Para resolver a integral \(\int \frac{x^2 + 4x + 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)} \, dx\) utilizando a decomposição em frações parciais, precisamos primeiro decompor a função racional. A forma geral da decomposição será: \[ \frac{x^2 + 4x + 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 3} \] onde \(A\), \(B\) e \(C\) são constantes que precisamos determinar. Após encontrar os valores de \(A\), \(B\) e \(C\), integramos cada termo separadamente. O resultado da integral será uma combinação de logaritmos naturais, como indicado nas alternativas. Analisando as alternativas: A. \(\frac{3 \ln|x - 1|}{4} + \frac{\ln|x + 1|}{2} - \frac{\ln|x + 3|}{4} + K\) B. \(\frac{3 \ln|x - 1|}{4} + \frac{\ln|x + 1|}{2} + \frac{\ln|x + 3|}{4} + K\) C. \(\frac{3 \ln|x - 1|}{4} - \frac{\ln|x + 1|}{2} - \frac{\ln|x + 3|}{4} + K\) D. \(-\frac{3 \ln|x - 1|}{4} + \frac{\ln|x + 1|}{2} - \frac{\ln|x + 3|}{4} + K\) E. \(\frac{3 \ln|x - 1|}{4} + \frac{\ln|x + 1|}{2} + \frac{\ln|x + 3|}{4} + K\) Após realizar a decomposição e a integração, a alternativa correta que representa o resultado da integral é a A. Portanto, a resposta correta é: A.