Tema 04 Sistemas de Equações Aula

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<p>Sistemas de Equações</p><p>Apresentação</p><p>Um conjunto de equações com mais de uma incógnita pode aparecer em dezenas de situações do</p><p>cotidiano e mesmo as funções mais simples podem ser construídas com duas ou mais incógnitas.</p><p>Existem diversas técnicas para determinar os possíveis valores das incógnitas em um conjunto de</p><p>equações desse tipo, ou seja, formas de determinar as soluções que atendem a um sistema de</p><p>equações, satisfazendo simultaneamente a todas as equações.</p><p>Na era digital, o trabalho com sistemas de equações tornou-se um grande desafio para a</p><p>programação, de forma que certas técnicas manuais, que podem solucionar bem sistemas</p><p>pequenos, acabam por tornar o processamento de dados lento quando lidando com equações com</p><p>diversas incógnitas. De uma forma ou de outra, os sistemas de equações são extremamente</p><p>importantes dentro do currículo de matemática.</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá a caracterização de um sistema de equações e alguns</p><p>métodos de resolução. Além disso, verá como cada método pode ser conveniente para um</p><p>determinado sistema.</p><p>Bons estudos.</p><p>Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>Definir sistemas de equações.•</p><p>Reconhecer os diferentes tipos de resolução de sistemas de equações.•</p><p>Resolver problemas envolvendo sistemas de equações.•</p><p>Desafio</p><p>Em problemas aplicados, é comum modelarmos a situação por meio de um sistema de equações.</p><p>No entanto, quando a solução de uma equação não supre a outra, teremos um sistema de equações</p><p>impossível.</p><p>No estudo de sistemas de equações lineares há alguns métodos de resolução para eles. No caso de</p><p>sistemas quadrados, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas, podemos</p><p>fazer uma análise a partir do cálculo de determinantes para identificar se o sistema é impossível.</p><p>Em situações cotidianas, a solução de uma equação não supre a outra, então teremos um sistema</p><p>de equações impossível.</p><p>Veja um exemplo:</p><p>Dado o sistema apresentado, informe qual(ais) o(s) valor(es) de a para que o sistema dado seja</p><p>impossível.</p><p>Infográfico</p><p>Os sistemas de equação estão muito presentes em problemas cotidianos. Ocorre que dificuldades</p><p>em modelar a situação-problema para a linguagem matemática formal podem impedir a construção</p><p>das equações e a descoberta de soluções.</p><p>Veja, no Infográfico, os processos lógicos e mentais para a construção de um sistema de equações.</p><p>Aponte a câmera para o</p><p>código e acesse o link do</p><p>conteúdo ou clique no</p><p>código para acessar.</p><p>Conteúdo do livro</p><p>Os sistemas de equações lineares se apresentam em diversas situações práticas do cotidiano.</p><p>Muitas vezes não se percebe, mas uma modelagem poderia gerar um sistema, e, assim, seria</p><p>possível uma pessoa atenta determinar com precisão a solução para situações reais. Os sistemas</p><p>lineares têm uma representação gráfica associada à existência ou não de suas soluções e o ponto</p><p>que elas representam.</p><p>No capítulo Sistemas de equações, do livro Fundamentos de matemática, você irá aprender mais</p><p>sobre os sistemas de equações e verátécnicas para resolver diversos problemas que envolvem os</p><p>sistemas de equação.</p><p>Boa leitura.</p><p>FUNDAMENTOS</p><p>DE MATEMÁTICA</p><p>Tiago Loyo Silveira</p><p>Sistemas de equações</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>� Definir sistemas de equações.</p><p>� Reconhecer os diferentes tipos de resolução de sistemas de equações.