados , precisamos verificar que a soma 
.
Como , temos : 
• Propriedades da adição 
A1) 
A2) 
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A3) é tal que , onde .
A4) Dado , temos que e, além disso, 
temos : 
• multiplicação 
Dados , precisamos verificar que o produto 
, com x >0 e y > 0 , para qualquer real, temos 
.
M1) 
M2) 
M3) 
M4) 
Portanto V é um espaço vetorial . 
13.1.1 : Subespaço vetorial 
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado um subespaço vetorial de 
V se W é um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por 
escalar definida em V, Se queremos verificar se um subconjunto W de um espaço 
vetorial V é um subespaço vetorial, temos que verificar: 
a) .
b) Dados 
c) Dados . 
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Exemplos:
1) A reta R= {y = 2x} em . 
• pertence a reta , pois satisfaz a equação da reta : 0 = 2.0
• Se per tencem à re ta , vamos ver i f icar que 
 também pertence a reta .
Portanto R é um subespaço de 
2) A reta S= { y = 2x +8} não é um subespaço de . Pois: 
• não pertence a reta , veja 
De modo geral , as retas que passam pela origem , y= ax , são subespaço e as retas 
que não passam , y= ax +b, não são subespaço . 
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) Verifique que o seguinte subconjunto é um subespaço vetorial em .
• o vetor nulo de é então : 
logo .
• Sejam vamos 
mostrar que .
Logo . 
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13.2.1 Vetores linearmente dependentes e independentes 
• Vetores linearmente dependentes (LD) 
Seja E um espaço vetorial. Os vetores e E são linearmente dependentes 
se e somente se , existirem escalares , com algum escalar diferente de 
zero, tais que : 
Graficamente : 
• são LD , se e somente se, estiverem na mesma reta passando 
pela origem . 
• são LD , se e somente se, os três vetores estiverem no 
mesmo plano quando colocados na origem . 
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• Vetores linearmente independentes (LI) 
Se a relação for válida para 
iguais a zero , então os vetores são LI. 
Exemplos : 
a) Os vetores são LD ou LI ?
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b) Os vetores são L.D ou L.I ?
elaborada pela autora 
Observe que: 
• Como a primeira e a segunda equações são iguais usamos apenas a primeira 
e a terceira.
• Multiplicamos a terceira equação por (-1) para poder cortar a incógnita a.
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• Chegamos no resultado em que a incógnita b depende da incógnita c.
• E, portanto, os vetores são L.D. 
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CAPÍTULO 14
EQUAÇÃO DO PLANO 
Olá, alunos! No capítulo 7, estudamos a equação da reta. Neste capítulo, vamos 
aprofundar nosso estudo, agora, com a equação do plano. 
Bons estudos!
14.1 Equação geral ou cartesiana
elaborada pela autora 
Onde : 
• é o vetor normal ao plano . 
• P é um ponto do plano .
• A equação geral do plano é dada por , para .
Vamos estudar alguns casos : 
• Um ponto e um vetor .
A equação geral de um plano que passa por um ponto e tem o 
vetor normal é : 
 em que 
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Exemplo : 
Encontre a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos P(1,-1,2) e é 
perpendicular ao vetor .
• Primeiro, vamos calcular o d:
• Depois, calcular 2x -3y +1z -7 = 0 equação do plano . Observe o plano : 
• Se tivermos três pontos não colineares .
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• Então, formaremos os vetores .
• Portanto, o vetor normal ao plano é : 
Podemos substituir onde a,b,c são componentes de e os 
valores de d , pode ser usado qualquer dos pontos dados. 
Exemplo: 
Dados três pontos A(1,2,0) , B(2,0,1) e C(0,2,3) não colineares , encontre a equação 
do plano. 
1º) Encontrar os vetores .
2º) Vamos calcular o vetor normal .
3º) calcular d. 
4º) Equação 
-6x -4y -2z +14 =0
14.1.1 Equação paramétrica
Considere o plano , um ponto pertencente a e dois vetores 
 não colineares e paralelos a .
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Um ponto P(x,y,z) pertencem ao plano , se e somente se, satisfazer as equações:
Essas equações são chamadas equações paramétricas do plano. 
Exemplo: 
É possível determinar a s equações do plano que contém o ponto P(1,2,1) e é paralelo 
aos vetores ? Se sim , encontre as equações paramétricas. 
14.1.2 Equação vetorial 
Dados P(x,y,z) , , .
