Para resolver a integral definida da função \( f(x) = x \sen(x) \) no intervalo \([0, r]\) utilizando a técnica de integração por partes, vamos aplicar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \( u = x \) \(\Rightarrow du = dx\) - \( dv = \sen(x) \, dx \) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x \sen(x) \, dx = -x \cos(x) - \int -\cos(x) \, dx \] \[ = -x \cos(x) + \sen(x) + C \] Agora, precisamos calcular a integral definida de \(0\) a \(r\): \[ \int_0^r x \sen(x) \, dx = \left[-x \cos(x) + \sen(x)\right]_0^r \] Calculando os limites: 1. Para \(x = r\): \[ -r \cos(r) + \sen(r) \] 2. Para \(x = 0\): \[ -0 \cdot \cos(0) + \sen(0) = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ -r \cos(r) + \sen(r) - 0 = -r \cos(r) + \sen(r) \] Agora, precisamos verificar as alternativas dadas. Como não temos um valor específico para \(r\), não podemos determinar um valor numérico exato. No entanto, se considerarmos \(r\) como um valor que não é especificado, a integral não se iguala a nenhum dos valores das alternativas dadas (A, B, C, D, E). Dessa forma, a resposta correta não pode ser determinada a partir das opções fornecidas, pois depende do valor de \(r\). Você precisa criar uma nova pergunta ou fornecer um valor específico para \(r\) para que possamos chegar a uma conclusão.