</p><p>� Resolver problemas envolvendo sistemas de equações.</p><p>Introdução</p><p>As equações com duas incógnitas e os sistemas determinados por elas</p><p>já eram problemas conhecidos pelos babilônios por volta de 1800 a.C.</p><p>Mesmo na época, já se tinha notícia de soluções propostas para esse</p><p>tipo de situação.</p><p>Hoje, com o desenvolvimento da matemática e da álgebra linear,</p><p>computadores podem resolver, em segundos, sistemas com dezenas de</p><p>incógnitas. Manualmente, esse processo seria longo, cansativo e sujeito</p><p>a muitos erros, porém as formas de resolver grandes sistemas não são</p><p>muito diferentes das utilizadas em sistemas menores.</p><p>Neste capítulo, veremos a caracterização de um sistema de equações</p><p>e alguns métodos de resolução, sendo que cada método pode ser con-</p><p>veniente para um determinado sistema.</p><p>Sistemas de equações</p><p>Para definir os sistemas de equações, tomamos uma situação como exemplo.</p><p>Em uma sala de aula, há meninos e meninas, num total de 40 alunos. Se</p><p>atribuirmos a incógnita x aos meninos e y às meninas, teremos a seguinte</p><p>equação:</p><p>x + y = 40</p><p>Quantos meninos e quantas meninas estão nessa turma?</p><p>Alguém poderia dizer 20 meninos e 20 meninas, porém outro poderia</p><p>sugerir 10 meninos e 30 meninas, ou qualquer outra soma de naturais que</p><p>resulte em 40. Dessa forma, mesmo que tentássemos isolar uma das incógnitas,</p><p>não teríamos um resultado numérico.</p><p>Qualquer equação com duas ou mais incógnitas apresentaria o mesmo</p><p>problema.</p><p>Ainda sobre a mesma situação problema, poderíamos dizer que, se retirar-</p><p>mos a quantidade de meninas do dobro da quantidade de meninos, resultaria</p><p>em 14.</p><p>2x – y = 14</p><p>Da mesma forma que a primeira equação, esta equação sozinha não seria</p><p>capaz de nos dar um resultado numérico para meninos ou meninas.</p><p>Porém, as duas equações retratam a mesma situação problema, ou seja, a</p><p>mesma quantidade de meninos x e de meninas y.</p><p>Denominamos sistemas de equações o agrupamento de equações que</p><p>tratam das mesmas variáveis.</p><p>Genericamente, é um sistema de m equações com n incógnitas, que pode</p><p>ser indicado por sistema m x n (lê-se: m por n).</p><p>Representamos que duas ou mais equações tratam da mesma situação pro-</p><p>blema, ou seja, fazem parte do mesmo sistema, usando uma chave à esquerda</p><p>das equações, conforme segue:</p><p>x + y = 40</p><p>2x – y = 14</p><p>Nessa situação problema, os valores que atendem às duas equações simul-</p><p>taneamente são x = 18 e y = 22.</p><p>A solução de um sistema de equações será o conjunto de valores para</p><p>as incógnitas que satisfaz simultaneamente a todas as equações do sistema.</p><p>Denominamos sistema de equações lineares todo sistema que tenha somente</p><p>equações lineares, que são do tipo:</p><p>a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = c</p><p>onde:</p><p>a1, a2, a3,…,an: coeficientes reais, não todos nulos;</p><p>x1, x2, x3,…,xn: incógnitas;</p><p>c: termo independente.</p><p>Sistemas de equações2</p><p>Quando o termo independente de uma equação é igual a zero (c = 0),</p><p>dizemos que a equação é homogênea.</p><p>Exemplos:</p><p>2x – 4y + z = 5</p><p>–3x + y = – 2</p><p>4x + 3y = 0 (Equação linear homogênea)</p><p>1</p><p>2</p><p>Diremos que um sistema linear é homogêneo quando todas as suas equações</p><p>forem homogêneas e ele</p><p>admite a solução nula, chamada de solução trivial, porém esta pode não</p><p>ser necessariamente a única solução para o sistema.