Para resolver a questão, vamos aplicar o teorema de DeMoivre ao número complexo \( z = 1 + i \). 1. Encontrar a forma polar de \( z \): - O módulo \( r \) de \( z \) é dado por: \[ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] - O argumento \( \theta \) é: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \] Portanto, podemos escrever \( z \) na forma polar como: \[ z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sen\frac{\pi}{4} \right) \] 2. Aplicar o teorema de DeMoivre: - Para calcular \( (1+i)^6 \), usamos: \[ z^6 = r^6 \left( \cos(6\theta) + i \sen(6\theta) \right) \] - Calculando \( r^6 \): \[ r^6 = (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8 \] - Calculando \( 6\theta \): \[ 6\theta = 6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] 3. Substituindo na fórmula: \[ z^6 = 8 \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i \sen\frac{3\pi}{2} \right) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( z^6 = 2(\cos\pi + i \sen\pi) \) - Incorreto. B) \( z^6 = 4(\cos\pi + i \sen\pi) \) - Incorreto. C) \( z^6 = 4(\cos 3\pi + i \sen 3\pi) \) - Incorreto. D) \( z^6 = 8(\cos\pi + i \sen\pi) \) - Incorreto. E) \( z^6 = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i \sen\frac{3\pi}{2}) \) - Correto. Portanto, a alternativa correta é: E.