Exemplo : 
Encontre a equação vetorial do plano , sendo A(3,0,-5) , B(7,4,-7) e C( 1,1,-1) 
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Obtenha a equação do plano que contém os pontos A=(3,0,1) , B= (2,1,1) e C = 
(3,2,2) 
1º) Calcular os vetores.
2º) Calcular o vetor normal
3º) calcular d 
• Equação geral 
 1x + 1y - 2z -1 = 0
• Equação paramétrica.
c) equação vetorial 
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ANOTE ISSO
Casos particulares da equação no plano .
• 1º caso: 
• O plano contém a origem . 
• 2º caso : 
O plano é paralelo ao eixo x . 
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O plano é paralelo ao eixo y.
O plano é paralelo ao eixo z . 
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• 3º caso : 
O plano conterá o eixo x 
O plano conterá o eixo y 
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O plano conterá o eixo z 
• 4º caso : 
O plano é paralelo ao plano xy 
O plano é paralelo ao plano yz 
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CAPÍTULO 15
TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES E ORTOGONAIS 
Prezados(as) estudantes, estamos nos aproximando da conclusão de nossos estudos. 
Espero ter sido clara e direta em minhas explicações e nos exemplos apresentados. 
Para encerrar este livro, abordaremos as transformações lineares e ortogonais. Essas 
transformações representam casos específicos de dois espaços vetoriais, que mantêm 
as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. 
Bons estudos!
15.1 Transformações lineares
Definição : Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo R. Uma aplicação 
é denominada Transformação linear de U em V, se e somente se, satisfaz : 
• 
• 
Um operador linear é uma transformação linear em que U=V .Das duas 
propriedades de transformação linear obtemos que : 
 para todo e todo 
.
Exemplos : 
1) Se A é uma matriz m x n , ela induz uma transformação dada 
por TA(x) = Ax que é a transformação gerada por A. 
Seja , então temos : 
2) A seguinte aplicação de é uma transformação linear:
.
Este exemplo é uma expansão ou contração, dependendo do valor de .
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Para e , temos : . 
Observe : 
Para e , temos : . 
Observe : 
3) A seguinte aplicaçãode é uma transformação linear:
Esta transformação linear é uma reflexão em torno do eixo x. 
Seja , observe: 
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4) Considere o triângulo ABC de vértices A=(-1,4) , B= (3,1) e C= (2,6) . Vamos aplicar 
a transformação linear T neste triângulo . Para saber qual imagem do triângulo pela 
transformação , basta sabermos as imagens de seus vértices. 
 
Observe : 
elaborada pela autora 
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ANOTE ISSO
• Operadores lineares no espaço de .
• Dilatação ou contração de fator na direção do vetor : 
com . 
• Dilatação ou contração de fator na direção do eixo x : 
com 
• Dilatação ou contração de fator na direção do eixo y:
 com 
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ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
Seja um operador linear tal que T(2,3) = (-1,5) e T(0,1) = (2,1) . 
Como encontrar a lei que define o operador ?
Resolução : 
é base em . 
Portanto , vamos escrever como combinação linear .
Assim temos : x= 2k e y = 3k + w
Então : 
Logo , 
Aplicando o operador linear : 
15.1.1 Transformação ortogonal 
Uma transformação linear é ortogonal se é ortogonal se T(v) têm o 
mesmo comprimento que v , para todo , isto é , 
Tendo em vista que o módulo do de um vetor é calculado por meio de um produto 
interno , os operadores ortogonais são definidos nos espaços vetoriais 
euclidianos.
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Exemplos : 
1) A reta y=ax é o conjunto dos pontos (xa, x) R2, onde x varia em R. Ela é o 
subespaço vetorial de R2 gerado por (1,a). Consideremos o operador P:R2 R2 
que faz corresponder a cada v=(x, y) R2 o vetor P(v) =(x ,ax),cuja extremidade é 
o pé da perpendicular baixada de v sobre a reta y=ax.
ANOTE ISSO
Em álgebra linear, uma matriz quadrada é ortogonal quando a sua matriz inversa 
coincide com a sua matriz transposta.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
1) O operador T(x, y) = (x+y ,y) não é ortogonal. Com efeito
Como , logo T não é uma transformação ortogonal .
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CONCLUSÃO
Prezado(a) estudante, o presente material foi concebido e organizado de maneira 
a permitir que os componentes essenciais da geometria analítica e da álgebra linear 
sejam apresentados de forma mais acessível, proporcionando uma base sólida para 
seus estudos futuros. É recomendável que você busque aprofundar seus conhecimentos 
sobre o tema e continue a praticar as técnicas aqui apresentadas. 