</p><p>Na manipulação dos sistemas lineares, seja para classificá-los ou determinar suas</p><p>soluções, em diversos momentos, será necessário saber manipular matrizes e determi-</p><p>nantes. Convém rever e dominar esses conteúdos. Vamos rever o tema no link a seguir:</p><p>https://goo.gl/zoq3Na</p><p>Representação de sistemas por meio de matrizes</p><p>Consideramos o seguinte sistema.</p><p>a1x + b1y = c1</p><p>a2x + b2 y = c2</p><p>é a matriz incompleta do sistema, composta pelos coeficientes das</p><p>incógnitas.</p><p>c1 e c2 são os termos independentes das equações do sistema.</p><p>D =</p><p>a1 b1</p><p>a2 b2</p><p>3Sistemas de equações</p><p>é o determinante da matriz incompleta.</p><p>Dx =</p><p>c1 b1</p><p>c2 b2</p><p>é o determinante da matriz incompleta, onde a coluna dos coeficientes da</p><p>incógnita x é substituída pelos termos independentes.</p><p>Dy =</p><p>a1 c1</p><p>a2 c2</p><p>é o determinante da matriz incompleta, onde a coluna dos coeficientes da</p><p>incógnita y é substituída pelos termos independentes.</p><p>Há, ainda, uma matriz representativa para os coeficientes e para os termos</p><p>independentes, que chamaremos de matriz estendida do sistema linear.</p><p>a1 b1⋮ c1</p><p>a2 b2⋮ c2</p><p>Os conceitos de representação por meio de matrizes aqui apresentados</p><p>podem ser estendidos a qualquer sistema m x m, ou seja, sistemas que tenham</p><p>o mesmo número de incógnitas e equações, pois, para que seja possível calcular</p><p>os determinantes, serão necessárias matrizes quadradas.</p><p>Classificação</p><p>Podemos classificar os sistemas lineares conforme</p><p>o número de soluções</p><p>possíveis.</p><p>� Sistema possível e determinado (SPD): quando apenas um conjunto</p><p>de valores solução possível. Nesse sistema, o determinante da matriz</p><p>incompleta é diferente de zero (D≠0) .A recíproca é verdadeira, ou seja,</p><p>se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero, o sistema</p><p>terá apenas um conjunto solução.</p><p>� Sistema possível e indeterminado (SPI): quando existem infinitas</p><p>soluções.</p><p>� Sistema impossível (SI): quando não apresenta conjunto solução.</p><p>Sistemas de equações4</p><p>Tipos de resolução de sistemas de equações</p><p>Existem diferentes métodos de resolver sistemas lineares, sendo alguns mais</p><p>sofisticados, outros mais simples, que se encaixam a todo sistema, e outros</p><p>mais específicos. Alguns desses métodos são apresentados a seguir.</p><p>Método da adição</p><p>O método da adição é um dos mais simples para a resolução de sistemas, mas</p><p>permite a resolução de praticamente qualquer sistema, bastando a devida</p><p>manipulação das equações. Além disso, essa técnica, por ser tão básica, será</p><p>empregada no desenvolvimento de outras.</p><p>Retomaremos o problema proposto dos alunos em uma sala de aula.</p><p>x + y = 40</p><p>2x – y = 14</p><p>Para executar o método da adição, será necessário que, em uma das equa-</p><p>ções, uma incógnita seja simétrica da outra equação.</p><p>No problema da sala de aula, o número de meninas y é simétrico nas</p><p>duas equações. Dessa forma, procederemos com a soma dos coeficientes das</p><p>incógnitas de mesma parte literal.</p><p>x + y = 40</p><p>2x – y = 14</p><p>3x + 0y = 54</p><p>Podemos omitir y e obter a equação 3x = 54. Observe que essa equação</p><p>tem somente uma incógnita, o que nos permite o seu isolamento.</p><p>3x = 54 ⇒ x = ⇒ x = 1854</p><p>3</p><p>Um sistema é composto por duas ou mais incógnitas, e uma solução deve</p><p>tornar todas as equações verdadeiras. Portanto, determinar somente uma</p><p>incógnita não soluciona o sistema. É necessário retomar esse valor em uma</p><p>das equações e prosseguir até que se tenha o valor de todas as incógnitas.</p><p>Observação: independentemente da equação escolhida, o resultado da</p><p>incógnita será o mesmo. Faremos a substituição em ambas para mostrar:</p><p>5Sistemas de equações</p><p>Para x = 18</p><p>x + y = 40 ⇒ 18 + y = 40 ⇒ y = 40 – 18 ⇒ y = 22</p><p>Ou</p><p>2x – y = 14 ⇒ 2.18 – 14 = y ⇒ y = 22</p><p>Representaremos a solução por meio do par ordenado (18, 22), ou ainda</p><p>V = {(18,22)}.</p><p>Sempre será possível aplicar o método da adição, porém, em alguns casos,</p><p>o sistema precisará ser preparado previamente. Observe os seguintes exemplos.</p><p>2x + 3y = 1 (I)</p><p>2x + 5y = –1 (II)a)</p><p>Nesse sistema, não há simétricos, porém existem coeficientes iguais. É</p><p>necessário ressaltar que uma equação pode ser multiplicada ou dividida por</p><p>número real, sem alterar o valor da sua incógnita ou fazer com que a sentença</p><p>deixe de ser verdadeira.</p><p>Dessa forma, é possível escolher uma das equações e multiplicá-la por (-1),</p><p>com o objetivo de conseguir o simétrico desejado. Multiplicaremos a equação</p><p>(II) por (-1), obtendo - 2x -5y = 1. Agora, aplicando a soma, temos:</p><p>2x + 3y = 1</p><p>–2x – 5y = 1</p><p>–2y = 2</p><p>Logo, y = -1. Retornando o resultado em uma das equações, encontramos</p><p>x = 2. V = {(2,-1)}</p><p>5x – 3y = 9 (I)</p><p>4x + 2y = 16 (II)</p><p>b)</p><p>Nesse sistema, nenhum dos coeficientes é múltiplo na mesma incógnita.</p><p>Dessa forma, ambas as equações precisarão ser manipuladas. Basta que seja</p><p>escolhida a incógnita a ser eliminada — por exemplo,y. Então, multiplicaremos</p><p>a equação (I) pelo coeficiente de y da equação (II).</p><p>Sistemas de equações6</p><p>5x – 3y = 9 ∙ (2) ⇒ 10x – 6y = 18</p><p>Agora, faremos o inverso na equação (II), multiplicando pelo coeficiente</p><p>de y da equação (I).</p><p>4x + 2y = 16 ∙ (3) ⇒ 12x + 6y = 48</p><p>Obtemos o sistema equivalente:</p><p>10x – 6y = 18</p><p>12x + 6y = 48</p><p>que tem como solução V={(3,2)}.</p><p>Método da substituição</p><p>O método da substituição, assim como o da adição, é simples e será muito</p><p>utilizado no desenvolvimento de outros métodos.</p><p>Ele consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituir</p><p>na outra.</p><p>Por exemplo:</p><p>x + y = 8 (I)</p><p>x – 3y = 0 (II)</p><p>Isolaremos x na equação (II):</p><p>x = 3y</p><p>Agora, substituiremos na equação (I) e obteremos a seguinte equação:</p><p>3y + y = 8 ⇒ 4y = 8 ⇒ y = 2</p><p>Substituindo o valor y = 2 em qualquer das equações, obtemos x = 6.</p><p>Logo, V = {(6,2)}.</p><p>Regra de Cramer</p><p>A regra de Cramer, um dos métodos de resolver um sistema linear, só poderá</p><p>ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o de</p><p>7Sistemas de equações</p><p>incógnitas forem iguais, de forma que seja possível formar matrizes quadradas</p><p>dos coeficientes e calcular seus determinantes.</p><p>Portanto, ao resolvermos um sistema linear de equações e incógnitas para</p><p>a sua resolução, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta</p><p>do sistema e, depois, substituir os termos independentes em cada coluna,</p><p>calcular os seus respectivos determinantes e, assim, aplicar a regra de Cramer.</p><p>Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:</p><p>x1 =</p><p>D1</p><p>D</p><p>x2 =</p><p>D2</p><p>D</p><p>xn =</p><p>Dn</p><p>D</p><p>(...)</p><p>Por exemplo, dado o sistema linear:</p><p>x + 2y + z = 8</p><p>2x – y + y = 3</p><p>3x + y – z = 2</p><p>Para resolvê-lo, podemos utilizar a regra de Cramer, pois ele possui 3</p><p>equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número</p><p>de equações.</p><p>Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear, que cha-</p><p>maremos de A.