Na disciplina de geometria analítica, abordamos conteúdos relacionados a matrizes, 
determinantes, equações de sistemas lineares, equação da reta, cônicas e lugar 
geométrico, os quais proporcionarão fundamentos necessários para o desenvolvimento 
de tópicos mais avançados. Já na disciplina de álgebra linear, realizamos um estudo 
superficial sobre vetores, espaço vetorial e subespaço vetorial, transformações lineares 
e ortogonais. 
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ELEMENTOS COMPLEMENTARES 
LIVRO
Autor: Teresa Abreu e Ricardo Gonçalves
Título: Álgebra Linear e geometria analítica
Edição: 1ª edição
Editora: Edições Sílabo
Ano: 2023
Sinopse: Este livro prolonga e complementa o volume 26 da 
Coleção Matemática, Álgebra Linear – Teoria e Prática de 
Ricardo Gonçalves, também autor deste volume.
Os seus destinatários são alunos que, no seu percurso 
académico, já tiveram contacto com alguns temas da álgebra 
linear, nomeadamente matrizes, sistemas de equações lineares, determinantes 
e espaços vetoriais, e agora necessitam de abordar conceitos e conteúdos sobre 
aplicações lineares, diagonalização e ortogonalidade.
Texto pedagogicamente inovador, concebido para manual escolar de apoio ao estudo 
em aula ou fora dela, inspira-se em autores com reconhecimento internacional para 
seguir as recomendações didáticas para o ensino da álgebra linear e geometria analítica 
evidenciadas como as melhores nas investigações realizadas na área.
Destaca-se, para além de uma abordagem cuidada e a utilização de uma linguagem 
simples e da terminologia essencial, o recurso à utilização de programas informáticos 
para a exploração teórica e prática dos temas, a apresentação de muitos exemplos 
e de exercícios com solução, bem como a aplicação dos conceitos a diversas áreas 
do conhecimento.
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FILME
Título: O homem que viu o infinito
Direção: Matt Brown
Autor: Matt Brown
Ano: 2016
Sinopse: Rinivasa Ramanujan (Dev Patel) é um gênio 
autodidata de 25 anos de idade, que não conseguiu entrar na 
universidade devido ao seu estudo quase obsessivo e solitário 
da matemática. Determinado a prosseguir a sua paixão, 
Ramanujan escreve uma carta a um eminente professor do 
Trinity College, em Cambridge. O Professor Hardy (Jeremy 
Irons), reconhece a originalidade e o gênio do talento puro de Ramanujan e, apesar do 
ceticismo dos seus colegas, empenha-se em trazê-lo para Cambridge para que as suas 
teorias possam ser exploradas. Ramanujan deixa a família e a sua jovem noiva, e cruza 
o mundo até Inglaterra para, sob a orientação de Hardy, trabalharem nas suas teorias. 
Juntos, vão lutar para que o seu trabalho seja finalmente visto e reconhecido por um 
meio matemático que não está preparado para os seus métodos não convencionais. 
O Homem Que Viu o Infinito é a improvável história verídica de um gênio único, cujas 
inovadoras teorias o levaram a sair da obscuridade, num mundo em plena guerra, e 
da sua luta incansável para mostrar ao mundo a genialidade da sua mente.
WEB
Vídeo sobre geometria analítica e vetores, com destaque para operações com vetores. 
https://youtu.be/C0L8-PbTlgA?si=WKC4vVU3-Vv2fjw7
https://youtu.be/C0L8-PbTlgA?si=WKC4vVU3-Vv2fjw7
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REFERÊNCIAS
BONORA JÚNIOR, D. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Ícone, 2019. 
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
FRANCO, N. M. B. Álgebra linear. São Paulo: Pearson, 2016. 
HOLT, J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
LAY, D. C.; LAY, S. R.; MCDONALD, J. J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2018. 
MACIEL, T. Vetores e geometria analítica: do seu jeito. São Paulo: Blucher, 2022. 
PAIXÃO, R. M. Geometría Analítica e Álgebra Linear. MARÍLIA, SP. FACAP, 2022.
SILVA, C. da.; MEDEIROS, E. C. de. Geometria analítica. Porto Alegre: SAGAH, 2019. 
SILVA, J. dos S. Álgebra linear. Jundiaí: Paco e Littera, 2021. 
ZANARDINI, R. A. D.; RODRIGUES, G. L.; FONSECA, F. Geometria analítica e suas 
relações com o mundo. Curitiba: Intersaberes, 2022. 
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