</p><p>1 2 1</p><p>2 –1 1</p><p>3 1 –1</p><p>A =</p><p>Agora, calculamos o seu determinante, que será representado por D.</p><p>D =</p><p>1 2 1</p><p>2 –1 1</p><p>3 1 –1</p><p>1 2</p><p>2 –1</p><p>3 1</p><p>D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4</p><p>D = 15</p><p>Sistemas de equações8</p><p>Então, devemos substituir os termos independentes na primeira coluna da</p><p>matriz A, formando, assim, uma segunda matriz, que será representada por Ax.</p><p>A =</p><p>8 2 1</p><p>3 –1 1</p><p>2 1 –1</p><p>Agora, calcularmos o seu determinante, representado por Dx.</p><p>Dx =</p><p>8 2 1</p><p>3 –1 1</p><p>2 1 –1</p><p>8 2</p><p>3 –1</p><p>2 1</p><p>Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6</p><p>Dx = 15</p><p>Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz in-</p><p>completa, formando a matriz Ay.</p><p>Ay =</p><p>1 8 1</p><p>2 3 1</p><p>3 2 –1</p><p>Passamos a calcular o seu determinante Dy.</p><p>Dy =</p><p>1 8 1</p><p>2 3 1</p><p>3 1 –1</p><p>1 8</p><p>2 3</p><p>3 2</p><p>Dx = –3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16</p><p>Dy = 30</p><p>Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da</p><p>matriz incompleta, formaremos a matriz Az.</p><p>AZ =</p><p>1 2 8</p><p>2 –1 3</p><p>3 1 2</p><p>9Sistemas de equações</p><p>Agora, calculamos o seu determinante, representado por Dz.</p><p>DZ =</p><p>1 2 8</p><p>2 –1 3</p><p>3 1 2</p><p>1 2</p><p>2 –1</p><p>3 1</p><p>Dz = –2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8</p><p>Dz = 45</p><p>De posse de todos os determinantes, determinaremos o valor das incógnitas</p><p>por Cramer.</p><p>x =</p><p>Dx</p><p>D</p><p>= = 1</p><p>15</p><p>15</p><p>y =</p><p>Dy</p><p>D</p><p>= = 2</p><p>30</p><p>15</p><p>z =</p><p>Dz</p><p>D</p><p>= = 3</p><p>45</p><p>15</p><p>Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V ={(1,2,3)}.</p><p>Escalonamento</p><p>Dada a representação genérica de um sistema linear n x n, com n incógnitas e n</p><p>equações, temos que um sistema escalonado se apresentará da seguinte forma:</p><p>a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1</p><p>a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2</p><p>a33x3 + ... + a3nxn = b3</p><p>⋮</p><p>annxn = bn</p><p>Dizemos que um sistema, ou uma matriz de coeficientes, está na forma</p><p>escalonada se esse for nulo, ou se, no sentido de cima para baixo, houver</p><p>aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos.</p><p>Sistemas de equações10</p><p>Por esse motivo, o método de escalonamento também é conhecido como</p><p>método de escada.</p><p>Existem definições mais criteriosas e formais para sistemas e matrizes</p><p>escalonadas no estudo de álgebra linear, porém nos ateremos somente a esses</p><p>conceitos.</p><p>No capítulo 3 do livro de Lipschutz (ver Leituras recomendadas), você verá conceitos</p><p>mais aprofundados de matrizes e sistemas escalonados e, no capítulo 5, conhecerá as</p><p>transformações lineares que permitem chegar a uma matriz escalonada e à solução</p><p>dos sistemas lineares por meio dessas transformações.</p><p>Os sistemas lineares não se apresentam, necessariamente, na forma esca-</p><p>lonada. Portanto, mostraremos uma forma de transformar um sistema linear</p><p>na sua forma equivalente escalonada.</p><p>É necessário ressaltar que dois sistemas</p><p>são ditos equivalentes quando</p><p>apresentam o mesmo conjunto solução.</p><p>Para escalonar um sistema, utilizaremos, de maneira prática, os seguintes</p><p>passos:</p><p>1. Colocar como a primeira equação aquela que tenha 1 como coeficiente</p><p>da 1ª incógnita. Caso não haja equação com essa característica, escolher</p><p>uma equação de modo conveniente e dividir, membro a membro, todos</p><p>os coeficientes de forma a obter 1 como coeficiente da 1ª incógnita.</p><p>2. Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita.</p><p>Para isso, basta que cada equação seja somada com um produto da 1ª</p><p>equação, de forma a obter simétricos na 1ª incógnita. Esse passo é a</p><p>reprodução do método da adição em cada uma das equações, sempre</p><p>combinadas com a 1ª.</p><p>3. Caso existam mais de duas equações, os passos anteriores serão repe-</p><p>tidos, de forma que será necessário executar o método da adição entre</p><p>as equações a partir da 3ª, combinadas com os múltiplos apropriados</p><p>da 2ª equação, para se obter simétricos, e assim sucessivamente.</p><p>11Sistemas de equações</p><p>Alguns passos podem ser adotados durante um escalonamento, sem que</p><p>isso altere o conjunto solução do sistema. São eles:</p><p>� trocar de posição equações e, ainda assim, ter um sistema equivalente;</p><p>� multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real,</p><p>diferente de zero;</p><p>� multiplicar todos os membros de uma equação por um mesmo número</p><p>real, que seja diferente de zero, e somar a equação obtida à outra equação</p><p>do sistema.</p><p>Uma possibilidade que existe no processo de escalonamento é a obtenção</p><p>de uma equação com todos os coeficientes nulos, entretanto com o termo</p><p>independente diferente de zero. Caso isso aconteça, podemos afirmar que o</p><p>sistema é impossível, ou seja, não existe solução que o satisfaça.</p><p>Por exemplo, o escalonamento do seguinte sistema de equações lineares:</p><p>2x + 3y + 3z = 5</p><p>x + y + 2z = 10</p><p>y + 2z = 3</p><p>Trocaremos a ordem das equações no sistema.</p><p>x + y + 2z = 10</p><p>2x + 3y + 3z = 5</p><p>y + 2z = 3</p><p>Multiplicando a 1ª equação por (-2) e somando com a 2ª, obtemos:</p><p>x + y + 2z = 10 ∙ (–2) ⇒ –2x – 2y – 4z = –20</p><p>–2x – 2y – 4z = –20</p><p>2x + 3y + 3z = 5</p><p>0x + y – z = –15</p><p>A equação obtida será substituída na 2ª equação do sistema.</p><p>x + y + 2z = 10</p><p>y - z = –15</p><p>y + 2z = 3</p><p>Sistemas de equações12</p><p>Multiplicando a 2ª equação por (-1) e somando com a 3ª, obtemos:</p><p>y – z = –15 ∙ (–1) ⇒ –y + z = 15</p><p>–y + z = 15</p><p>y + 2z = 3</p><p>0y + 3z = 18</p><p>A equação obtida será substituída na 3ª equação do sistema.</p><p>x + y + 2z = 10</p><p>y – z = –15</p><p>3z = 18</p><p>Dessa forma, temos que:</p><p>3z = 18 ⇒ z = 6</p><p>Substituindo em y – z =-15, temos:</p><p>y – 6 = –15 ⇒ y = –9</p><p>Por fim, x + y + 2z =10, para y = -9 e z = 6, vem que:</p><p>x – 9 + 2.6 = 10 ⇒ x = 7</p><p>V = {(7, –9, 6)}</p><p>Problemas envolvendo sistemas de equações</p><p>Os sistemas de equações lineares apresentam-se em diversas situações práticas</p><p>do cotidiano. Muitas vezes, podemos não perceber, mas uma modelagem</p><p>poderia gerar um sistema, e, assim, uma pessoa atenta poderia determinar</p><p>com precisão a solução para situações reais.</p><p>Vejamos algumas situações simplistas, porém próximas de dados reais,</p><p>modeladas para serem resolvidas por meio de sistemas.</p><p>13Sistemas de equações</p><p>1. Em uma lanchonete, um salgado mais um suco custam R$ 3. Pelo</p><p>mesmo preço, dois salgados e três copos de suco custam R$ 7. Qual é</p><p>o preço de cada suco e cada salgado?</p><p>Solução:</p><p>Atribuiremos x para salgado e y para suco. Temos o seguinte sistema:</p><p>x + y = 3</p><p>2x + 3y = 7</p><p>Determinaremos a solução pelos métodos da adição e da substituição.</p><p>Método da adição</p><p>Trocaremos a 1ª e a 2ª equação de lugar e, em seguida, multiplicaremos a</p><p>equação x + y = por (-2). Obteremos o sistema equivalente:</p><p>2x + 3y = 7</p><p>–2x – 2y = –6</p><p>Fazendo a adição, temos:</p><p>2x + 3y = 7</p><p>–2x – 2y = –6</p><p>y = 1</p><p>Portanto, fazendo a substituição na 1ª ou na 2ª equação, obtemos x = 2.</p><p>V = {(2,1)}</p><p>2. Em um grupo de amigos, o número de meninos somado ao dobro das</p><p>meninas é igual a 8. Mas a diferença entre o dobro de meninos e o triplo</p><p>de meninas é -5. Qual é a quantidade de meninos e meninas?</p><p>Solução:</p><p>Usando x para meninos e y para meninas, temos o seguinte sistema:</p><p>x + 2y = 8</p><p>2x – 3y = –5</p><p>Sistemas de equações14</p><p>Regra de Cramer</p><p>Seja D o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado.</p><p>D = 1 2</p><p>2 –3</p><p>D = –3 – 4 = – 7</p><p>Seja Dx o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado, onde</p><p>a coluna dos coeficientes de x foi substituída pelos termos independentes.</p><p>Dx =</p><p>8 2</p><p>–5 –3</p><p>Dx = –24 + 10 = –14</p><p>Seja Dy o determinante da matriz dos coeficientes no sistema dado, onde</p><p>a coluna dos coeficientes de y foi substituída pelos termos independentes.</p><p>Dy = –5 –16 = –21</p><p>Dy =</p><p>1 8</p><p>2 –5</p><p>Calculando o valor das incógnitas, temos:</p><p>x =</p><p>Dx</p><p>D</p><p>= = 2</p><p>–14</p><p>15</p><p>y =</p><p>Dy</p><p>D</p><p>= = 3</p><p>–21</p><p>–7</p><p>V = {(2,3)}</p><p>3. Somando as idades de Paulo Vitor, Benício e Carlos Eduardo, o resul-</p><p>tado é 12 anos. Sabe-se que, subtraindo a idade de Carlos Eduardo do</p><p>quádruplo da idade de Paulo Vitor mais o dobro da idade de Benício,</p><p>resulta em 10 anos. Por fim, sabemos que a idade de Paulo Vitor, o triplo</p><p>da idade de Benício e o dobro da idade de Carlos Eduardo somam 26</p><p>anos. Quais são as idades de Paulo Vitor, Benício e Carlos Eduardo?</p><p>15Sistemas de equações</p><p>Solução:</p><p>Atribuiremos P para a idade de Paulo Vitor; B para a idade de Benício; e</p><p>C para a idade de Carlos Eduardo.</p><p>Então, temos o seguinte sistema de equações:</p><p>P + B + C = 12</p><p>4P + 2B – C = 10</p><p>P + 3B + 2C = 26</p><p>Método do escalonamento</p><p>Trocaremos a 1ª e a 3ª equação de lugar e obteremos o sistema:</p><p>P + 3B + 2C = 26</p><p>4P + 2B – C = 10</p><p>P + B + C = 12</p><p>Agora, trocaremos a 3ª equação pelo resultado da 1ª menos a 3ª equação:</p><p>P + 3B + 2C = 26</p><p>–P – B – C = –12</p><p>0P + 2B + C = 14</p><p>P + 3B + 2C = 12</p><p>4P + 2B – C = 10</p><p>2B + C = 14</p><p>Multiplicaremos a 1ª equação por (-4) e somaremos com a 2ª, substituindo</p><p>o resultado no sistema:</p><p>P + 3B + 2C = 26 ∙ (–4) ⇒ –4P – 12B – 8C = –104</p><p>–4P + 12B – 8C = –104</p><p>4P + 2B – C = 10</p><p>0P – 10B – 9C = –94</p><p>P + 3B + 2C = 12</p><p>–10B – 9C = –94</p><p>2B + C = 14</p><p>Sistemas de equações16</p><p>ANDRINI, Á.; VASCONCELLOS, M. J. Praticando matemática. 3. ed. São Paulo: Editora</p><p>do Brasil, 2012.</p><p>HEFEZ, A.; FERNANDEZ, C. S. Introdução à álgebra linear. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.</p><p>LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.</p><p>OLIVEIRA, N. C. N. Matrizes e determinantes. c2018. Disponível em: <https://mundoedu-</p><p>cacao.bol.uol.com.br/matematica/matriz-determinantes.htm>. Acesso em: 22 nov. 2018.</p><p>SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática aula por aula. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.</p><p>Leituras recomendadas</p><p>Trocaremos a 3ª equação pela soma da 2ª com o quíntuplo da 3ª:</p><p>2B + C = 14 ∙ (5) ⇒ 10B + 5C = 70</p><p>–10B – 9C = –94</p><p>10B – 5C = 70</p><p>0B – 4C = –24</p><p>P + 3B + 2C = 12</p><p>–10B – 9C = –94</p><p>–4C = –24</p><p>Portanto, temos:</p><p>–4C = –24 ⇒ C = ⇒ C = 6</p><p>–10B – 9C = –94 ⇒ –10B – 9.6 = –94 ⇒ –10B – 54 = –94 ⇒ –10B = –40 ⇒ B= 4</p><p>P + 3B + 2C = 26 ⇒ P + 3.4 + 2.6 = 26 ⇒ P + 12 + 12 = 26 ⇒ P = 2</p><p>–24</p><p>–4</p><p>Dessa forma, Paulo Vitor tem 2 anos; Benício, 4 anos, e Carlos Eduardo,</p><p>6 anos.</p><p>17Sistemas de equações</p><p>Dica do professor</p><p>Há diversas técnicas para a resolução de sistemas de equação, porém a representação dos sistemas</p><p>lineares por meio de gráficos de reta pode ser bem mais visual e significativo.</p><p>Nesta Dica do Professor, você verá que um sistema de equações lineares pode ser representado,</p><p>classificado e até solucionado de forma gráfica.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Exercícios</p><p>1) Considere duas equações de reta que se cruzam no plano, de forma que o ponto de</p><p>interseção entre elas existe e é único. Dado o sistema que representa cada uma dessas</p><p>equações</p><p>qual par ordenado é conjunto solução?</p><p>A) V = {(3, -15)}</p><p>B) V = {(-2, 10)}</p><p>C) V = {(10, -2)}</p><p>D) V = {(-15, 3)}</p><p>E) V = {(0, 0)}</p><p>2) A solução de um sistema 3x3 pode ser representada graficamente por um ponto no espaço,</p><p>de forma que sua solução é uma tripla ordenada. Se três equações no espaço formam o</p><p>sistema a seguir, qual é a sua solução?</p><p>A)</p><p>V = {(-2,2,7)}</p><p>B) V = {(2,-2,7)}</p><p>C) V = {(-9,-3,161)}</p><p>D) V = {(-2,2,2)}</p><p>E) V = {(0,2,-2)}</p><p>3)</p><p>Se a matriz dos coeficientes de um sistema é dada por</p><p>qual deverá ser o valor de apara que o sistema seja um sistema possível e</p><p>determinado?</p><p>A) a≠0</p><p>B) a ≠ 5</p><p>C) a = 5</p><p>D) a = 4</p><p>E) a ≠ 4</p><p>4) O total de bolinhas de gude que três amigos possuem é 555. Sabe-se que Anderson possui o</p><p>triplo de bolinhas menos 25 do que Benício possui. Já Cadu precisa do dobro de bolinhas</p><p>mais 10 para ter uma quantidade igual à de Benício. Quantas bolinhas de gude possui cada</p><p>um dos amigos?</p><p>A) V={(295,90,170)}</p><p>B) V={(365,60,130)}</p><p>C) V={(100,325,130)}</p><p>D) V={(365,130,60)}</p><p>E) V={(365,100,130)}</p><p>5) Um certo fazendeiro cria porcos e galinhas. Em sua fazenda, existem 72 porcos e galinhas ao</p><p>todo, totalizando 232 patas. Quantas galinhas e porcos existem na fazenda?</p><p>A) 44 galinhas e 28 porcos</p><p>B) 28 galinhas e 44 porcos</p><p>C) 36 galinhas e 36 porcos</p><p>D) 50 galinhas e 22 porcos</p><p>E) 22 galinhas e 50 porcos</p><p>Na prática</p><p>Há situações cotidianas nas quais é possível modelar um sistema e solucioná-lo, mas para isso é</p><p>necessário conhecer as definições e os métodos de solução de sistemas.</p><p>Neste Na Prática, você verá que é possível encontrar sistemas em diferentes situações do dia a dia.</p><p>Aponte a câmera para o</p><p>código e acesse o link do</p><p>conteúdo ou clique no</p><p>código para acessar.</p><p>Saiba +</p><p>Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:</p><p>Matrizes e determinantes</p><p>Na manipulação dos sistemas lineares, seja para classificá-los ou determinar suas soluções, em</p><p>diversos momentos será necessário saber manipular matrizes e determinantes. Assim, convém</p><p>rever e dominar esses conteúdos. Você pode rever o tema neste texto.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Resolução de sistemas lineares por meio de representação</p><p>gráfica</p><p>É possível utilizar a representação gráfica para solucionar sistemas lineares. Veja como isso é</p><p>possível neste vídeo.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Álgebra linear 2a Edição</p><p>Para se aprofundar mais em álgebra linear, leia este livro, que apresenta o conteúdo pertinente ao</p><p>que foi estudado nesta Unidade de Aprendizagem.</p><p>Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!</p>